哥德巴赫猜想的完美證明

何海浪 何雷

【摘要】通過(guò)分組重排、抽取淘汰算出等于兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和的式子個(gè)數(shù)在等于兩個(gè)奇數(shù)之和的式子總數(shù)中所占的比大于0證明哥德巴赫猜想一，根據(jù)哥德巴赫猜想一證明哥德巴赫猜想二.

【關(guān)鍵詞】合數(shù);質(zhì)數(shù);含合數(shù)的式子;兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和的式子

1742年，德國(guó)哥德巴赫提出哥德巴赫猜想，200多年來(lái)，人們努力地想證明它，卻始終未能完全證明它，1966年我國(guó)的陳景潤(rùn)證明了“1+2 ”即一個(gè)大偶數(shù)等于一個(gè)質(zhì)數(shù)加上兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積.

一、任何一個(gè)偶數(shù)等于兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和

（一）10以?xún)?nèi)的偶數(shù)等于兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和

對(duì)于10以?xún)?nèi)的偶數(shù)，我們可以逐個(gè)驗(yàn)證：4=2+2，6=3+3，8=3+5，10=3+7=5+5.

（二）大于10的偶數(shù)等于兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和

因?yàn)橘|(zhì)數(shù)只等于1乘它本身，合數(shù)含除1和它本身外的因數(shù)，大于2的偶數(shù)都是合數(shù)，大于2的質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)，所以我們所說(shuō)的奇數(shù)、合數(shù)、質(zhì)數(shù)是指大于1的奇數(shù)、奇合數(shù)、奇質(zhì)數(shù)，可以用（2k+1）（k≥1）表示：3、5、7……（2k+1）.一定范圍內(nèi)的數(shù)，必然存在著質(zhì)數(shù)，合數(shù)就是由這些質(zhì)數(shù)中的一些作為質(zhì)因數(shù)相乘得到的，但我們當(dāng)作合數(shù)由它的最小質(zhì)因數(shù)形成.若單獨(dú)看以某質(zhì)數(shù)為質(zhì)因數(shù)形成的合數(shù)，它們的個(gè)數(shù)是一定的且占所有數(shù)總個(gè)數(shù)的比非常接近且小于該質(zhì)數(shù)的倒數(shù)或約為該質(zhì)數(shù)的倒數(shù).若用兩種方法將所有數(shù)分組重排：假設(shè)Ny、Nz為質(zhì)數(shù)，分別以3、5、7……（2Ny+1）為首項(xiàng)、2Ny為公差的等差數(shù)列將所有數(shù)排成Ny組;分別以3、5、7……（2Nz+1）為首項(xiàng)、2Nz為公差的等差數(shù)列將所有數(shù)排成Nz組，則從Ny組中抽取一組數(shù)，將該組數(shù)分到Nz組的每一組中且每組分到的數(shù)占的比是相同的;從Nz組中抽取一組數(shù)，將該組數(shù)分到Ny組的每一組中且每組分到的數(shù)占的比是相同的.

數(shù)的個(gè)數(shù)最多的一組比最少的一組多1個(gè)，其中有一組為Nr、3Nr、5Nr……該組除首項(xiàng)Nr外均為含質(zhì)因數(shù)Nr的合數(shù)，該組不論是個(gè)數(shù)最多的一組還是最少的一組，除去首項(xiàng)Nr，含質(zhì)因數(shù)Nr的合數(shù)個(gè)數(shù)占所有數(shù)總個(gè)數(shù)的比為ar[]Nr（0

若從Nr組中抽取首項(xiàng)為Np的一組，則當(dāng)Np為Nr時(shí)，該組除首項(xiàng)Nr外均為含質(zhì)因數(shù)Nr的合數(shù)，抽取后剩下的每組是都不含質(zhì)因數(shù)Nr的合數(shù)，而以其他質(zhì)數(shù)為質(zhì)因數(shù)形成的合數(shù)個(gè)數(shù)所占的比在每組中（抽取的或未抽取的）或在所有數(shù)總個(gè)數(shù)中是相同的.

若用兩種方法將這些數(shù)重排得到Ny、Nz組，從Ny組中抽取首項(xiàng)為Np（Np可以為Ny）的一組中的某個(gè)數(shù)，與該數(shù)相差2NyNz的數(shù)在Ny組的同一組中也在Nz組的同一組中，而首項(xiàng)為Np的一組數(shù)每相鄰兩數(shù)之間相差2Ny，從相差2Ny到相差2NyNz有Nz個(gè)數(shù)，它們必然分到Nz組中，每組分到的數(shù)的個(gè)數(shù)占該組數(shù)總個(gè)數(shù)的比都相同且為ay[]Ny（0

我們假設(shè)該偶數(shù)為N=2k+2（k≥2）=（2k1+1）+（2k2+1）（k1，k2≥1），即該偶數(shù)等于兩個(gè)奇數(shù)之和，按照前面那個(gè)加數(shù)從小到大，后面那個(gè)加數(shù)從大到小，把該偶數(shù)等于兩個(gè)奇數(shù)之和的所有算式列出：

因?yàn)楹蠑?shù)由它的最小質(zhì)因數(shù)形成，所以在3→（2k-1）范圍內(nèi)能夠作為質(zhì)因數(shù)的最大質(zhì)數(shù)為與2k-1最接近且小于或等于2k-1的質(zhì)數(shù).我們假設(shè)：與2k-1最接近且小于或等于2k-1的質(zhì)數(shù)為Nw，與Nw最接近且小于Nw的質(zhì)數(shù)為Nm，把所列式子個(gè)數(shù)看作1，按一定順序分組重排、抽取淘汰算出含合數(shù)的式子（某式子的前面加數(shù)中含有或某式子的后面加數(shù)中含有或某式子的前后兩個(gè)加數(shù)中都含有）等于兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和的式子在所列式子總個(gè)數(shù)中所占的比.

將所列式子的前后加數(shù)分別按以3、5、7為首項(xiàng)、6為公差的等差數(shù)列把前后加數(shù)都排成3組（共6組）：

把所列式子也排成了3組，式子個(gè)數(shù)最多的一組比最少的一組多1，其中有兩組為3、9、15……這兩組除首項(xiàng)3外均為含質(zhì)因數(shù)3的合數(shù)，如果該偶數(shù)含質(zhì)因數(shù)3，那么這兩組出現(xiàn)在同一組式子的前后加數(shù)中;如果該偶數(shù)不含質(zhì)因數(shù)3，那么這兩組分別出現(xiàn)在某一組式子的前面加數(shù)中和另一組式子的后面加數(shù)中，從這些組中抽取并淘汰含質(zhì)因數(shù)3的合數(shù)的式子，則抽取淘汰式子個(gè)數(shù)占式子總個(gè)數(shù)的比、抽取淘汰后剩下式子個(gè)數(shù)占式子總個(gè)數(shù)的比分別為a1[]3、3-a1[]3（當(dāng)該偶數(shù)含質(zhì)因數(shù)3時(shí)，a1≈1且a1等于含質(zhì)因數(shù)3的合數(shù)個(gè)數(shù)除以所有數(shù)總個(gè)數(shù)且分母為3時(shí)的分子值;當(dāng)該偶數(shù)不含質(zhì)因數(shù)3時(shí)，a1≈2且a1等于含質(zhì)因數(shù)3的合數(shù)個(gè)數(shù)的2倍除以所有數(shù)總個(gè)數(shù)且分母為3時(shí)的分子值）.

在抽取淘汰式子的數(shù)中和抽取淘汰后剩下式子的數(shù)中，含質(zhì)因數(shù)5、7、11……Nm、Nw的合數(shù)所占的比約為1[]5、1[]7、1[]11……1[]Nm、1[]Nw.

對(duì)剩下的占式子總個(gè)數(shù)的比為3-a1[]3的不含質(zhì)因數(shù)3的合數(shù)式子中的數(shù)進(jìn)行分組重排，將前面抽取淘汰式子中的數(shù)全部放回剩下的數(shù)中參加重排，分別以3、5、7、9、11為首項(xiàng)、10為公差的等差數(shù)列把前后加數(shù)都排成5組（共10組）：

把所列式子也排成5組，式子個(gè)數(shù)最多的一組比最少的一組多1，其中有兩組為5、15、25……這兩組除首項(xiàng)5外均為含質(zhì)因數(shù)5的合數(shù)，如果該偶數(shù)含質(zhì)因數(shù)5，則這兩組出現(xiàn)在同一組式子的前后加數(shù)中;如果該偶數(shù)不含質(zhì)因數(shù)5，則這兩組分別出現(xiàn)在某一組式子的前面加數(shù)中和另一組式子的后面加數(shù)中，從這些組式子中抽取出含質(zhì)因數(shù)5的合數(shù)的式子，則抽取出式子的個(gè)數(shù)占式子總個(gè)數(shù)的比、抽取后剩下式子個(gè)數(shù)占式子總個(gè)數(shù)的比分別為a2[]5、5-a2[]5（當(dāng)該偶數(shù)含質(zhì)因數(shù)5時(shí)，a2≈1且a2等于含質(zhì)因數(shù)5的合數(shù)個(gè)數(shù)除以所有數(shù)總個(gè)數(shù)且分母為5時(shí)的分子值;當(dāng)該偶數(shù)不含質(zhì)因數(shù)5時(shí)，a2≈2且a2等于含質(zhì)因數(shù)5的合數(shù)個(gè)數(shù)的2倍除以所有數(shù)總個(gè)數(shù)且分母為5時(shí)的分子值），將每一組（包括抽取的一組或兩組）含質(zhì)因數(shù)3的合數(shù)的式子淘汰，再將抽取出的含質(zhì)因數(shù)5的合數(shù)的式子淘汰，則淘汰的式子個(gè)數(shù)占式子總個(gè)數(shù)的比為a2[]5×3-a1[]3，抽取淘汰后剩下式子個(gè)數(shù)占式子總個(gè)數(shù)的比為3-a1[]3-a2[]5×3-a1[]3=5-a2[]5×3-a1[]3.

對(duì)剩下的式子占總個(gè)數(shù)的比為5-a2[]5×3-a1[]3的不含質(zhì)因數(shù)3、5的合數(shù)式子中的數(shù)進(jìn)行分組重排，將前面抽取淘汰式子中的數(shù)全部放回剩下的數(shù)中參加重排，分別以3、5、7、9、11、13、15為首項(xiàng)、14為公差的等差數(shù)列把前后加數(shù)都排成7組（共14組）：將每一組（包括抽取的一組或兩組）含質(zhì)因數(shù)3、5的合數(shù)的式子淘汰，再將抽取出的含質(zhì)因數(shù)7的合數(shù)的式子淘汰，則淘汰的式子個(gè)數(shù)占式子總個(gè)數(shù)的比為a3[]7×5-a2[]5×3-a1[]3，

把所列的式子也排成了Nw組，式子個(gè)數(shù)最多的一組比最少的一組多1，其中有兩組為Nw、3Nw、5Nw……這兩組除首項(xiàng)Nw外均為含質(zhì)因數(shù)Nw的合數(shù)，如果該偶數(shù)含質(zhì)因數(shù)Nw，則這兩組出現(xiàn)在同一組式子的前后加數(shù)中;如果該偶數(shù)不含質(zhì)因數(shù)Nw，則這兩組出現(xiàn)在某一組式子的前面加數(shù)中和另一組式子的后面加數(shù)中，從這些式子中抽取出含質(zhì)因數(shù)Nw合數(shù)的式子，則抽取出式子個(gè)數(shù)占式子總個(gè)數(shù)的比、抽取后剩下式子個(gè)數(shù)占式子總個(gè)數(shù)的比分別為aw[]Nw、Nw-aw[]Nw（當(dāng)該偶數(shù)含質(zhì)因數(shù)Nw時(shí)，aw≈1且aw等于含質(zhì)因數(shù)Nw合數(shù)個(gè)數(shù)除以所有數(shù)總個(gè)數(shù)且分母為Nw的分子值;當(dāng)該偶數(shù)不含質(zhì)因數(shù)Nw時(shí)，aw≈2且aw 等于含質(zhì)因數(shù)Nw合數(shù)個(gè)數(shù)的2倍除以所有數(shù)總個(gè)數(shù)且分母為Nw的分子值），將每一組（包括抽取的一組或兩組）含質(zhì)因數(shù)3、5、7……Nm的合數(shù)的式子淘汰，再將抽取出的含質(zhì)因數(shù)Nw合數(shù)的式子淘汰，則淘汰的式子個(gè)數(shù)占式子總個(gè)數(shù)的比為

在抽取淘汰式子的數(shù)中只含質(zhì)因數(shù)Nw的合數(shù)，在抽取淘汰后剩下式子的數(shù)中不含合數(shù)，否則合數(shù)的最小質(zhì)因數(shù)將大于Nw，合數(shù)將大于（2k-1），是不可能的.

二、任何一個(gè)奇數(shù)等于三個(gè)質(zhì)數(shù)之和

我們先把該奇數(shù)表示為一個(gè)偶數(shù)與一個(gè)質(zhì)數(shù)之和，再根據(jù)哥德巴赫猜想一的結(jié)論，把加數(shù)中的偶數(shù)表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和，這樣就可以證明哥德巴赫猜想二：任何一個(gè)奇數(shù)等于三個(gè)質(zhì)數(shù)之和.

綜上所述，通過(guò)分組重排、抽取淘汰算出等于兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和式子個(gè)數(shù)在等于兩個(gè)奇數(shù)之和式子總個(gè)數(shù)中所占的比大于0證明哥德巴赫猜想一，根據(jù)哥德巴赫猜想一證明哥德巴赫猜想二.