李琨璇 張文俊

【摘要】數(shù)學(xué)語言是數(shù)學(xué)內(nèi)容的載體，是傳達(dá)數(shù)學(xué)知識的重要方式.數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換包括自然語言與數(shù)學(xué)語言之間的轉(zhuǎn)換和數(shù)學(xué)語言內(nèi)部的轉(zhuǎn)換.本文結(jié)合具體教學(xué)實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念時(shí)，通過數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換感知概念外形，獲得概念意象，總結(jié)概念定義，強(qiáng)化概念本質(zhì)，最終靈活掌握概念.

【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)語言;概念學(xué)習(xí);數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換

斯托利亞爾提出，“數(shù)學(xué)教學(xué)就是數(shù)學(xué)語言的教學(xué)”.從這個(gè)意義上來說，數(shù)學(xué)語言對于數(shù)學(xué)學(xué)科和數(shù)學(xué)教學(xué)來說具有重要的意義.數(shù)學(xué)語言的表現(xiàn)形式有三種，分別是文字語言、符號語言和圖形語言.其中，文字語言在數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)和定理方面多有應(yīng)用，圖形語言直觀清晰，符號語言雖簡明但不易于理解.因此，在教學(xué)過程中，當(dāng)學(xué)生不理解某個(gè)概念或題目時(shí)，教師可借助數(shù)學(xué)語言之間的相互轉(zhuǎn)換來幫助學(xué)生理解并掌握數(shù)學(xué)知識.

恩格斯也曾說： “在一定意義上，科學(xué)的內(nèi)容就是概念的體系.”數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識的基本組成單元，是數(shù)學(xué)知識系統(tǒng)的內(nèi)核源泉，也是學(xué)生進(jìn)行思維活動(dòng)的基礎(chǔ)，它反映了數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性，因此數(shù)學(xué)概念的獲得與理解具有一定的抽象性.若學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)只停留在記憶層次，將會(huì)影響其對數(shù)學(xué)概念的理解與應(yīng)用.因此，在概念教學(xué)時(shí)，教師可通過數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換，降低學(xué)生的學(xué)習(xí)難度，帶領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過程，把握概念的本質(zhì)屬性，使學(xué)生真正理解并掌握概念，提升數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率.

一、數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換含義

（一）什么是數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換

弗賴登塔爾曾提出“學(xué)生必須學(xué)會(huì)將一種語言翻譯成另一種語言”.這里的“翻譯”即指數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換，在保持?jǐn)?shù)學(xué)對象本質(zhì)屬性不變的前提下改變語言的外在表現(xiàn)形式，包括自然語言與數(shù)學(xué)語言之間的轉(zhuǎn)換，不同形式的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換以及同種數(shù)學(xué)語言內(nèi)部的不同表征形式的轉(zhuǎn)換等.

（二）數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換的類型及其內(nèi)涵

1.自然語言與數(shù)學(xué)語言的外部轉(zhuǎn)換

生活中常用的語言就是自然語言，對小學(xué)生來說，用自然語言來描述數(shù)學(xué)中的事物與情境更容易讓他們接受與理解，但自然語言不符合數(shù)學(xué)的簡潔性和精確性，因此用自然語言表達(dá)數(shù)學(xué)事實(shí)時(shí)，必須改造它，使之適應(yīng)數(shù)學(xué)的需要.

一方面，自然語言轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)語言，是將一般問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中體現(xiàn)為將情境中的數(shù)學(xué)信息提取出來，表述成數(shù)學(xué)問題再解決.因此，自然語言轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)語言是一個(gè)“數(shù)學(xué)化”的過程.

另一方面，數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換為自然語言，是讓學(xué)生用自己的語言表述出數(shù)學(xué)中的定義、定理等內(nèi)容，當(dāng)學(xué)生能夠清晰地表達(dá)自己的想法時(shí)就表明他們對此已有深刻的理解.因此，為使學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解更透徹，需要將數(shù)學(xué)語言“通俗化”，轉(zhuǎn)換為他們更熟悉、親切的自然語言.

2.數(shù)學(xué)語言的內(nèi)部轉(zhuǎn)換

數(shù)學(xué)語言內(nèi)部的轉(zhuǎn)換是指不同形式數(shù)學(xué)語言之間的轉(zhuǎn)換和相同形式數(shù)學(xué)語言之內(nèi)的轉(zhuǎn)換.

（1）不同數(shù)學(xué)語言形式之間的相互轉(zhuǎn)換

在進(jìn)行數(shù)學(xué)理解時(shí)，需要數(shù)學(xué)語言內(nèi)部不同形式的轉(zhuǎn)換，例如，將文字語言轉(zhuǎn)換為圖形語言，用形象直觀的圖形幫助學(xué)生進(jìn)行理解，再將圖形語言轉(zhuǎn)換為符號語言進(jìn)行計(jì)算等;進(jìn)行數(shù)學(xué)表達(dá)時(shí)，把求得的結(jié)果或得到的結(jié)論轉(zhuǎn)換成所要求的表現(xiàn)形式，因此很多數(shù)學(xué)活動(dòng)其本質(zhì)都可以理解為數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換的過程.

（2）相同數(shù)學(xué)語言形式之內(nèi)的相互轉(zhuǎn)換

盧清榮認(rèn)為“數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換是數(shù)學(xué)思維不斷發(fā)展的過程”.相同數(shù)學(xué)語言形式之內(nèi)的轉(zhuǎn)換更為明顯，例如，在學(xué)習(xí)面積單位之間的進(jìn)率關(guān)系時(shí)，為探究平方分米與平方厘米的關(guān)系，北師大版教材提出了以下方法：

由長度單位之間的關(guān)系來推導(dǎo)面積單位之間的關(guān)系，經(jīng)歷從符號語言到符號語言的轉(zhuǎn)換，可以發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力;對同一個(gè)知識從不同的角度來表示，可以讓學(xué)生體會(huì)知識之間的聯(lián)系，并在不斷思考中促進(jìn)思維的發(fā)展.

二、數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換與數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)

（一）概念習(xí)得

現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念的方式有兩種，分別是概念形成和概念同化.概念形成是指從具體實(shí)例或者模型出發(fā)，發(fā)現(xiàn)事物的共同屬性，抽象出事物的本質(zhì)特征，歸納形成新的概念.概念同化是指學(xué)習(xí)新概念時(shí)以原有的數(shù)學(xué)認(rèn)識結(jié)構(gòu)為依據(jù)，將新知識進(jìn)行加工，如果新知識與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中適當(dāng)?shù)母拍钣新?lián)系，那么通過新舊概念之間的相互作用，將新概念納入原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中，使原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到改組或擴(kuò)大，這一過程稱為概念同化.

那么，除此之外，是否還有其他的方式獲得數(shù)學(xué)概念呢？答案是肯定的，喻平教授認(rèn)為數(shù)學(xué)語言學(xué)習(xí)也是數(shù)學(xué)概念獲得的一種方式，例如：行列式、矩陣等概念的學(xué)習(xí)是直接以數(shù)學(xué)語言學(xué)習(xí)獲得的.因此，數(shù)學(xué)語言的學(xué)習(xí)是一種有意義的學(xué)習(xí)，它表現(xiàn)在概念形成和概念同化的每一階段，只有當(dāng)學(xué)生對數(shù)學(xué)文字、符號都有了實(shí)質(zhì)性的理解，才可能從本質(zhì)上獲得概念.因此數(shù)學(xué)概念的習(xí)得可總結(jié)如下（如圖1）：

（二）數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換在概念學(xué)習(xí)中的作用

下面以“分一分”這節(jié)課為例來談?wù)勗诟拍钚纬蛇^程中數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換如何幫助學(xué)生理解并掌握概念.

1.自然語言轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)語言，感知概念外形

師：把四個(gè)蘋果分給兩名同學(xué)，保持公平公正，該怎么分？每名同學(xué)分幾個(gè)？

師：把兩個(gè)蘋果分給兩名同學(xué)，保持公平公正，該怎么分？每名同學(xué)分幾個(gè)？

首先由現(xiàn)實(shí)問題引入，經(jīng)過兩次分蘋果，使學(xué)生了解每名同學(xué)分得“一樣多”，用數(shù)學(xué)語言表示就是“平均分”.將自然語言轉(zhuǎn)換為數(shù)學(xué)文字語言，使用并提出下面問題，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)語言的概括性和精確性.

師：把一個(gè)蘋果平均分給兩名同學(xué)，每名同學(xué)得幾個(gè)？

再一次分蘋果，學(xué)生發(fā)現(xiàn)“半個(gè)”已不能用學(xué)過的數(shù)字符號來表示，教師鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)揮想象力，大膽創(chuàng)造表示“一半”的方法，可以畫各種各樣的圖形，也可以發(fā)明一種符號.有學(xué)生畫出各種圖形的一半來表示，也有學(xué)生提出用符號語言12表示，在轉(zhuǎn)換后多種形式的數(shù)學(xué)語言對比中，讓學(xué)生感受用符號語言“12”表示“一半”的簡潔性和優(yōu)越性，體會(huì)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的必要性.

2.符號語言與圖形語言相互轉(zhuǎn)換，獲得概念意象

教師鼓勵(lì)學(xué)生說說看：“剛才是怎么得到12的？”教師接著通過下面涂一涂的方式，在學(xué)生頭腦中展現(xiàn)圖形語言向符號語言轉(zhuǎn)換的過程.

分別涂出下列圖形的12.

涂出每個(gè)圖形的12，就是涂出它的一半，在直觀的圖形中可以輕而易舉地表示出來.因此符號語言到文字語言，再到圖形語言轉(zhuǎn)換的過程，能幫助學(xué)生建立數(shù)量符號12和相對應(yīng)圖形之間的聯(lián)系.同時(shí)，在此過程中教師可引導(dǎo)學(xué)生拋棄形狀、大小、顏色等無關(guān)因素，體會(huì)部分與整體之間的聯(lián)系，感受分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)特征——把一個(gè)整體平均分成兩份，其中的一份就是12.

最后教師引導(dǎo)學(xué)生模仿分?jǐn)?shù)12的學(xué)習(xí)過程，用折紙、畫圖的方法“創(chuàng)造”其他分?jǐn)?shù)，學(xué)生再次經(jīng)歷圖形語言和符號語言的相互轉(zhuǎn)換，在頭腦中形成了一定的概念意象，為掌握和理解分?jǐn)?shù)的外延和內(nèi)涵奠定了基礎(chǔ).

3.圖形語言轉(zhuǎn)換為文字語言，總結(jié)概念定義

歸納總結(jié)：12，14，38，45都是分?jǐn)?shù).

教師要以小學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)為基礎(chǔ)，選取具有代表性的特例，幫助學(xué)生建立感知的概念表象，認(rèn)識分?jǐn)?shù)的讀法、寫法以及各部分名稱，此時(shí)學(xué)生掌握了概念的外延.

教師在講解14各部分表示的含義時(shí)，可以讓學(xué)生想象，分母4表示把一張紙平均分成4份，分子1表示其中的1份，再結(jié)合多個(gè)具體的分?jǐn)?shù)描述幫助學(xué)生進(jìn)一步理解分?jǐn)?shù)表示部分與整體之間的關(guān)系，進(jìn)而總結(jié)出分?jǐn)?shù)的定義性概念：把一個(gè)整體平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫作分?jǐn)?shù).因此，圖形語言轉(zhuǎn)換為文字語言有助于幫助學(xué)生對概念內(nèi)涵的理解由感性認(rèn)識上升為理性認(rèn)識.

4.判斷正反例，強(qiáng)化概念本質(zhì)

下面哪些圖形的涂色部分是它的14，在括號里畫“”.

判斷分?jǐn)?shù)表示陰影部分是否正確是圖形語言轉(zhuǎn)換為符號語言的過程，可以從正、反兩方面對分?jǐn)?shù)的意義進(jìn)行概念的辨析：先根據(jù)圖形判斷其能否用所給的符號語言來表示，若能，則正確;若不能，則接著剖析反例中錯(cuò)誤的原因.根據(jù)符號語言（所給分?jǐn)?shù)）把所給圖形語言轉(zhuǎn)換為正確的圖形語言.最后用文字語言結(jié)合符號語言固化自己對分?jǐn)?shù)的認(rèn)識，進(jìn)一步抽象出分?jǐn)?shù)概念的特征——把一個(gè)整體平均分才能用分?jǐn)?shù)表示.學(xué)生經(jīng)歷多次數(shù)學(xué)語言的“逗留”，對分?jǐn)?shù)的意義逐步清晰，教師結(jié)合正例和反例引導(dǎo)學(xué)生靈活轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)語言，使其更好地掌握概念.

總之，教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷分?jǐn)?shù)概念形成的過程就是數(shù)學(xué)語言不斷轉(zhuǎn)換、不斷應(yīng)用和不斷內(nèi)化的過程，學(xué)生能通過數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換，概括出分?jǐn)?shù)概念的外延和內(nèi)涵，深刻理解概念的本質(zhì)屬性，逐步形成概念域和概念系，從而完善其認(rèn)知結(jié)構(gòu).

【參考文獻(xiàn)】[1]斯托利亞爾.數(shù)學(xué)教育學(xué)[M].北京：人民教育出版社，1984.

[2]趙文靜.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換[J].數(shù)學(xué)之友，2014（16）：44-46，48.

[3]喻平.數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2018.

[4]喻平.數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)芻議[J].課程·教材·教法，1995（4）：31.

[5]吳正憲，劉勁苓，劉克臣.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)基本概念解讀[M].北京：教育科學(xué)出版社，2014.