董裕華

【摘要】數(shù)學(xué)與思維緊密相連，數(shù)學(xué)在人的理性思維形成過程中具有不可替代的作用。數(shù)學(xué)思維帶給人數(shù)學(xué)的表達方式，是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的靈魂。培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力，既需要教師發(fā)揮主導(dǎo)作用，通過開放式提問、刨根式備課、關(guān)聯(lián)式變題、落地式命題等方式給學(xué)生提供可能;也需要學(xué)生自身的努力，通過主動“說數(shù)學(xué)”、巧畫結(jié)構(gòu)圖、認真做反思、自主出考卷等方式主動提升。

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思維能力;價值定位;培養(yǎng)策略;高中數(shù)學(xué)

【中圖分類號】G633.6 【文獻標志碼】A 【文章編號】1005-6009（2021）03-0032-06

《普通高中數(shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱“2017年版課標”）指出，數(shù)學(xué)教育“引導(dǎo)學(xué)生會用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)思維思考世界，會用數(shù)學(xué)語言表達世界”。這“三會”是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的外在表現(xiàn)，其核心是“數(shù)學(xué)思維”。離開了數(shù)學(xué)思維，就無法用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，也不可能用數(shù)學(xué)的語言表達世界。數(shù)學(xué)思維是數(shù)學(xué)能力之“核”，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要任務(wù)。

一、培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力的價值定位

中小學(xué)為什么要學(xué)數(shù)學(xué)？學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有什么用？學(xué)生應(yīng)當(dāng)學(xué)什么樣的數(shù)學(xué)？這些問題都曾引發(fā)全國上下的熱議。那些反對將數(shù)學(xué)列入高考的人們，他們不見得是認為數(shù)學(xué)不重要，只是覺得數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容、方法需要改進。也有一部分人則是過于追求數(shù)學(xué)的“實用”價值、追求學(xué)習(xí)的功利價值。適度追求數(shù)學(xué)的工具價值可以促進數(shù)學(xué)水平的提升和數(shù)學(xué)事業(yè)的發(fā)展，它與發(fā)展數(shù)學(xué)思維并不矛盾。

相比其他學(xué)科，數(shù)學(xué)在啟迪、培養(yǎng)和發(fā)展人思維的深度、廣度、系統(tǒng)性等方面具有獨特的優(yōu)勢。2017年版課標指出：“數(shù)學(xué)在形成人的理性思維、科學(xué)精神和促進個人智力發(fā)展的過程中發(fā)揮著不可替代的作用?！睌?shù)學(xué)教學(xué)就是要讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)者的思維方式具有“數(shù)學(xué)味”。

數(shù)學(xué)教學(xué)必須教會學(xué)生數(shù)學(xué)的思維，教會學(xué)生數(shù)學(xué)的思想觀念。否則，學(xué)得再多、考得再好，數(shù)學(xué)素養(yǎng)也不見得高，數(shù)學(xué)思維能力也不見得強。同時，也要防止另外一種傾向，把知識、技能、能力、素養(yǎng)等分級，輕視知識，弱化知識教育，這種思想和行為是危險的，也是違反規(guī)律的。因為思維需要載體，數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)素養(yǎng)以數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)技能為基礎(chǔ)，沒有基本知識、基本技能，數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)素養(yǎng)就成了無源之水、無本之木。能力、素養(yǎng)的提升反過來又促進知識、技能的掌握。知識、技能與能力、素養(yǎng)都很重要，沒有明確的先后與層次之分，幾個方面相輔相成、相互促進、相得益彰，是一個不可分割的整體。好的數(shù)學(xué)教學(xué)一定是在數(shù)學(xué)知識和技能的習(xí)得過程中培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維;又通過數(shù)學(xué)思維的發(fā)展和提升，為數(shù)學(xué)知識和技能的獲取提供更好的保障，促進數(shù)學(xué)知識、技能、能力、素養(yǎng)的平衡協(xié)調(diào)發(fā)展。數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)應(yīng)當(dāng)貫穿于知識、技能、能力、素養(yǎng)習(xí)得的全過程。

二、教師在培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力中的主導(dǎo)作用

1.開放式提問。

開放式問題的答案不唯一，解決的方法也不唯一，學(xué)生可以從不同角度觀察和思考問題，可以用多種方法解決同一個問題，也可以根據(jù)自己的能力得到不同的結(jié)論。這對數(shù)學(xué)教師具有較大的挑戰(zhàn)性，因為數(shù)學(xué)的大多數(shù)問題具有結(jié)果確定性。只有教師巧妙設(shè)計，開放式提問才可能實現(xiàn)。教師還可以通過追問幫助學(xué)生暴露思維過程，發(fā)現(xiàn)薄弱環(huán)節(jié)，優(yōu)化思維習(xí)慣。另外，學(xué)生主動提問題也是開放式提問的補充，學(xué)生主動提問就意味著他在積極地思考。教師經(jīng)常發(fā)出“你還發(fā)現(xiàn)了什么問題？”“你能否給出類似的問題？”等信號，讓學(xué)生產(chǎn)生認知的不平衡，促使他們不斷地思考、反省和提升。

2.刨根式備課。

很多教師在下課前都會問上一句：“大家還有問題嗎？”聽到學(xué)生異口同聲地說“沒有！”的時候，特別有成就感。實質(zhì)上，“沒問題”只是假象，真正的問題被掩蓋了。教師在課堂上不能做“睜眼瞎”，要根據(jù)教學(xué)情況隨時做好調(diào)整，但同時更需注重備課，盡可能地把問題考慮得更細致周到，避免課堂上的“手忙腳亂”。

比如，蘇教版高中數(shù)學(xué)選修2-2“導(dǎo)數(shù)的概念”中“平均變化率”的例題3：

已知函數(shù)f（x）=x²，分別計算函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]，[1，2]，[1，1.1]，[1，1.001]上的平均變化率。

課本給出的解答如下：

學(xué)生解題時，前兩小題的完成速度很快，而完成后兩小題的速度卻越來越慢。為什么呢？

因為前兩小題中的數(shù)據(jù)為整數(shù)3和2，平方的時候比較順當(dāng);后兩小題的數(shù)據(jù)不再是整數(shù)，依然套用前兩題的方法，直接進行1.1，1.001的平方運算，速度自然慢了下來。

但從結(jié)果看，在[1，1.1]，[1，1.001]上的平均變化率分別為2.1，2.001，后者恰好是區(qū)間端點值之和，這是偶然還是必然？

也就是說，猜想是正確的，課本上省略了平方差公式應(yīng)用的詳細過程，而這又恰恰是思維的重要節(jié)點。沒有教師的深挖，很多學(xué)生會糊里糊涂。如果教師再畫出輔助圖，就能幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)平均變化率就是經(jīng)過兩個端點的直線的斜率，也就是拋物線割線的斜率，當(dāng)割線的兩個端點越來越近的時候，割線就趨近于切線。盡管這個內(nèi)容不是本節(jié)課的重點，但教師必須清楚題目的命制意圖。教師恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)可以豐富學(xué)生的思維內(nèi)容，點燃思維火花，讓學(xué)生不斷發(fā)現(xiàn)新問題，增強求知欲，產(chǎn)生繼續(xù)學(xué)習(xí)的動力。

3.關(guān)聯(lián)式變題。

變式是通過變更問題的情境或改變思維的角度，變換問題的條件和結(jié)論，變換問題的形式，在保持其本質(zhì)特征不變的情況下，使事物發(fā)生變化。變式教學(xué)是在教學(xué)過程中，通過變更知識的非本質(zhì)特征，引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，理解知識的發(fā)生、發(fā)展過程;從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，理解數(shù)學(xué)問題的演變過程，幫助學(xué)生多角度理解學(xué)習(xí)內(nèi)容的本質(zhì)屬性。

變式教學(xué)，既是提高課堂教學(xué)效率的有效途徑，也是改善學(xué)生思維品質(zhì)的有效手段，為眾多教師所青睞。變式教學(xué)主要有三種方式：一是一題多解，對同一道題，從不同的角度、不同的思路出發(fā)，采用不同的方法和不同的運算過程去分析求解的練習(xí)活動;二是多題一解，對涉及的數(shù)學(xué)思想方法大致相同或相似的問題進行歸類，吃透一道題，就可以掌握一類題的解法;三是一題多變，通過增加問題背景，增大發(fā)散程度，對某個問題進行引申、發(fā)展和拓寬，引導(dǎo)學(xué)生在變化比較中提升思維能力。一題多解，拓寬了解題思路，引導(dǎo)學(xué)生全面觀察、思考問題，提升發(fā)散性思維能力;多題一解，側(cè)重于尋求一類問題的“通性通法”，突出聚合思維，幫助學(xué)生進行方法歸納，主動悟出不同問題的共性解法，減少不必要的學(xué)業(yè)負擔(dān);一題多變，通過不同的思考角度、不同的解題策略，發(fā)展學(xué)生觀察、想象、探索能力，提升思維的靈活性。

例如，2014年中法中學(xué)生數(shù)學(xué)交流活動試卷第6題：

如圖1，四邊形ABCD四個頂點的坐標分別為A（-4，2），B（2，-6），C（3，6），D（1，2）。請在圖中畫出這個平面直角坐標系，并敘述你的作法。

本題打破了常規(guī)設(shè)計的束縛。命題者沒有采用常規(guī)的在坐標系中找點的坐標的方法，也不允許學(xué)生只憑自己的意愿建立坐標系，改變了學(xué)生的思維習(xí)慣，對學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力也是一次很好的檢驗。

真正好的題目，一定可以“借題發(fā)揮”，可以借助一題多解、多題一解、一題多變，來多層次、廣視角、全方位地做認識和研究。但在實際操作中，要注意三個問題。

一是變式不能偏離教學(xué)目標，不能為“變”而“變”。變式教學(xué)要充分發(fā)揮教師的引導(dǎo)、指導(dǎo)作用，要將變式控制在學(xué)生知識、能力和思維基礎(chǔ)許可的范圍內(nèi)。對預(yù)設(shè)外生成的問題，要及時作出價值判斷，不能“信馬由韁”，防止影響教學(xué)的綜合效果。

二是變式的選擇要具有典型性。變式的選題要精挑細選，既要有利于學(xué)生打開思路，展開聯(lián)想，又要有利于舉一反三、觸類旁通，幫助學(xué)生透過現(xiàn)象看本質(zhì)，達到“以少勝多”的目的。

三是總結(jié)提升要及時。通過總結(jié)，提煉出一般性的結(jié)論和帶有普遍意義的方法。學(xué)生思維的改善不可能一蹴而就，需要不斷地進行比較學(xué)習(xí)和關(guān)聯(lián)思考，在對立統(tǒng)一中同質(zhì)疊加、異質(zhì)互補，拓展思維的深度和廣度，提升思維的品質(zhì)。

4.落地式命題。

目前，國內(nèi)數(shù)學(xué)試題與實際生活聯(lián)系不夠緊密、問題情境不接地氣的現(xiàn)象還相當(dāng)普遍，這也是很多人感到“數(shù)學(xué)沒用”的重要原因。2017年版課標把基本活動經(jīng)驗與基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想并稱為數(shù)學(xué)的“四基”。數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗是學(xué)生直接或間接經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動過程而獲得的經(jīng)驗，它既能讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的價值和樂趣，又能培養(yǎng)他們主動運用數(shù)學(xué)知識的意識和能力，激發(fā)他們數(shù)學(xué)高階思維，在實踐中豐富數(shù)學(xué)思維的形成和發(fā)展過程。

考察數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗，PISA的理念值得我們借鑒。PISA數(shù)學(xué)測試非常重視學(xué)生在實際生活中的數(shù)學(xué)能力，期望激活學(xué)生自身的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)能力去解決現(xiàn)實問題，并做出有理有據(jù)的數(shù)學(xué)判斷和決策，其背后支撐的還是數(shù)學(xué)思維。

例如：下面這道PISA測試樣題就考察了學(xué)生對國防預(yù)算數(shù)據(jù)的解讀能力。

某個國家1980年的國防預(yù)算為3000萬美元，該年度預(yù)算總額為5億美元。第二年的國防預(yù)算為3500萬美元，預(yù)算總額為6.05億美元，并且知道這一財政年度的通貨膨脹率為10%。

（1）如果你被邀請為一個和平協(xié)會作報告，你將怎樣解釋國防預(yù)算下降了？

（2）如果你被邀請為一個軍事學(xué)會作報告，你將怎樣解釋國防預(yù)算增加了？

本題不僅要求解數(shù)據(jù)結(jié)果，還要主動進行不同角色的轉(zhuǎn)換，從不同立場選擇不同角度，進行數(shù)據(jù)的解讀。這樣的思維已經(jīng)不是數(shù)學(xué)認知的要求，但以數(shù)學(xué)思維為基礎(chǔ)，理解和解釋社會現(xiàn)象，對增強學(xué)生辯證思維能力、形成健全人格還是非常有益的。

用數(shù)學(xué)眼光觀察世界、用數(shù)學(xué)思維思考世界、用數(shù)學(xué)語言表達世界，這些理念在PISA試題中得到充分體現(xiàn)。PISA試題適當(dāng)還原生活的本來面貌，既讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)“有用”，增強數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成就感，又讓他們提升自主篩選信息的意識和能力，這種能力就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中的“數(shù)據(jù)分析”，幫助學(xué)生“增強基于數(shù)據(jù)表達現(xiàn)實問題的意識，形成通過數(shù)據(jù)認識事物的思維品質(zhì)，積累依托數(shù)據(jù)探索事物本質(zhì)、關(guān)聯(lián)和規(guī)律的活動經(jīng)驗”。

三、學(xué)生在培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力中的主體地位

1.主動“說數(shù)學(xué)”。

自我解釋是一種積極主動的認知建構(gòu)活動。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中對所學(xué)內(nèi)容做出解釋，以此來理解新的信息。數(shù)學(xué)中的自我解釋以數(shù)學(xué)交流的方式進行，也就是通常所說的“說數(shù)學(xué)”，即學(xué)生用自己理解的數(shù)學(xué)語言來闡述對所學(xué)數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)問題、數(shù)學(xué)方法的認識、選擇與理解。

“說數(shù)學(xué)”的過程，就是展示思維的過程，需要言說者梳理思路、組織語言、恰當(dāng)表達。自己的思路不流暢，想把別人講懂并非易事，“說數(shù)學(xué)”的過程，也是暴露自身薄弱環(huán)節(jié)的過程，無論是知識點，能力點，還是思維轉(zhuǎn)接點，都可能存在問題，只有發(fā)現(xiàn)問題，才能有針對性地查漏補缺。“說數(shù)學(xué)”的過程，還是合作交流的過程。師生之間、同學(xué)之間的討論交流、各抒己見，可以相互啟發(fā)、相互補充，取長補短;可以突破原有思維的束縛，糾正錯誤偏差，拓展思維空間。

美國學(xué)者布朗（S.Brown）與瓦爾特（M.Walter）提出了問題解決的“否定假設(shè)法”，即“What-if-not（如果不是這樣的話，那又可能是什么）”策略，讓學(xué)生回到原問題，自己想，自己說，通過發(fā)散思維發(fā)現(xiàn)和衍生出更多新問題，說開了就是變式練習(xí)，只是由教師主導(dǎo)變成由學(xué)生自主“開發(fā)”。它的好處是更好地激發(fā)了學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)了發(fā)現(xiàn)問題的能力，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思維朝著靈活、開放、創(chuàng)新的方向發(fā)展。但學(xué)生提出的問題良莠不齊，有的比較膚淺甚至存在錯誤，這就需要教師敏捷的思維能力、扎實的專業(yè)功底和較強的協(xié)調(diào)能力，否則課堂容易失控，教學(xué)任務(wù)也難以完成。

2.畫結(jié)構(gòu)圖。

學(xué)生經(jīng)常有兩個困惑：一是有些問題在初中時沒有弄明白，到了高中，突然開竅了;二是有些問題平時會做，到了期中、期末考試時卻突然想不起來了。其實，這兩個問題的答案都非常簡單。之所以學(xué)生到了高中就覺得初中數(shù)學(xué)容易，是因為在高中學(xué)習(xí)的很多內(nèi)容里，不知不覺地又將初中的許多數(shù)學(xué)知識重復(fù)了一遍，學(xué)生把過去沒有搞清楚的知識點弄通了，也就達到了“學(xué)會”的要求。有些問題平時會做，是因為每天完成的作業(yè)與課堂講授的內(nèi)容相配套，即使沒有聽課，看看課本例題也能明白七八分。同樣的學(xué)習(xí)任務(wù)，有的學(xué)生掌握了原理和方法，有的主要靠機械模仿。平時看不出差距，考試時要在自己的知識倉庫里搜尋到對應(yīng)的方法和策略差距就很明顯，不知所措、無從下手的大有人在。

美國學(xué)者大衛(wèi)·珀金斯把這種知識掌握不到位的情況稱為“脆弱知識綜合征”。要擺脫“脆弱知識綜合征”，真正理解知識，靈活運用知識，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的品質(zhì)和效率，就必須抓住核心概念，理清概念的相互關(guān)系，把相關(guān)知識附著到概念網(wǎng)絡(luò)上，形成思維導(dǎo)圖。思維導(dǎo)圖可以把隱性知識顯性化，直觀、有效地呈現(xiàn)知識間的關(guān)聯(lián);也可以把抽象思維形象化，展示學(xué)生的思維過程，給思維訓(xùn)練提供有效方法。思維導(dǎo)圖不要“為做而做”，畫“知識樹”的方法可能更適合于平時的過程學(xué)習(xí)，學(xué)生可以隨時添加整理，對學(xué)習(xí)起點的要求也不高，只要自己能看懂就行?！爸R樹”有三種：一是以知識點為生長點，厘清知識點之間的關(guān)聯(lián);二是以題目為連接點，本質(zhì)上是變式練習(xí);三是知識點與相應(yīng)題目穿插。

3.認真做反思。

反思是對自身思維過程、思維結(jié)果進行再認識和檢驗的過程，是一種積極的思維活動和探索行為。數(shù)學(xué)家波利亞把解題過程分為弄清問題、擬定計劃、實現(xiàn)計劃和解題回顧四個步驟，回顧已完成的解答是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一個重要且有啟發(fā)性的階段。每道經(jīng)典題解完以后，都可以對自己提出許多有用的問題：關(guān)鍵在哪里？主要的困難是什么？什么地方我可以完成得更好些？我為什么沒有察覺到這一點？要看出這一點我必須具備哪些知識，應(yīng)該從什么角度去考慮？這里有沒有值得學(xué)習(xí)的訣竅可供下次遇到類似問題時應(yīng)用？這些問題都是重要的思維源。對“回顧”而言，無須專門時間，在每個學(xué)習(xí)任務(wù)完成以后都可以進行。成功之處需要總結(jié)，通過多角度觀察和聯(lián)想，找出更多的思維通道，找出更多的關(guān)聯(lián)問題，達到“由一題會一片通一類”的目的;失敗之處更要總結(jié)，出現(xiàn)思維障礙不可怕，可怕的是對思維障礙聽之任之，滿足于聽懂了，而沒有真正找到思維障礙的根源和解決問題的辦法。

筆者曾提出“漁網(wǎng)理論”：如果把每次練習(xí)看成是一次捕魚，那么每次總結(jié)反思就如同一次“修補漁網(wǎng)”。發(fā)現(xiàn)漏洞不修補，下次捕魚時魚照樣會從漏洞里逃跑;發(fā)現(xiàn)漏洞及時修補，通過三年努力，漁網(wǎng)一定會非常結(jié)實。這張漁網(wǎng)既是知識網(wǎng)，也是能力網(wǎng)、思維網(wǎng)，思維把知識點連接起來。不少學(xué)生對基礎(chǔ)知識不求甚解，對基本訓(xùn)練嗤之以鼻，對總結(jié)反思不當(dāng)回事，期望通過刷題、刷難題獲得進步，把大量時間耗費在題海里卻勞而無功，就是因為沒有及時修補漁網(wǎng)。

所以，反思的過程承載著多重使命，既要整理學(xué)習(xí)思路，又要調(diào)整思維結(jié)構(gòu)、優(yōu)化思維方法，還要提升思維品質(zhì)?？偨Y(jié)反思可以讓學(xué)生的思維從經(jīng)驗層面上升到理性認識，通過提煉、概括、感悟，進入思維的更高階段。

4.自主出考卷。

學(xué)生在教師指導(dǎo)下自主命制試卷，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的有效路徑。

每學(xué)期期末考試前一個月，我們都布置學(xué)生出一份模擬卷，告訴他們所涉及的各個知識點的分值占比、難度要求，讓學(xué)生結(jié)合自己對所學(xué)知識的理解，回憶平時教師強調(diào)的重點，兼顧自己平時的易錯點，可以參照現(xiàn)成資料，也鼓勵自編原創(chuàng)，要求試卷中既有課外題，又有課本題，還要有平時的作業(yè)題、練習(xí)題;既有難題，又有容易題，盡可能把自己平時沒有解決的問題放進去，并且按難度順序排列;既考慮知識的覆蓋面，又突出重點，還要給出評分細則。

試題命制完成以后，送請同桌“校對”。校對者除了對知識點分布和文字表達進行審核，防止出現(xiàn)科學(xué)性錯誤以外，還要審查試卷有無明顯的偏題、怪題，評分細則是否合理。

接下來，全班學(xué)生“推磨”答題，命題者為試卷評分。解答者還要根據(jù)自己的答題體驗對整份試卷的命制質(zhì)量，包括命題范圍、知識點覆蓋面、難度、容量等方面進行評估。最終，結(jié)合期末考試情況一并考核評比，解答者評價較高、解答者的期末考試得分與命題者評分差距較小的試卷評為優(yōu)秀試卷，出現(xiàn)與期末試卷關(guān)聯(lián)度較大的題目評為優(yōu)秀試題。優(yōu)秀試卷和試題的得主會獲得假期的書面作業(yè)減免一半的獎勵。

實踐證明，這些舉措既調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，又培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。命題周期長，給學(xué)生相對充足的醞釀時間，也給他們自我整理、消化、復(fù)習(xí)的時間。命題過程中，學(xué)生的工作量很大，既要吃透命題要求，又要翻閱作業(yè)資料，篩選適合題目，還要制訂評分細則，每個方面都彰顯著數(shù)學(xué)思維。學(xué)生自主鉆研的熱情很高，主人翁責(zé)任感很強，盡管允許使用現(xiàn)成試題，但絕大多數(shù)學(xué)生還是以模仿、改編、變式的方式來命題，每個人都爭取表現(xiàn)得最好，數(shù)學(xué)思維能力特別是高階思維能力得到很好的訓(xùn)練，達到教育無痕的效果。