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      柔性作業(yè)車間調(diào)度的精確鄰域結(jié)構(gòu)混合進化算法

      2021-04-01 01:58:46王家海李營力劉錚瑋劉江山
      同濟大學學報(自然科學版) 2021年3期
      關鍵詞:鄰域支配關鍵

      王家海,李營力,劉錚瑋,劉江山

      (同濟大學機械與能源工程學院,上海201804)

      生產(chǎn)調(diào)度優(yōu)化是制造執(zhí)行系統(tǒng)的核心功能模塊,也是公認的Np-hard難題[1]。求解生產(chǎn)調(diào)度優(yōu)化問題對于企業(yè)提高設備利用率、節(jié)約生產(chǎn)成本以及縮短產(chǎn)品制造周期具有十分重要的意義。

      柔性作業(yè)車間調(diào)度問題(flexible job-shop scheduling problem,F(xiàn)JSP)是經(jīng)典作業(yè)車間調(diào)度問題的擴展,由于其打破了工序單一設備資源的約束,使生產(chǎn)過程具備一定的柔性,因此,F(xiàn)JSP更加符合生產(chǎn)實際,同時問題求解也變得更加復雜,尤其是多目標FJSP(multi-objective FJSP,MOFJSP)。

      近年來,以智能算法為代表的MOFJSP求解方法由于其優(yōu)越的全局搜索能力和易于實現(xiàn)的特點得到了廣泛的研究和應用。然而,僅僅使用智能算法求解問題的最優(yōu)解仍有一定的局限性?;旌纤惴ㄒ驯欢辔粚W者證實往往能夠得到更優(yōu)越的解,尤其是混合智能算法和鄰域搜索。例如:Gao等[2]混合遺傳算法和變鄰域搜索求解MOFJSP,結(jié)果表明,該混合算法性能優(yōu)于非混合智能算法。Li等[3]混合人工蜂群算法和鄰域搜索,通過設計工序移動和機器置換兩類鄰域搜索方法有效提升了算法的求解能力。Gong等[4]混合模因算法和鄰域搜索,通過設計N1和N2兩種工序鄰域結(jié)構(gòu)求解問題的最優(yōu)解,對比試驗表明,該算法性能優(yōu)越。Gao等[5]混合離散和聲搜索算法和鄰域搜索,運用公共關鍵塊理論,針對不同優(yōu)化目標采取不同鄰域策略,試驗結(jié)果表明,該算法明顯優(yōu)于非混合算法。

      盡管混合鄰域搜索的智能算法已有大量研究成果,然而在進行鄰域搜索時盲目、隨機、過多無效移動以及僅能優(yōu)化單一目標的問題仍然存在[6-7]。因此,如何設計有效鄰域結(jié)構(gòu)、如何準確選擇鄰域工序并將其擴展到多目標優(yōu)化,仍然是當前研究的重點和難點。

      為進一步提高鄰域搜索的準確性和有效性,本文對基于關鍵路徑的鄰域結(jié)構(gòu)進行深入研究,對已有的關鍵工序同機器移動和跨機器移動操作進行改進和擴展,使其更加精準有效的同時,適用于多目標鄰域搜索。在此基礎上,將其與進化算法進行混合求解MOFJSP,通過國際通用的基準案例進行測試,驗證所提方法的有效性。

      1 問題描述

      MOFJSP問題描述為[8]:有n個工件在m臺機器上加工;每個工件有多道工序;同一工件的不同工序之間有順序約束;每道工序的可選加工設備有多個;同一時刻,一道工序只能在一個選定的機器上進行加工且不能中斷;同一時刻,每臺機器也只能加工一道工序;不同工件之間以及不同工件的工序之間無優(yōu)先級約束;加工準備時間包含在工序加工時間內(nèi)。

      本文采用多目標車間調(diào)度研究文獻中最常用的三個優(yōu)化目標[9]:最小化最大完工時間F1,最小化關鍵機器負載F2以及最小化機器總負載F3。文獻[10]表明這三個目標之間在一定程度上相互沖突。目標的數(shù)學描述如式(1)—(3)所示,其工序和設備約束的數(shù)學描述如式(4)—(6)所示:

      式中:Ci為工件i的完工時間;pijk為工序Oij在機器k上的加工時間;xijk為決策變量,如果工序Oij在機器k上加工,其值為1,否則為0。

      2 鄰域搜索

      基于析取圖理論產(chǎn)生的關鍵路徑鄰域搜索是一種高效局部最優(yōu)解求解方法,通常包括兩步:同機器移動關鍵工序和跨機器移動關鍵工序。其核心思想是最大化利用機器上相鄰工序間空閑時間,難點在于如何實現(xiàn)精準鄰域搜索以減少無效移動。

      文獻[11]認為鄰域搜索時,機器選擇是工序排序優(yōu)化的前提和基礎,因此,應先進行跨機器移動關鍵工序,再進行同機器移動關鍵工序。與其觀點不同,本文認為跨機器移動關鍵工序是尋找解空間中的點,而同機器移動關鍵工序是在每一個點周圍尋找局部最優(yōu)解。只有當前機器分配下的工序排序達到最優(yōu),才能對比機器分配方案的優(yōu)劣,才能有針對性地進行跨機器移動,避免盲目跨機器移動操作。因此,應先進行同機器移動關鍵工序,再跨機器移動關鍵工序,以防止跨機器移動產(chǎn)生的最優(yōu)解與當前非最優(yōu)解比較造成當前局部最優(yōu)解的遺失。

      (1)同機器移動關鍵工序

      長期試驗發(fā)現(xiàn),有效同機器關鍵工序移動往往存在于關鍵工序前移中,為此,該部分對工序前移進行深入研究,給出工序前移鄰域結(jié)構(gòu)和關鍵工序精確前移條件,與現(xiàn)有同機器關鍵工序移動操作相比,本文所設計方法更加精確,避免大量試探性無效移動,且只需對一種鄰域結(jié)構(gòu)進行精確移動,便可達到預期優(yōu)化效果。

      為介紹同機器精確移動關鍵工序操作,首先對一些符號進行解釋說明:假設u為一道工序,則其工件前道工序表示為JP[u],其工件后續(xù)工序表示為JS[u],其機器前道工序表示為MP[u],其機器后續(xù)工序表示為MS[u];S(u)為工序u的開始加工時間(也是最早開始加工時間),SL(u)為工序u的最晚開始加工時間,C(u)為工序u加工結(jié)束時間(也是最早加工結(jié)束時間),CL(u)為工序u的最晚加工結(jié)束時間,pk(u)為工序u在機器k上的加工時間。同機器移動關鍵工序示意圖如圖1所示。

      由于同機器移動關鍵工序并不會改變工序在機器上的分配結(jié)果,因此,同機器移動關鍵工序可有效降低目標值F1,但對于目標值F2和F3并無影響。首先識別關鍵路徑上的關鍵塊以及關鍵塊的后續(xù)工序。如果要減小F1,則關鍵塊的后續(xù)工序的開始加工時間會因為關鍵塊中關鍵工序的移動而提前,因此,工序塊的后續(xù)工序之前必須要有可提前的空間,如式(7)所示:

      圖1 同機器移動關鍵工序Fig.1 Critical operation on the same machine

      式(7)稱之為鄰域結(jié)構(gòu)條件1。同時,工序塊后續(xù)工序的工件前道工序u要包含在工序塊中。此時,得到一個推論:如果該條件成立,那么u一定為工序塊的塊尾工序。此條件稱之為鄰域結(jié)構(gòu)條件2。

      證明:反證法,假設u不是工序塊的塊尾工序,v是工序塊的塊尾工序,u在v之前,由于JS[u]之前存在時間間隔,那么S(JS[u])不再是工序塊塊尾工序的完成時間,而是max{C(u),C(MP[JS[u]])},顯然,這與關鍵路徑的工序先后順序約束關系矛盾,問題得證。

      僅同時滿足鄰域結(jié)構(gòu)條件1和2的工序塊才會被考慮進行同機器移動關鍵工序操作,顯然,該鄰域結(jié)構(gòu)可有效去除無效工序塊,降低工序塊選擇的盲目性。如果工序塊后續(xù)工序的工件前道工序u不包括在此時的關鍵塊中,那么其必定屬于其他的關鍵路徑并與其他工序塊或關鍵工序構(gòu)成上述關系。

      在滿足上述鄰域結(jié)構(gòu)的情況下,要使S(JS[u])提前,有兩種實現(xiàn)方案,第一,u位于塊尾的位置不變,通過移動塊內(nèi)其他關鍵工序使得工序塊整體開始加工時間提前;第二,移動塊尾工序u到工序塊的其他位置,使得u的完工時間C(u)提前。

      針對第一種情況,采取將關鍵塊中位于塊首和塊尾之間的關鍵工序分別移動到塊首之前的移動操作。假設a為塊首工序,b為塊首和塊尾之間的工序,e為b移動到塊首位置的跨越工序,那么只有在b移動到塊首位置之后,其開始加工時間小于原來塊首a的開始加工時間,并且其跨越工序的移動后的開始加工時間要小于其移動前最晚開始加工時間才能降低F1的值。為此,該類移動需要滿足式(8)—(10)的約束,該約束稱之為精確前移條件1。

      式中:上標af,be分別表示工序移動之后和工序移動之前。

      針對第二種情況,采取將塊尾工序分別移動到塊中非塊尾工序前方的操作,假設u為塊尾工序,g為塊中任意一個非塊尾工序,那么只有塊尾工序的跨越工序移動后的開始加工時間小于其移動前的最晚開始加工時間才能降低F1的值,為此,該類移動需要滿足式(11),該約束稱之為精確前移條件2。

      僅當精確前移條件1和2至少滿足其一時才進行同機器關鍵工序移動,該方法顯然比傳統(tǒng)試探性移動判別方法更加清楚、簡潔以及運算量小,避免大量無效移動。

      (2)跨機器移動關鍵工序

      文獻[12]介紹了一種基于同機器相鄰工序最早結(jié)束時間和最晚開工時間的跨機器移動關鍵工序方法來減少最大完工時間,與其不同,本文對其進行擴展,使其適用于求解MOFJSP。

      跨機器移動關鍵工序示意圖如圖2所示,文獻[12]中設定,僅當被移動的工序(此處假設為u)在重分配的機器上有足夠的時間間隔時,才能減小目標值F1,即:

      圖2 跨機器移動關鍵工序Fig.2 Critical operation across machines

      然而,公式(12)在求解MOFJSP時并不適用,因為該方法雖然能夠降低目標F1的值,但跨機器移動可能會導致目標值F2或F3的增加,新解與原解構(gòu)成非支配關系,因此,解并未得到優(yōu)化。此外,當公式(12)取等號時,雖然不能減小目標F1的值,僅僅是產(chǎn)生了新的關鍵路徑,然而,如果目標值F2和F3同時被降低或者其中一個降低另外一個不增加,則新解支配原來的解,解得到了優(yōu)化。因此,修正后的跨機器移動條件如式(13)—(15)所示,通過該約束,將跨機器移動關鍵工序由優(yōu)化單目標擴展為優(yōu)化多目標。

      進行跨機器移動關鍵工序時,候選機器選擇順序也是要解決的難題,在現(xiàn)有文獻報道中,都只提到要進行跨機器移動關鍵工序,但是對于候選機器選擇順序問題卻很少提及,造成跨機器移動存在盲目性和大量無用試探性計算,為此,本文首次提出跨機器移動關鍵工序的機器選擇方法:

      在滿足式(14)、式(15)的前提下,進行空載計算。機器可用區(qū)間空載時間小于被移動工序在該設備上加工時間的機器將被移除,即:

      為保持設備間的負載平衡,提出最小機器負載優(yōu)先原則,對剩余候選設備進行負載計算,并按負載大小進行排序,負載小的設備優(yōu)先進行跨機器移動;如果負載相同,則進行信息度測量計算,信息度小的將被優(yōu)先選擇,即:

      式中:Oinf代表信息度。

      3 進化算法

      與經(jīng)典進化算法相比,由于本文將使用更為精確有效的鄰域搜索,因此,在進化算法設計時重點在于擴大種群多樣性,在解空間中獲得更分散的點。同時為了便于復現(xiàn)算法以及保持論文結(jié)構(gòu)完整性,該部分將對改進的進化算法框架進行簡要介紹。

      (1)編碼與解碼

      MOFJSP包括機器選擇和工序排序兩個子問題,即:首先為工序選擇合適的加工機器,然后對每臺機器上分配的工序進行排序以滿足優(yōu)化目標的要求。為便于編程實現(xiàn),本文采用最常用的簡潔的AB鏈編碼方式,A鏈為機器選擇鏈,B鏈為工序鏈。如圖3所示,A鏈中每個基因代表機器號;B鏈中每個數(shù)字代表一個工件號,工件號出現(xiàn)的次數(shù)代表該工件的第幾道工序。比如:A鏈中第一個數(shù)字2,代表工序O11由機器M2加工;B鏈中數(shù)字3第一次出現(xiàn)時,代表工序O31,數(shù)字3第二次出現(xiàn)時,代表工序O32.,以此類推。

      圖3 染色體編碼方式Fig.3 Chromosome coding

      解碼采用基于主動調(diào)度理論的左移插空法解碼方式。按照B鏈中的工序順序在A鏈對應的機器上依次進行解碼,解碼過程中,總是在機器上尋找可用的時間間隔,從而使得生產(chǎn)過程更加緊湊,縮短加工完成時間。

      (2)種群初始化

      為確保種群多樣性,種群初始化采用混合策略生成法。機器選擇混合隨機、最小處理時間、局部最小處理時間、全局最小處理時間4種規(guī)則;工序排序混合隨機、最多負荷剩余、最多工序剩余以及最短處理時間4種規(guī)則,詳細解釋可參考文獻[6]。通過不斷隨機組合不同的規(guī)則生成所需數(shù)量初始種群。

      (3)交叉操作

      與經(jīng)典遺傳算法不同,為保持物種多樣性,本文不再采用單一的交叉方式,混合交叉方法在本文中被設計并使用,A鏈交叉操作包括:MPX[1]和Uniform Crossover[10];B鏈交叉操作包括:POX[13]和IPOX[1]。每次交叉,都隨機選擇一種交叉方法完成交叉操作。

      (4)變異操作

      為進一步增強種群多樣性,在進化算法中設計并使用了較大擾動變異方式。A鏈變異采用雙點替換法,從A鏈中隨機選擇兩個基因位,分別從各自候選設備集中隨機選擇與當前機器不同的機器替換當前的機器;B鏈變異采用三點重置法,隨機選擇三個基因位,重新打亂三個基因位的位置關系。

      (5)選擇操作

      MOFJSP中染色體選擇通常有兩種方式:基于加權和的染色體適應度選擇方法和基于支配關系的染色體選擇方法。由于加權和求解方式中加權數(shù)的確定較為困難,而基于支配關系的選擇方式不需要考慮加權數(shù),因此,本文采用基于支配關系的染色體選擇方法。基于支配關系的染色體選擇具體操作流程可參考文獻[3]。

      4 混合算法設計

      進化算法具有較強全局搜索能力,然而其局部求解能力較弱,鄰域搜索具有較強局部尋優(yōu)能力,然而其缺點是容易陷入局部最優(yōu)解。因此,結(jié)合進化算法全局搜索能力以及鄰域搜索局部尋優(yōu)優(yōu)勢可以有效克服單一算法的弊端,提高算法的整體求解性能。

      混合算法框架如圖4所示。先執(zhí)行改進的進化算法進行全局尋優(yōu),對尋優(yōu)結(jié)果執(zhí)行鄰域搜索以求解局部最優(yōu)解。為避免重復計算,在鄰域搜索之前加入去重操作,從種群列表中依次讀取每個染色體,將其與其后的染色體依次進行對比,如果編碼相同,后者將從種群中去除。為了維持種群數(shù)量不變,種群初始化方法再次被調(diào)用,生成所需數(shù)量的染色體。為了保存每次迭代的最優(yōu)解,引入臨時檔案集,檔案集在每次迭代中執(zhí)行更新策略,非支配解被加入,支配解被刪除。

      5 案例測試

      采用Python編程語言實現(xiàn)所述混合算法。測試所用計算機為:Intel i5-6400 CPU,主頻2.70 GHz,內(nèi)存8.00 GB。算法參數(shù)設置如下:種群規(guī)模為10n,交叉概率為0.8,變異概率為0.3,最大迭代次數(shù)為150代。為了測試所提算法的性能,本文將使用兩個國際通用的標準案例集進行測試并與其他成熟的算法進行對比。第一個案例集為Kacem[14],其包括5個問題實例,分別為:4×5,8×8,10×7,10×10,15×10。第二個案例集為BRdata[15],其包括10個問題實例:MK01-MK10。

      首先測試Kacem案例集,并將測試結(jié)果與4個成 熟 的 算 法 進 行 對 比,包 括:HTABC[16]、PDABC[3]、PSO+TS[8]以及STA[17],本文所設計的混合算法用NGA表示。各算法求解結(jié)果如表1所示,表中加粗的解代表該解被對比算法中的相應解支配。

      圖4 混合算法框架圖Fig.4 Framework of hybrid algorithm

      為了更好地描述本文所提算法的優(yōu)越性,對表1中的結(jié)果進行統(tǒng)計綜合分析,統(tǒng)計結(jié)果如表2所示,其中h1為被對比算法支配的解個數(shù),h2為支配對比算法中解的個數(shù),H為解的數(shù)量。從表2中可以看出,與HTABC相比,在Kacem五個問題實例上,NGA共求得12個最優(yōu)解,而HTABC僅求得8個最優(yōu)解,在NGA的12個最優(yōu)解中,僅有1個解被HTABC支配,然而,HTABC中有2個解被NGA支配,因此,NGA優(yōu)于HTABC;與P-DABC相比,盡管P-DABC共求得14個解,數(shù)量多于NGA,然而,其有4個解被NGA支配,NGA中不存在解被其支配,因此,NGA要優(yōu)于P-DABC;與PSO+TS相比,其僅獲得5個最優(yōu)解,數(shù)量遠低于NGA,且5個最優(yōu)解中有2個被NGA支配,NGA中無解被其支配,因此,NGA明顯優(yōu)于PSO+TS;與STA相比,其僅獲得9個最優(yōu)解,且有6個最優(yōu)解被NGA支配,因此,NGA同樣明顯優(yōu)于STA。

      為了進一步說明所提算法的優(yōu)越性,采用綜合評價指標反向世代距離IGD(inverted generationaldistance,IGD)進行分析,IGD計算方法如公式(18)所示,其中,P*表示帕累托前沿,其由最優(yōu)解構(gòu)成;|P*|代表帕累托前沿解的個數(shù);d(x,y)為歐式距離。計算時,所有染色體目標值均做歸一化處理,處理方法如公式(19)。IGD值越小,說明越靠近帕累托前沿,解越好。表3為IGD計算值(以IGD表示),從表中可以看出,NGA相比其他算法更接近帕累托前沿面,因此,得出結(jié)論NGA更優(yōu)越。

      表1 Kacem案例集求解結(jié)果Tab.1 Solution results of Kacem data

      表2 Kacem案例集統(tǒng)計結(jié)果Tab.2 Statistics of Kacem data

      表3 Kacem案例的IGD測度值Tab.3 IGD value of Kacem data

      此外,給出了NGA在10×7問題實例上最優(yōu)解[11,11,61]的甘特圖,如圖5所示。

      圖5 10×7問題實例解[11,11,61]的甘特圖Fig.5 Gantt chart of the solution[11,11,61]of the 10×7 problem

      對于BRdata案例集,得到的最優(yōu)解不止一個,限于篇幅,無法通過列表的形式全部給出,因此采用兩種方法來驗證所設計算法的性能。第一,對比單個解的質(zhì)量,從所設計算法的所有解中選擇一個最優(yōu)的解與其他成熟的多目標算法同規(guī)則選擇的最優(yōu)解進行對比,最優(yōu)解選擇規(guī)則為:F1最小的解優(yōu)先被選中,如果F1值相同,則選擇F2最小的解;第二,對比所有解的質(zhì)量,基于支配關系對比解的總體特性。

      對比單個解的質(zhì)量,對比算法包括:AESM[18]和AIA[19]。表4給出了對比結(jié)果,其中粗體解表示該解被對比算法中的相應解支配。從表4中可以看出,與AESM相比,其有4個解被NGA支配,而NGA中僅有2個解被其支配,因此,NGA在多目標求解能力上優(yōu)于AESM;與AIA相比,其有8個解被NGA支配,然而NGA中沒有解被AIA支配,因此,得出結(jié)論,NGA的多目標求解能力要明顯優(yōu)于AIA。

      表4 對比單個解的質(zhì)量Tab.4 Comparison of quality of single solution

      對比所有解的質(zhì)量,對比算法包括:MGA[1]、PSO[20]以及BEG[21],對比結(jié)果如表5和表6所示。為了表明所提算法的優(yōu)越性,C度量指標被引入,如式(20)所示,其代表B中的解被A中解所支配的比例,C(A,B)值越小,表明B中解的質(zhì)量越好。

      由表5可知,與MGA相比,NGA在7個問題實例上優(yōu)于MGA,僅在1個問題實例上MGA優(yōu)于NGA;與PSO相比,NGA在所有問題實例上都優(yōu)于PSO;與BEG相比,NGA在9個問題實例上優(yōu)于BEG,而BEG沒有問題實例優(yōu)于NGA。因此,得出結(jié)論,本文所提算法求得的解總體特性更好。

      由表6可知,NGA與MGA、PSO、BEG相比IGD值更小,解更貼近帕累托前沿面,因此,同樣得出結(jié)論,NGA求得的解的總體特性更加優(yōu)越。

      為了表明解在三維空間中的分布特性,給出了問題實例MK01、MK03、MK07和MK10的帕累托前沿圖,如圖6所示。圖中,總機器負載計算的是機器在一定時間內(nèi)有多少時間處于工作狀態(tài)。

      表5 C測度對比結(jié)果Tab.5 Comparison of results of metric C

      表6 BRdata案例的IGD測度值Tab.6 IGD value of BRdata

      圖6 帕累托前沿面Fig.6 Pareto front

      作者貢獻申明:

      6 結(jié)論

      本文針對MOFJSP問題,提出了一種混合精確鄰域搜索的多目標進化算法。首先,針對同機器移動關鍵工序設計了更為明確精準有效的鄰域搜索結(jié)構(gòu),為了適應該鄰域結(jié)構(gòu),給出了目標優(yōu)化的兩種關鍵工序精確移動條件,該設計有效避免了同機器移動關鍵工序中工序塊選擇和關鍵工序移動的盲目性;針對跨機器移動關鍵工序,將現(xiàn)有的單目標鄰域搜索推廣到多目標,并首次提出了精確的候選機器選擇方法,該方法可有效降低跨機器移動關鍵工序中候選機器選擇的盲目性,避免大量無效移動。其次,將精確鄰域搜索與改進的進化算法混合,實現(xiàn)了局部搜索與全局搜索的優(yōu)勢互補。最后,通過國際基準案例測試以及與其他成熟算法的對比分析驗證了所設計算法的有效性和高效性,結(jié)果表明,該算法性能優(yōu)越。

      王家海:提出研究方向,給予建設性建議;李營力:完成實驗并撰寫文章;劉錚瑋:協(xié)助實驗,分析數(shù)據(jù);劉江山:給出論文修改建議和格式檢查。

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