求圓錐曲線最值問題的三種思路

張彩玲

(安徽省碭山中學 235300)

一、利用三角函數(shù)的有界性

三角函數(shù)的有界性是當x∈R，那么|sinx|≤1,|cosx|≤1，這就是三角函數(shù)的有界性，也是三角函數(shù)的重要性質(zhì)之一，在求解圓錐曲線問題時，利用三角函數(shù)的有界性，通常能幫助我們將復雜問題簡單化.

例1已知圓的方程為x2+y2-4x-10y+25=0，該圓與直線l相切，又與直線x=2，y=5構成面積最小的三角形，求直線l的方程.

解析將原方程進行配方，得

(x-2)2+(y-5)2=4.

設x′=x-2,y′=y-5，那么新坐標下的圓的方程為x′2+y′2=4.

直線x=2、y=5分別是新坐標系中的x′軸和y′軸，原點就為(0，0).

設切點為(2cosθ,2sinθ)，那么切線方程為

2x′cosθ+2y′sinθ=4.

二、利用導數(shù)法

利用導數(shù)法求圓錐曲線極值問題，首先得構造與所求量有關的函數(shù)關系式，然后再通過對構造的函數(shù)f(x)進行求導，令導函數(shù)f′(x)=0，求出極值點x值，再根據(jù)定義域從而確定所求量的極值.

例2已知拋物線為x2=2py(P>0)，存在一定點M(p，p)，求在拋物線上存在點Q，使得|MQ|2最小.

解析設點Q的坐標為(x，y)，則

|MQ|2=(x-p)2+(y-p)2.

令f(x)=|MQ|2

=x2-2px+p2+y2-2py+p2

三、利用基本不等式法

基本不等式法是指兩個正實數(shù)的算數(shù)平均數(shù)大于或者等于它們的幾何平均數(shù).也可以說，對于任意實數(shù)a和b，存在這樣一個關系：a2+b2≥2ab，那么當且僅當a=b時，等號成立.

例3已知拋物線y2=4x與x2=4y，兩拋物線在第一象限內(nèi)的公共點為點A，過點A作一條直線，使該直線與x軸和y軸的正半軸所圍成的三角形的面積最小，求該三角形最小的面積.

解析聯(lián)立方程并且根據(jù)第一象限的性質(zhì)，可得到點A的坐標為(4，4).

將通過點A所引出的直線的斜率設為k，則k≠0,k≠1.

通過點斜式的公式，得y-4=k(x-4).

又因為兩個截距都為正，

所以k<0，

由以上幾個例題發(fā)現(xiàn)，圓錐曲線最值問題，容納了各種各樣的解題技巧，與其他知識點相互滲透，不僅要求學生對解題技巧掌握得十分熟練，而且還要學會靈活運用.希望在以后的解題過程中，能發(fā)現(xiàn)更多的解題方法，并將這些方法進行整理，這樣對于提升成績大有益處.