初中數(shù)學解題中側(cè)向思維的有效應用

■福建省龍巖北大附屬實驗學校 許明明

一、用于解答因式分解習題

因式分解是初中數(shù)學的重要基礎(chǔ)知識，相關(guān)習題難度差別較大。部分習題涉及較多的項，甚至還含有一些高次項。因初中生知識有限，無法直接求解，因此，教學中應注重給予學生引導，傳授相關(guān)的解題技巧，尤其啟發(fā)學生運用側(cè)向思維尋找解題突破口。要求學生先認真分析題干，尋找內(nèi)在規(guī)律，采取換元法進行降次，逐漸向熟悉的知識靠攏，直到順利解題。

例1，因式分解：（x+1）（x+2）（x+3）（x+6）+x2

該題目涉及的項數(shù)較多，如采取的方法不當，很難解答。實踐中發(fā)現(xiàn)，很多學生看到該題目后，將因式展開，結(jié)果出現(xiàn)了x 的四次方，最終無功而返。教學中認真觀察四個多項式的乘積，兩兩進行巧妙的結(jié)合進行展開，而后運用側(cè)向思維進行求解。原式=（x+1）（x+6）（x+2）（x+3）+x2=（x2+7x+6）（x2+5x+6）+x2，此時可令t=x2+5x+6 進行降次處理。則原式=（t+2x）t+x2=t2+2xt+x2=（t+x）2，即，原式因式分解的結(jié)果為（x2+6x+6）2。

二、用于解答最值習題

初中生對數(shù)學最值問題并不陌生，一些習題常借助函數(shù)性質(zhì)進行解答。然而部分習題則需要學生具有靈活的思維，從正面無法求解或求解難度較大，可借助側(cè)向思維進行巧妙的轉(zhuǎn)化，讓原本看似無規(guī)律可循的問題變得有規(guī)律可循。

例2，如圖1 在平面直角坐標系中，拋物線y=x2-2x+2 存在一動點A，過點A 作AC⊥x 軸于點C，以AC為對角線作矩形ABCD，連結(jié)BD，則對角線BD 的最小值為___。

圖1

題干中涉及BD的已知條件較少，顯然無法正面求解。課堂上可引導學生回顧矩形的性質(zhì)，積極應用側(cè)向思維，思考如何尋找BD與已知條件之間的聯(lián)系。顯然由以往所學可知，矩形的對角線相等，因此，求解出AC的長。就相當于求解BD的長，如此問題便迎刃而解。由拋物線性質(zhì)可得，當A位于拋物線頂點時距離x 軸最近。根據(jù)題意不難求解出拋物線坐標為（1，1），此時AC的長為1，即，BD的最小值為1。

三、用于解答角度問題

初中數(shù)學中的一些題型常借助幾何關(guān)系要求學生求解某個角度的值。解答該類習題的方法多種多樣，其中借助側(cè)向思維可使學生在解題中少走彎路。為使學生能夠靈活應用側(cè)向思維解答角度問題，課堂上與學生一起分析用側(cè)向思維解題的過程，給學生帶來不同的解題體驗，幫助其樹立解題的自信，并養(yǎng)成運用側(cè)向思維解題的良好習慣。

例3，如圖2將圓O沿著弦AB折疊，圓弧剛好經(jīng)過圓心O，點P 為優(yōu)弧AMB 上一點，則∠APB 的度數(shù)為（ ）

圖2

A.45° B.30° C.75° D.60°

學生對該題目創(chuàng)設(shè)的情境并不陌生，如何巧妙地應用側(cè)向思維成為解題的關(guān)鍵。顯然還需要從已知條件入手，聯(lián)想與圓有關(guān)的知識加以突破。題目要求∠APB的度數(shù)，根據(jù)同一弦圓心角與圓周角的關(guān)系，求出與其同一弦所對的圓心角的度數(shù)，也就得出了結(jié)果。作半徑OC⊥AB于點D，連接OA、OB，如圖3所示。根據(jù)已知條件易得OD=DC，則∠OAB=∠OBA=30°，則∠AOB=180°-60°=120°，則∠APB=60°，正確選項為D。

圖3

四、用于解答方程問題

方程與函數(shù)有著千絲萬縷的聯(lián)系，解題中常將兩者相互轉(zhuǎn)化，以尋找參數(shù)之間的關(guān)系，順利解答習題。教學中為使學生掌握應用側(cè)向思維解答方程問題的經(jīng)驗，應注重設(shè)計相關(guān)的問題對學生進行專門的訓練，鼓勵學生應用側(cè)向思維進行分析，并使其能夠迅速破題。

例4，如圖4在平面直角坐標系中，M是直線y=2與x 軸間的一個動點，且點M 是拋物線的頂點，則方程的解的個數(shù)是（ ）

圖4

A.0或2 B.0或1 C.1或2 D.0，1或2

該題目需結(jié)合圖像，運用側(cè)向思維將方程根的問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖像交點問題。審題可知只要求出函數(shù)圖像與 y2=1 的交點個 數(shù)即可。由圖4 可知當1＜y1＜2 時，兩個函數(shù)圖像無交點，即，無解。當y1=1只有一個交點，即只有一個解；當0＜y1＜1 時，兩個函數(shù)圖像有兩個交點，即，有兩個解。綜上可知，方程的解的個數(shù)為0、1個或2個，正確選項為D。

五、結(jié)語

解題教學在初中數(shù)學教學中占有重要地位。為實現(xiàn)學生解題能力的顯著提升，教學中不僅要求學生多做題，更要結(jié)合自身教學經(jīng)驗做好常用解題思維的總結(jié)，并將解題思維講解滲透至各教學環(huán)節(jié)中，尤其側(cè)向思維可使學生通過現(xiàn)象看本質(zhì)，更快、更為高效地進行解題，因此，教師在教學中應引起足夠的重視，做好側(cè)向思維在解題中的應用教學，使學生徹底掌握，靈活應用。