李檳檳, 陳 輝, 劉維建, 張昭建, 周必雷

(空軍預(yù)警學(xué)院, 湖北 武漢 430019)

0 引 言

由于電磁矢量傳感器(electromagnetic vector sensor, EMVS)陣列較傳統(tǒng)標(biāo)量陣列能額外地感知信號的極化信息,所以在相同電磁環(huán)境下,其角度估計(jì)精度更高[1-2]。因而EMVS陣列參數(shù)估計(jì)受到了國內(nèi)外學(xué)者廣泛關(guān)注,已取得了豐碩研究成果。文獻(xiàn)[3]通過理論推導(dǎo)和仿真分析證明了EMVS的參數(shù)估計(jì)性能優(yōu)于傳統(tǒng)標(biāo)量陣列。文獻(xiàn)[4-6]采用高維代數(shù)建立信號模型，研究出了性能優(yōu)于基于矩陣的參數(shù)估計(jì)算法。文獻(xiàn)[7]借助旋轉(zhuǎn)不變技術(shù)估計(jì)信號參數(shù)(estimation of signal parameter via rotational invariance technique, ESPRIT)算法移植到任意布置的EMVS參數(shù)估計(jì)問題中。北京理工大學(xué)徐友根教授關(guān)于EMVS陣列參數(shù)估計(jì)問題出版了一本極具深度和廣度的專著[8]。另一方面，EMVS互耦更嚴(yán)重。因此，有部分學(xué)者研究分離式或稀疏EMVS陣列的參數(shù)估計(jì)問題[9-14]。此外，結(jié)合實(shí)際相干信號場景，文獻(xiàn)[15]研究了分離式EMVS的相干信源參數(shù)估計(jì)問題。眾多學(xué)者從不同角度對EMVS參數(shù)估計(jì)問題進(jìn)行了廣泛研究。值得注意的是,目前大部分文獻(xiàn)研究的EMVS是由短電偶極子(其長度小于0.1倍信號波長)和小磁環(huán)(其半徑小于0.015 9倍信號波長)組成的[16],這種小EMVS的弊端在于其輻射效率低,如長度為0.01倍波長的短電偶極子的輻射效率僅有36%。與小EMVS對應(yīng)的是大EMVS[16],其物理尺寸更大,輻射效率更高,如長度為0.5倍波長的長電偶極子的輻射效率可達(dá)到95%。因此,大EMVS較小EMVS在工程應(yīng)用中更具有優(yōu)勢,對大EMVS參數(shù)估計(jì)算法深入研究具有重要實(shí)踐意義。

目前,大EMVS參數(shù)估計(jì)算法研究尚處在起步階段,公開文獻(xiàn)較少。文獻(xiàn)[17-19]研究了長偶極子開放形式或迭代的波達(dá)方向(direction of arrival, DOA)估計(jì)算法。而文獻(xiàn)[20]研究了三正交同心式(空間上幾何中心重疊)長電偶極子二維DOA(two-dimensional DOA, 2D-DOA)和極化參數(shù)估計(jì)閉式解算法,但該算法需要先驗(yàn)信息,即估計(jì)2D-DOA時(shí)要極化參數(shù)先驗(yàn)信息,估計(jì)極化參數(shù)時(shí)要2D-DOA先驗(yàn)信息。文獻(xiàn)[21]研究了三正交同心式大磁環(huán)2D-DOA和極化參數(shù)估計(jì)閉式解算法,與文獻(xiàn)[20]類似,該算法也需要先驗(yàn)信息。文獻(xiàn)[22]研究了3種不同結(jié)構(gòu)的正交長電偶極子極化角度估計(jì)閉式解算法,該算法需要2D-DOA的先驗(yàn)信息。文獻(xiàn)[16]研究了六分量的大EMVS的參數(shù)估計(jì)閉式解算法,避開了使用經(jīng)典矢量叉積算法[23]的傳統(tǒng)思維,無需任何先驗(yàn)知識情況下可獲得四維參數(shù)的閉式解。上述關(guān)于大EMVS參數(shù)估計(jì)的閉式解算法是由北京航空航天大學(xué)WONG教授團(tuán)隊(duì)提出的,算法均是針對單個(gè)EMVS的。2018年,本文作者構(gòu)建了長電偶極子面陣模型,并利用陣列空域旋轉(zhuǎn)不變性,提出了高精度無模糊的四維參數(shù)估計(jì)算法,該算法無需極化先驗(yàn)信息,但多維參數(shù)之間不能自動配對[24]。

上述文獻(xiàn)中算法對信噪比和快拍數(shù)要求很高,而基于稀疏重構(gòu)的算法在低快拍和低信噪比情況下仍能保持較好的參數(shù)估計(jì)性能[25]。因此,本文擬探索基于稀疏重構(gòu)的大EMVS參數(shù)估計(jì)方法。

首先構(gòu)造正交長電偶極子均勻線陣信號模型,然后挖掘DOA和極化參數(shù)在導(dǎo)向矢量的聯(lián)系并構(gòu)造低維的塊狀稀疏表示,采用塊正交匹配追蹤(block orthogonal matching pursuit, BOMP)[26]算法恢復(fù)塊稀疏信號,最后根據(jù)非零元素支撐集求出DOA參數(shù)估計(jì)值,并根據(jù)塊內(nèi)元素內(nèi)部關(guān)系求出極化參數(shù)估計(jì)值。本文的主要貢獻(xiàn)總結(jié)如下:一是探索稀疏重構(gòu)在低快拍背景下大EMVS參數(shù)估計(jì)中的應(yīng)用,二是能同時(shí)估計(jì)DOA和極化參數(shù),即無需DOA(或極化參數(shù))作為先驗(yàn)知識來估計(jì)極化參數(shù)(或DOA),且能實(shí)現(xiàn)自動配對。此外,為證明本文算法的優(yōu)越性,選擇文獻(xiàn)[27]中算法作為對比,仿真驗(yàn)證了本文算法精度更高、計(jì)算量更小的結(jié)論。

1 正交長電偶極子線陣信號模型

假設(shè)K個(gè)完全極化信號入射到如圖1所示的由M個(gè)正交長電偶極組成的均勻線陣上,其中正交長電偶極子是由1個(gè)z軸方向和1個(gè)x軸方向正交放置的長電偶極子組成,每個(gè)電偶極子的長度均為L,陣元間距為d,θ表示入射電磁波信號的俯仰角。

圖1 陣列示意圖

正交長電偶極子的流形矢量a[17]可表示為

a=(Θg)⊙l

(1)

(2)

g=[(sinγ)ejη,cosγ]T

(3)

l=[(π/2,L),(θ,L)cscθ]T

(4)

(5)

式中,符號⊙表示Hadamard積;γ和η分別表示極化輔助角和極化相位差;λ表示波長。

陣列的空域?qū)蚴噶靠杀硎緸?/p>

q=[1,e-j(2π sin θ/λ)d,…,e-j(2π sin θ/λ)(M-1)d]T

(6)

則整個(gè)陣列流形矢量b可表示為

b=a?q

(7)

式中,?表示Kronecker積。于是陣列接收到K個(gè)信號數(shù)據(jù)可表示為

(8)

2 DOA和極化參數(shù)聯(lián)合估計(jì)算法

本節(jié)將詳細(xì)闡述利用BOMP算法來獲取DOA和極化參數(shù)估計(jì)值的算法,主要包括兩部分內(nèi)容:①構(gòu)造低維稀疏表示;②利用得到恢復(fù)后的信號反推出DOA和極化參數(shù)估計(jì)值。

首先考慮稀疏表示,由于陣列流形矢量b中包含DOA和極化共3個(gè)待估計(jì)角度,一般來說,需要構(gòu)造三維完備字典,這樣導(dǎo)致字典維數(shù)過高且會帶來后續(xù)恢復(fù)計(jì)算量大的問題。因此,下面將利用Hadamard積和Kronecker積性質(zhì)來構(gòu)造一維僅包含DOA信息的完備字典,即把DOA與極化角度分離開來。正交長電偶極子的導(dǎo)向矢量可重新表示為

a=(Θg)⊙l=

(9)

式中，Θ(:,i)表示矩陣Θ的第i列。根據(jù)(AB)?(CD)=(A?C)(B?D),陣列流形矢量b可重新變換為

(10)

則陣列接收數(shù)據(jù)形式變?yōu)?/p>

(11)

接收數(shù)據(jù)y(t)的協(xié)方差矩陣為

R=E[y(t)y(t)H]=

(12)

(13)

令

zvec(R)∈C4M2×1

(14)

(15)

(sinγkcosγk)ejηk,cos2γk]T

(16)

(17)

于是,式(13)可寫為

(18)

注意,到此時(shí)Bk僅包含DOA信息,而χk包含極化和信號功率信息。

假設(shè)空域被等間隔劃分為G個(gè)角度,記為[θ1,θ2,…,θg,…,θG],則式(18)的稀疏表示為

(19)

(20)

3 運(yùn)算量分析

值得注意的是,本文所提算法是對接收數(shù)據(jù)得協(xié)方差矩陣進(jìn)行矢量化,塊的長度為4;而文獻(xiàn)[27]算法是對接收數(shù)據(jù)直接矢量化,塊的長度為4F,其中F表示快拍數(shù)。當(dāng)快拍數(shù)大于1時(shí),文獻(xiàn)[27]中塊的長度就會大于本文塊的長度。下面定量分析兩種算法的復(fù)乘次數(shù)。本文算法的運(yùn)算量主要集中在計(jì)算接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣和BOMP算法恢復(fù)過程,其計(jì)算量分別為O{(2M)2F}和O{16M2GK},共需O{4M2F+16M2GK}次復(fù)乘運(yùn)算。文獻(xiàn)[27]算法的運(yùn)算量主要集中在BOMP算法恢復(fù)過程,需要O{2MGF2K}次復(fù)乘運(yùn)算。假設(shè)M=12,F=60,G=1 251,K=2,本文算法大約需要5.8×106次復(fù)乘運(yùn)算,文獻(xiàn)[27]算法大約需要2.2×108次復(fù)乘運(yùn)算。綜合分析可知,在相同仿真條件下,本文算法運(yùn)算量更小。

4 計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果與分析

本節(jié)擬通過計(jì)算機(jī)仿真來驗(yàn)證所提算法的有效性,對比算法選擇文獻(xiàn)[27]中的算法。需要特別說明的是:在構(gòu)造完備字典時(shí),文獻(xiàn)[27]直接對多快拍接收數(shù)據(jù)進(jìn)行矢量化,本文是對接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行矢量化;而本節(jié)仿真恢復(fù)稀疏信號均采用BOMP算法,該恢復(fù)算法在長電偶極子和短電偶極子參數(shù)估計(jì)中均適用。

仿真1目標(biāo)參數(shù)估計(jì)結(jié)果

假設(shè)均勻陣列由M=12個(gè)正交長電偶極子組成,陣元間距d=0.5λ,電偶極子長度為L=0.2λ。設(shè)置入射非相干信源K=2,且2個(gè)目標(biāo)功率相同,其俯仰角為θ=[25°,40°],極化輔助角為γ=[60°,20°],極化相位差為η=[10°,55°]?？炫臄?shù)設(shè)置為F=100,信噪比(signal to noise ratio, SNR)設(shè)置為10 dB,實(shí)驗(yàn)次數(shù)等于50。構(gòu)造完備字典時(shí),空域選擇20°～45°,搜索間隔為0.1°。該條件下陣列半功率波束寬度大約為8.4°,搜索間隔為0.1°,即約為半功率波束寬度的1%,這樣的精度已經(jīng)非常足夠,因此搜索間隔設(shè)為0.1°較合理。圖2給出DOA和極化參數(shù)估計(jì)的配對結(jié)果圖,其中“+”表示參數(shù)真實(shí)值,“o”表示本文算法50次估計(jì)值,“*”表示文獻(xiàn)[27]算法50次估計(jì)值。從圖2可以看出,本文算法的估計(jì)值更接近真值。

仿真2估計(jì)性能分析——SNR

假設(shè)電偶極子長度為L=0.3λ,快拍數(shù)設(shè)為F=60,SNR變化區(qū)間為0～30 dB,間隔為5 dB,實(shí)驗(yàn)次數(shù)等于300,其他仿真條件與仿真1一致。均方根誤差(root mean square error, RMSE)定義為

(21)

圖3 RMSE和估計(jì)準(zhǔn)確概率隨SNR變化情況

仿真3估計(jì)性能分析——快拍數(shù)

該仿真中實(shí)驗(yàn)次數(shù)等于300,快拍數(shù)變化區(qū)間為50～100,間隔為10,其他仿真條件與仿真1一致。圖4給出各個(gè)角度估計(jì)RMSE和估計(jì)準(zhǔn)確概率隨快拍數(shù)變化的情況。從圖4情況看,可得到與仿真2同樣的結(jié)論。

圖4 RMSE和估計(jì)準(zhǔn)確概率隨快拍數(shù)變化情況

仿真4估計(jì)性能分析——運(yùn)行時(shí)間

該仿真統(tǒng)計(jì)算法運(yùn)行一次所需的時(shí)間,快拍數(shù)設(shè)置為F=60,陣元數(shù)變化區(qū)間為10～60,間隔為10,其他仿真條件與仿真1一致。圖5是本文算法和文獻(xiàn)[27]算法的運(yùn)行時(shí)間隨著陣元數(shù)變化的情況。

圖5 運(yùn)行時(shí)間隨陣元數(shù)變化的情況

從圖5可以看出,本文算法的運(yùn)行一次所需時(shí)間明顯比文獻(xiàn)[27]算法更短,尤其在陣元數(shù)多的時(shí)候優(yōu)勢更明顯。其中,仿真軟件選用Matlab R2018a版本,硬件平臺如下: CPU為Intel(R)Core(TM)i5-8250U,內(nèi)存8 GB,運(yùn)行環(huán)境Microsoft Windows 10×64。

綜上仿真結(jié)果,本文算法在快拍數(shù)有限的背景下依然能準(zhǔn)確估計(jì)目標(biāo)DOA,且性能優(yōu)于文獻(xiàn)[27]算法,其主要原因是本文算法能充分利用接收數(shù)據(jù)的分布特性。

5 結(jié) 論

針對陣列接收數(shù)據(jù)低快拍的背景,本文研究了基于稀疏重構(gòu)的長電偶極子陣列參數(shù)估計(jì)方法。該方法對接收數(shù)據(jù)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行矢量化從而得到塊稀疏表示,充分利用了多個(gè)快拍數(shù)據(jù)之間的分布特性。仿真實(shí)驗(yàn)證明本文算法的精度和運(yùn)算量均優(yōu)于文獻(xiàn)[27]算法,不僅能實(shí)現(xiàn)DOA和極化參數(shù)的聯(lián)合估計(jì),而且能實(shí)現(xiàn)各個(gè)參數(shù)之間自動配對。此外,本文算法對快拍數(shù)要求不高,對于解決高速、高機(jī)動的彈載雷達(dá)DOA估計(jì)問題具有借鑒意義。