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      抓住三角函數(shù)的“五性”速解題

      2021-04-13 09:09:00江蘇省金湖中學(xué)211600張?zhí)?/span>
      關(guān)鍵詞:五性偶函數(shù)奇函數(shù)

      江蘇省金湖中學(xué) (211600) 張?zhí)?/p>

      在許多與三角函數(shù)相關(guān)的問題中,如果我們能夠挖掘三角函數(shù)中蘊藏的周期性、奇偶性、單調(diào)性、對稱性和有界性并有效使用,從而就抓住問題實質(zhì)、使問題的快速解決,起到事半功倍的作用.下面通過幾個典型題例,展示這些性質(zhì)的精妙運用給解題帶來的效果,供讀者朋友參考.

      一、周期性

      若對函數(shù)y=f(x),存在實數(shù)T≠0,使等式f(x)=f(x+T)對任意x都成立,則稱此函數(shù)為周期函數(shù),T為一個周期.

      例1 已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0≤φ≤π)一個周期內(nèi)圖像的最高點是(2,2),與它相鄰的最低點的橫坐標是6,則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2020)=.

      評注:求一些函數(shù)式若干項的和的問題,找出其式子規(guī)律性(如周期性)是非常重要的思維趨向.

      評注:抓住所給周期的范圍就是抓住了問題的關(guān)鍵點,為后面快速解題鋪平了道路.

      二、奇偶性

      若函數(shù)y=f(x),若對定義域內(nèi)的任意x都有f(-x)=f(x),則稱函數(shù)f(x)為偶函數(shù);若對定義域內(nèi)的任意x都有f(-x)=-f(x),則稱函數(shù)f(x)為奇函數(shù).

      評注:對于一般的三角函數(shù)式,若需判斷函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性或求函數(shù)的最大值和最小值等問題時,首要任務(wù)是將其轉(zhuǎn)化為f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,然后再根據(jù)條件求解.

      評注:此題是三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合題,體現(xiàn)了高考題的考查目標與方向,抓住三角函數(shù)為奇函數(shù)的特點解決參數(shù)求值問題是破題的關(guān)鍵.

      三、對稱性

      對于函數(shù)y=f(x),若在定義域內(nèi)任意x,都有f(a-x)=f(a+x)成立,則稱此函數(shù)關(guān)于直線x=a對稱;若都有f(a-x)=-f(a+x)成立,則稱此函數(shù)關(guān)于點(a,0)對稱,其中偶函數(shù)與奇函數(shù)是這兩種情況下在a=0時的特例.

      評注:由于三角函數(shù)y=sinx的對稱軸是比較熟悉的,所以這里判斷出所給函數(shù)是軸對稱問題就是解題的重要環(huán)節(jié).

      評注:將中心對稱的條件轉(zhuǎn)化為一個等式,再分析化簡這個等式,求出待求參數(shù)的值是解決此類題最基本的思路.

      四、單調(diào)性

      評注:已知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求其它問題,就是將已給的區(qū)間看成是整個函數(shù)區(qū)間的子集,然后建立等式或不等式解決問題.

      五、有界性

      如果函數(shù)y=f(x)對給出的區(qū)間上任意x都滿足f(x)≤M,則稱M是此函數(shù)的上確界,滿足f(x)≥N,則稱N是此函數(shù)的下確界.

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