亞純函數(shù)涉及重值分擔(dān)5個(gè)小函數(shù)結(jié)論的改進(jìn)

譚 洋，劉永奇

(北京師范大學(xué)珠海分校應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 珠海 519085)

0 引言

設(shè)f(z)，ɡ(z)，h(z)為非常數(shù)亞純函數(shù)，a為復(fù)常數(shù).如果f(z)-a與ɡ(z)-a有相同的零點(diǎn)，而且每個(gè)零點(diǎn)的重?cái)?shù)也相同，則稱a為f(z)與ɡ(z)的CM公共值；如果不考慮零點(diǎn)的重?cái)?shù)，則稱a為f(z)與ɡ(z)的IM公共值.類似地，如果f(z)-h(z)與ɡ(z)-h(z)有相同的零點(diǎn)，且每個(gè)零點(diǎn)的重?cái)?shù)也相同，則稱h(z)為f(z)與ɡ(z)的CM公共函數(shù)；如果不考慮零點(diǎn)的重?cái)?shù)，則稱h(z)為f(z)與ɡ(z)的IM公共函數(shù).

則稱a(z)為f(z)與ɡ(z)的“IM”公共小函數(shù).顯然若a(z)為f(z)與ɡ(z)的IM公共小函數(shù)，則a(z)必為f(z)與ɡ(z)的“IM”公共小函數(shù).

用NE(r，a)表示f(z)-a(z)和ɡ(z)-a(z)具有相同重級(jí)的公共零點(diǎn)的計(jì)數(shù)函數(shù)，每個(gè)零點(diǎn)僅計(jì)1次.如果

則稱a(z)為f(z)與ɡ(z)的“CM”公共小函數(shù).

1929年，Nevanlinna證明了下述著名的五值定理：

定理A[2]設(shè)f(z)，ɡ(z)為2個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)，aj(j=1，2，3，4，5)為C上的5個(gè)判別的復(fù)數(shù).如果aj(j=1，2，3，4，5)為f(z)與ɡ(z)的IM公共值，則f(z)≡ɡ(z).

Nevanlinna提出下述著名問(wèn)題：將定理A中常數(shù)換為小函數(shù)，定理A是否仍然成立？圍繞這一問(wèn)題，許多學(xué)者進(jìn)行了廣泛的研究，相關(guān)結(jié)果可參閱文獻(xiàn)[3-6].2000年，李玉華和喬建永[5]得到下面定理：

定理B 設(shè)f(z)，ɡ(z)為2個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù).如果aj(z)∈(S(f)∪S(ɡ))∪{∞}(j=1，2，…，5)為f(z)與ɡ(z)的IM公共小函數(shù)，則f(z)≡ɡ(z).

根據(jù)定理B的證明，容易得到下面的定理C，它是定理B的簡(jiǎn)單的推廣.

定理C 如果將定理B中IM替換成“IM”，定理B仍成立.

2001年，姚衛(wèi)紅[6]得到下面的結(jié)果：

定理D 設(shè)f(z)，ɡ(z)為2個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù).如果存在f(z)與ɡ(z)的5個(gè)判別小函數(shù)aj(z)(j=1，2，…，5，可有一個(gè)為∞)，滿足Ek)(aj，f)=Ek)(aj，ɡ)(j=1，2，…，5)，其中k為正整數(shù)且k≥16，則f(z)≡ɡ(z).

本文在文獻(xiàn)[6]的基礎(chǔ)上，應(yīng)用Nevanlinna值分布理論，對(duì)上述定理D的結(jié)果進(jìn)行改進(jìn)，所得結(jié)果進(jìn)一步豐富了亞純函數(shù)的值分布理論.

1 幾個(gè)引理

引理1[1]若a(z)為f(z)與ɡ(z)的“CM”公共小函數(shù)，則a(z)必為f(z)與ɡ(z)的“IM”公共小函數(shù).

引理2[7]設(shè)f(z)為非常數(shù)亞純函數(shù)，aj(z)∈S(f)∪{∞}(j=1，2，…，5).則有

這里ε為充分小的正數(shù).

引理3[8]設(shè)f(z)，ɡ(z)為2個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)，且以0，1，∞為“CM”公共值.如果f(z)?ɡ(z)，則對(duì)任意一個(gè)f(z)與ɡ(z)的小函數(shù)a(z)，只要a(z)≠0，1，∞，有

這里r∈J，mesJ=+∞，r→+∞.

引理4設(shè)f(z)，ɡ(z)為2個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)，aj(z)∈(S(f)∪S(ɡ))∪{∞}(j=1，2，…，5)，kj(j=1，2，…，5)為正整數(shù)或∞，且滿足k1≥k2≥…≥k5.如果

Ekj)(aj，f)=Ekj)(aj，ɡ)(j=1，2，…，5)，

則有

證明由引理2有

即

(1)

類似可得

(2)

由(1)和(2)式有

2 主要定理及證明

定理1設(shè)f(z)，ɡ(z)為2個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)，aj(z)∈(S(f)∪S(ɡ))∪{∞}(j=1，2，…，5)，kj(j=1，2，…，5)為正整數(shù)或∞，且滿足k1≥k2≥…≥k5.如果

Ekj)(aj，f)=Ekj)(aj，ɡ)(j=1，2，…，5)，

(3)

且

(4)

則f(z)≡ɡ(z).

證明不失一般性，不妨設(shè)a1(z)=0，a2(z)=∞，a3(z)=1，a4(z)=a(z)，a5(z)=b(z).令

其中：

如果H1?0，則有m(r，H1)=S(r，f).下面估計(jì)N(r，H1)：

注意到

所以有

(5)

令

其中：

令

其中：

令

其中：

令

其中：

如果Hj?0(j=2，3，4，5)，同樣可以得到：

(6)

(7)

(8)

(9)

由(5)—(9)式可得

(10)

由(3)式同樣有

(11)

由(10)和(11)式得

(12)

由引理4和(12)式有

即

(13)

其中ε為充分小的正數(shù)，在不同地方可能不同.由條件(4)可知(13)式矛盾.因此，Hj(j=1，2，…，5)中至少有一個(gè)恒為零.不妨設(shè)H2≡0，則f(z)和ɡ(z)以0，1，∞，a(z)為“CM”公共小函數(shù).由定理1的條件和引理3可知，f(z)和ɡ(z)以0，1，∞，a(z)，b(z)為“CM”公共小函數(shù)，則由定理C和引理1可得f(z)≡ɡ(z).同理，當(dāng)Hj≡0(j=1，3，4，5)時(shí)亦有f(z)≡ɡ(z).

定理2設(shè)f(z)，ɡ(z)為2個(gè)非常數(shù)亞純函數(shù)，aj(z)∈(S(f)∪S(ɡ))∪{∞}(j=1，2，…，5)滿足Ek)(aj，f)=Ek)(aj，ɡ)(j=1，2，…，5)，其中k為正整數(shù)且k≥15，則f(z)≡ɡ(z).

證明在定理1中取k1=k2=…=k5=k即可得證.