構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

石豪方

【摘要】隨著我國基礎(chǔ)教育改革的不斷深入，為了積極響應(yīng)學(xué)生作為教學(xué)主體，以提升學(xué)生綜合學(xué)習(xí)能力為教學(xué)目標(biāo)的要求和號召，模式多元、內(nèi)容豐富的教學(xué)措施已經(jīng)普遍運用到具體的教學(xué)中.其中，將構(gòu)造教學(xué)法合理地結(jié)合到高中數(shù)學(xué)中，能夠?qū)W(xué)生傳統(tǒng)的解題思路有效轉(zhuǎn)變，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.因此，本文針對構(gòu)造法的內(nèi)涵以及構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的有效應(yīng)用展開了全面、詳細的分析.

【關(guān)鍵詞】構(gòu)造法;高中數(shù)學(xué);解題;應(yīng)用

構(gòu)造教學(xué)法主要指在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)具體數(shù)學(xué)題目中給出的已知條件以及與題目結(jié)論有關(guān)的內(nèi)容，構(gòu)造出一種與題目的條件或者結(jié)論一致的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)模式，將題目中的未知條件轉(zhuǎn)變成已知條件，在此基礎(chǔ)上，通過更加簡單的方式，正確解出題目.構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的有效應(yīng)用，不僅能夠幫助學(xué)生更快、更準(zhǔn)地解答數(shù)學(xué)問題，還能將抽象的數(shù)學(xué)問題具體化、形象化，使學(xué)生的創(chuàng)新思維得到進一步的拓展和提升.

一、構(gòu)造法概述

（一）構(gòu)造法

構(gòu)造法就是將已經(jīng)掌握的知識以及方法進行綜合性的使用，通過題目所給出的條件或結(jié)論所具有的特質(zhì)，構(gòu)造出新的滿足于條件或結(jié)論的數(shù)學(xué)形式.一般的解決問題模式是對于題目所提供的條件或所求結(jié)論進行全面的分析，并且通過創(chuàng)造性的思維構(gòu)造出函數(shù)、圖形、方程、數(shù)列等相關(guān)模型，最終達成有效轉(zhuǎn)化并得出結(jié)果.

（二）特征

構(gòu)造法在數(shù)學(xué)教學(xué)中是常用的，其在使用過程中有著明顯的特征：構(gòu)造性，通過構(gòu)造輔助性問題，將原本的問題進行轉(zhuǎn)化;直觀性，利用構(gòu)造法進行數(shù)學(xué)問題的解決，其步驟較為直觀清晰;可行性，使用構(gòu)造法不僅可以有效判定數(shù)學(xué)對象，還可以在一定的步驟內(nèi)明確;靈活性，在開展對某具體問題的研究時，怎樣開展構(gòu)造與學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和解題相關(guān)經(jīng)驗有著緊密聯(lián)系;多樣性，構(gòu)造法與別的數(shù)學(xué)方法不同，在解題過程中通常會運用到分析、綜合、觀察等多種手段.

（三）優(yōu)勢

構(gòu)造法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用優(yōu)勢在于可以將已知條件、未知條件和結(jié)論合理地關(guān)聯(lián)到一起，將原本的數(shù)學(xué)問題簡單化，也搭建知識的橋梁.同時，如果學(xué)生能夠有效地掌握構(gòu)造法，并在實際的解決問題過程中進行應(yīng)用，那么不僅會使學(xué)生解決問題的能力得到提升，也能夠促進學(xué)生多方面素養(yǎng)的發(fā)展.

二、構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

（一）構(gòu)造法在方程中的應(yīng)用

筆者對構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的有效應(yīng)用展開的大量實際調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，在學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)相關(guān)知識的過程中，要明確了解函數(shù)知識與方程之間的緊密聯(lián)系.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中運用構(gòu)造法解決問題時，方程法也是被普遍使用的解題措施之一，由于使用的頻率比較密集，因此，已經(jīng)成為目前高中生比較熟悉的解題方法之一.方程與函數(shù)之間存在著千絲萬縷的聯(lián)系，大部分情況下，老師可以引導(dǎo)學(xué)生對題目中的已知條件進行分析，詳細了解具體的結(jié)構(gòu)關(guān)系和數(shù)量特征，根據(jù)題目的內(nèi)容將假設(shè)法合理地結(jié)合其中，創(chuàng)建與題目內(nèi)容一致的等量性方程式.在此基礎(chǔ)上，對方程式中各個量的特點、彼此之間的關(guān)系、方程式兩邊的等量關(guān)系進行分析.同時，根據(jù)恒等式變形的原則，將抽象的函數(shù)內(nèi)容轉(zhuǎn)變成形象的幾何內(nèi)容和幾何圖形.這樣的教學(xué)方式，不僅能夠使學(xué)生對數(shù)學(xué)問題有更加充分的理解，還能使學(xué)生解答數(shù)學(xué)問題的速度和準(zhǔn)確性進一步提升，從而為學(xué)生觀察能力、創(chuàng)新能力、邏輯思維能力的提升提供積極的幫助.舉一個簡單的例子：

已知log123和log1215，求二者的大小關(guān)系.

解析：根據(jù)題目知道，log123和log1215這兩個對數(shù)值都屬于靜態(tài)的函數(shù)值，因此，對這兩個對數(shù)值進行對數(shù)函數(shù)構(gòu)造，就能得到一個對數(shù)函數(shù)的動態(tài)函數(shù)值.構(gòu)造函數(shù)y=log12x，從而log123和log1215即是對數(shù)函數(shù)y=log12x中自變量x=3和x=15時的兩個函數(shù)值，這樣就實現(xiàn)了靜態(tài)函數(shù)值轉(zhuǎn)變成動態(tài)函數(shù)值的目標(biāo)，從而得到log123

（二）構(gòu)造法在圖形中的應(yīng)用

在學(xué)生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的過程中，運用圖形是解決高中數(shù)學(xué)問題普遍使用的方式之一.通過圖形解決數(shù)學(xué)問題，不僅能夠?qū)⒕哂休^高復(fù)雜性的數(shù)學(xué)問題得到簡化，轉(zhuǎn)變成具體、形象的問題，使學(xué)生能夠更加直觀地理解數(shù)學(xué)問題，還能進一步提升學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，提升學(xué)生思維的靈活性.學(xué)生在明確題目的已知條件后，可結(jié)合已知條件構(gòu)造一個圖形，將抽象的代數(shù)問題轉(zhuǎn)變成形象的幾何問題，在此基礎(chǔ)上，結(jié)合代數(shù)與幾何的相關(guān)性質(zhì)定理，將代數(shù)問題有效解答出來.因此，加大培養(yǎng)學(xué)生靈活使用圖形構(gòu)造法的力度，能夠在很大程度上提升學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的能力.比如：

已知1+x2+4+（4-x）2（0≤x≤4），求該代數(shù)式的最小值.

圖1解析：如果在解決這道代數(shù)問題時單純地使用代數(shù)方式，那么難度極高，會使高中生產(chǎn)生較大的困擾.仔細觀察代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特征可構(gòu)造一個直角三角形，將題目的內(nèi)容轉(zhuǎn)變成：一條直線上的某一個點到其他兩個點之間的最小距離，如圖所示.

已知AB=4，AC⊥AB，BD⊥AB，且AC=1，BD=2，P為AB上一點.求P點到C點和D點之間的最小距離.

解析：設(shè)AP=x，則PC=1+x2，PD=4+（4-x）2.這樣，就將原問題轉(zhuǎn)變成求P點在什么位置時，PC+PD的數(shù)值最小.畫一條以AB為中軸線的C點的對稱點C′，

將C′點與D點連接，與AB相交于點P，此時，根據(jù)△PAC′∽△PBD能得到等式x4-x=12，經(jīng)過計算，得到x=43.因此，通過簡單的轉(zhuǎn)換就能得到P點到C點和D點之間的最小距離為5，也就是1+x2+4+（4-x）2（0≤x≤4）的最小值為5[2].

（三）構(gòu)造法在函數(shù)中的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)知識體系的構(gòu)建中，函數(shù)是極為重要的知識.函數(shù)構(gòu)造的學(xué)習(xí)對學(xué)生有效形成解題思路，加強解題能力有著關(guān)鍵性的作用.在開展對高中生整體解題的教學(xué)中，教師的主要教學(xué)內(nèi)容就是讓學(xué)生形成一定的解題想法.實際上數(shù)學(xué)問題中都蘊含著函數(shù)思想.在代數(shù)、幾何等相關(guān)數(shù)學(xué)問題的探析過程中，將有關(guān)問題轉(zhuǎn)變?yōu)楹瘮?shù)問題可以大大提升解題的效率，幫助學(xué)生形成一定的思維并深化學(xué)生的創(chuàng)新能力，不但增強了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性，也鍛煉了學(xué)生的創(chuàng)造性思維.

（四）構(gòu)造法在數(shù)列中的應(yīng)用

在解決高中數(shù)學(xué)問題時，數(shù)列構(gòu)造也是一種極為具有實用價值的解題形式.例如，等比數(shù)列、等差數(shù)列等都可以作為解答數(shù)學(xué)問題的重要方法.在實際的解題過程中，教師可以通過構(gòu)造法將數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生所熟悉的等比數(shù)列，這樣學(xué)生在解答時相對較為簡單，有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解以及運用.

三、構(gòu)造法運用于高中數(shù)學(xué)解題中的策略

（一）形成構(gòu)造理念

有效運用構(gòu)造法的前提條件是了解以及掌握構(gòu)造法的真正含義.構(gòu)造是采取一系列的措施，經(jīng)過一定的流程以及步驟達成相應(yīng)的目的.教師在為學(xué)生講解構(gòu)造法時，一定要以簡單的、學(xué)生容易理解的形式，讓學(xué)生通過自己理解和認(rèn)知，采取合適的形式提高解決問題的效率，進而鍛煉學(xué)生的思維.使用構(gòu)造法可以將原本難以解決的問題構(gòu)造為平時已經(jīng)解決的簡單問題，從而高效地完成相應(yīng)的學(xué)習(xí)任務(wù)，并掌握知識內(nèi)容.以方程為例，方程主要包括代數(shù)方程、曲線方程等，涉及的知識面極為廣泛，而且對于學(xué)生來講難度較大，不易精準(zhǔn)高效地掌握.方程與函數(shù)、代數(shù)式等相關(guān)數(shù)學(xué)知識有著密切的關(guān)聯(lián)，所以學(xué)生在解答疑難方程式的過程中合理采用構(gòu)造法，可通過方程式的相應(yīng)理論、性質(zhì)等進一步強化對知識的記憶，理解數(shù)學(xué)知識內(nèi)容，進而轉(zhuǎn)化出更多的題目，解決更多的難題.高中生會通過自身的不斷剖析與反思，逐步將生活中的數(shù)學(xué)知識融入高中數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)中，自己創(chuàng)造更多的學(xué)習(xí)機會，促進良好學(xué)習(xí)習(xí)慣的形成.

（二）結(jié)合解題方式

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，解題方式多樣，構(gòu)造法只是其中一種高效的解決形式，并不適用于所有的數(shù)學(xué)問題，還需要與其他的解決方式進行一定的結(jié)合，才能夠發(fā)揮最大的成效，真正做到將疑難問題簡單化.例如，在解決方程、函數(shù)、不等式、絕對值等問題時，最基本的思路都是將絕對值轉(zhuǎn)化為不含絕對值的問題，其中運用分類討論、幾何意義等方式能夠在實際的解題過程中將自己的思維進行一定的轉(zhuǎn)變，將題目中的條件以及概念、性質(zhì)等進行有效的解析，在最短的時間明確最合適的解決思路，選擇最有效的解決方法，進而高質(zhì)量地解決疑難知識點.將多種解決問題方式進行一定的結(jié)合，不僅可以實現(xiàn)解決問題成效的提升，還能夠鍛煉學(xué)生的思維，使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中逐漸形成自主學(xué)習(xí)的相關(guān)能力.

（三）促進多向思維

從初中到高中，數(shù)學(xué)知識相對以往更具抽象性，而且內(nèi)容復(fù)雜.若是學(xué)生還是一成不變地采用固有的思維方式去學(xué)習(xí)新的數(shù)學(xué)知識和思考新的數(shù)學(xué)問題，則很難將其中的知識點高質(zhì)量地掌握，從而無法在實際的學(xué)習(xí)過程中進行運用.所以教師在開展數(shù)學(xué)知識的教學(xué)過程中，一定要注重對學(xué)生多向思維的培養(yǎng)，讓學(xué)生將固有思維的局限性打破，合理地使用構(gòu)造法，還要運用概括法、類比法等多種思維模式將數(shù)學(xué)問題中隱含的關(guān)系、條件等有效提取，從而構(gòu)造數(shù)學(xué)解題模式，讓解題變得更靈活且多樣，促使學(xué)生高質(zhì)量地解決問題，思維向更全面的方向發(fā)展.

（四）養(yǎng)成轉(zhuǎn)化思維

若學(xué)生在學(xué)習(xí)知識的過程中無法通過直觀的概念進行一定的引領(lǐng)，在探究本質(zhì)上則較為困難，因此，教學(xué)時一定要運用數(shù)形結(jié)合這一理念，通過數(shù)字與圖形的有機結(jié)合，幫助學(xué)生以最快的速度發(fā)現(xiàn)解決問題的方式.在教學(xué)中，教師要引領(lǐng)學(xué)生形成一定的轉(zhuǎn)化思想，讓學(xué)生可以對不同類型的問題進行合理的分析，形成一定的學(xué)習(xí)習(xí)慣，促使學(xué)生更愿意思考，從而提高思維能力及創(chuàng)造能力.

四、結(jié)束語

根據(jù)以上針對構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的有效應(yīng)用展開的詳細分析，我們能夠更加明確地了解，對于高中生而言，各科的學(xué)業(yè)壓力都比較大，因此，在解決難度較大、數(shù)量較多的數(shù)學(xué)問題時，很難保持較高的積極性和主動性.鑒于此，為了將學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的主觀能動性充分激發(fā)出來，教師將構(gòu)造教學(xué)法合理地結(jié)合其中，將數(shù)學(xué)問題簡化的同時，使學(xué)生思維方式更靈活，從而使高中數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量和效果提升到一個新的高度.

【參考文獻】

[1]楊燕.淺析構(gòu)造法在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].讀與寫（教育教學(xué)版），2016（9）：112-114.

[2]王志寶.高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中如何巧用構(gòu)造法[J].赤子（上中旬），2015（18）：317-319.