積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn) 建立數(shù)學(xué)模型

蔣媛 孫冬梅

【摘 要】從學(xué)習(xí)心理的角度來看，推理往往是指由一個(gè)或一個(gè)以上的概念，推理出新的判斷的過程，這個(gè)過程不僅常見于教學(xué)當(dāng)中，也常常存在于生活當(dāng)中。數(shù)學(xué)模型有助于學(xué)生將具象抽象化并進(jìn)行解釋和應(yīng)用。在推理中建立數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生在操作中經(jīng)歷，在經(jīng)歷中體驗(yàn)，在體驗(yàn)中累積，這樣才能獲得最具數(shù)學(xué)本質(zhì)的、最具價(jià)值的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

【關(guān)鍵詞】演繹推理 歸納推理 合情推理 數(shù)學(xué)模型 活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

在動(dòng)手操作中學(xué)數(shù)學(xué)，有利于學(xué)生經(jīng)歷“動(dòng)作思維—表象—抽象思維—概括—形成模型”的過程。因此在教學(xué)中，組織學(xué)生實(shí)踐操作，參與推理的全過程，引導(dǎo)思維由直觀向抽象轉(zhuǎn)化，從事物中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，進(jìn)行歸納，形成模型。數(shù)學(xué)推理的類型有很多，下面筆者從演繹推理、歸納推理和合情推理這三個(gè)方面，談一談關(guān)于“長方體和正方體的整理和復(fù)習(xí)”的一些思考。

一、從演繹推理中建立數(shù)學(xué)模型

演繹推理又稱為論證推理，是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等），按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程，是從一般到特殊的推理，它是以某類事物的一般判斷為前提做出這類事物的個(gè)別、特殊事物判斷的推理方法。

【案例】怎樣拼表面積最小

師：把2個(gè)這樣的盒子用紙包裝起來，怎樣拼最省包裝紙？為什么這樣拼？

生：把最大的面重疊起來，表面積最小。

師：把兩個(gè)小長方體拼成一個(gè)大長方體，都減少了幾個(gè)面？

（指出：兩個(gè)紙盒拼起來表面積少了2個(gè)面）

師：如果再增加一個(gè)長方體呢？怎樣拼表面積最?。磕銥槭裁催@么拼？

生：把最大的面重疊起來，表面積最小。

師：減少了幾個(gè)面？

（指出：拼接一次，重疊2個(gè)面，拼接2次，重疊4個(gè)面）

師：通過將2個(gè)、3個(gè)小長方體拼成一個(gè)大長方體，你有什么發(fā)現(xiàn)？

（指出：重疊的面越大，表面積越?。?/p>

師：猜猜看，如果要將4個(gè)紙盒拼起來，怎么包裝最省包裝紙？

（追問：這種實(shí)際上大大小小重疊了幾個(gè)面？重疊了哪8個(gè)面？）

師：還有小組是這樣拼的，重疊了幾個(gè)面？（展示其他兩種拼法）都是重疊了8個(gè)面，你認(rèn)為一樣嗎？哪種重疊方法表面積最??？

（指出：重疊的面越多、越大，表面積越?。?/p>

師：現(xiàn)在你能用這種方法，研究怎樣包裝6個(gè)紙盒最省包裝紙了嗎？6人小組合作拼一拼，并在小組里說一說為什么這樣拼。

師：其實(shí)我們生活中很多物品的包裝就是采用的這種拼接方法。

師：剛剛我們拼了2個(gè)、3個(gè)、4個(gè)和6個(gè)小長方體，你發(fā)現(xiàn)了什么奧秘？

（指出：我們?cè)谄葱￠L方體時(shí)，發(fā)現(xiàn)重疊的面越大、越多，表面積就?。?/p>

師：剛才我們研究了長方體，正方體是特殊的長方體，那正方體中是不是也有這樣的規(guī)律呢？

（指出：正方體是特殊的長方體，長方體的規(guī)律，對(duì)于正方體也是成立的）

師：那正方體的規(guī)律有什么特殊的地方？

（指出：正方體的每個(gè)面都相等，表面積最小的時(shí)候只要考慮重疊的面越多就行了）

【思考】學(xué)生在拼2個(gè)和3個(gè)的小長方體的過程中積累了一些活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，知道了將最大的面重疊起來，表面積最小。因此在拼4個(gè)小長方體的時(shí)候很容易就將經(jīng)驗(yàn)遷移過來，這是學(xué)生的思維定式。因此讓學(xué)生通過再次操作，有了和前面不一樣的發(fā)現(xiàn)，而這個(gè)發(fā)現(xiàn)是對(duì)前面經(jīng)驗(yàn)的補(bǔ)充，從而推理出結(jié)論并建立起“重疊的面越多、越大，表面積越小”這一模型。而正方體是特殊的長方體，通過一般事物的模型，推理出特殊事物的模型，是演繹推理的范疇。演繹推理認(rèn)為：前提與結(jié)論之間有著必然的聯(lián)系，只要前提是真的，推理是合乎邏輯的，就一定能得到正確的結(jié)論。因此可以推理出正方體也同樣適用，但有著特殊的地方，每個(gè)面的大小一樣，只要考慮重疊的面最多就可以了。讓學(xué)生參與推理的全過程，從中積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

二、從歸納推理中建立數(shù)學(xué)模型

歸納是由個(gè)別到一般的推理，從特殊事實(shí)得到一般原理，即通過一些學(xué)生熟知的個(gè)別生活實(shí)例或數(shù)學(xué)問題，再進(jìn)行觀察，比較、分析、綜合中歸納出一般結(jié)論。

【案例】正方體的棱長乘2，表面積和體積將發(fā)生什么變化？

師：如果正方體的棱長乘2，那表面積和體積將有怎樣的變化呢？我們一起來研究研究。

要求：1.每人拿出表格獨(dú)立填一填。

2.組長將每人的表格貼至學(xué)習(xí)單上，小組討論并完成“我的發(fā)現(xiàn)”。

小組展示學(xué)習(xí)單，組長匯報(bào)研究的過程。

師：你們的發(fā)現(xiàn)和他們一樣嗎？是不是任意的正方體只要棱長乘2，都有這樣的規(guī)律呢？

4人小組討論，寫出驗(yàn)證過程。

組長匯報(bào)，師指出：通過驗(yàn)證，我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)正方體的棱長乘2時(shí)，表面積乘4，體積乘8。

【思考】數(shù)學(xué)知識(shí)是抽象的，而小學(xué)生的思維是以形象思維為主的。顯然，數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)與小學(xué)生的思維特點(diǎn)是矛盾的。所以在小組合作的過程中，學(xué)生可以觀察小組內(nèi)舉例的直觀數(shù)據(jù)進(jìn)行初步猜想，在全班討論時(shí)，如果每人舉例都不一樣，也僅僅只有50多個(gè)表象，不能涵蓋所有，那這一猜想到底正確與否就要我們?nèi)ヲ?yàn)證。怎么驗(yàn)證才能夠涵蓋所有？才能由具象到抽象呢？用字母a表示正方體的棱長，建立模型。由于前面已經(jīng)有了大量的表象作為基礎(chǔ)，并且學(xué)生已經(jīng)積累了一些數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，得到了具象的結(jié)論，在此基礎(chǔ)上歸納出模型是完全能夠?qū)崿F(xiàn)的。同時(shí)在這一活動(dòng)中，學(xué)生由淺及深、由具體到抽象積累了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

三、從合情推理中建立數(shù)學(xué)模型

合情推理是根據(jù)已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，在某種情景和過程中推出可能性結(jié)論的推理，主要包括觀察比較、不完全歸納、類比猜想、估算聯(lián)想。在教學(xué)中如何進(jìn)行合情推理能力的培養(yǎng)，使學(xué)生能夠?qū)W得輕松有效，循序漸進(jìn)，培養(yǎng)創(chuàng)新精神，是一個(gè)值得我們深思的問題。

【案例】正方體的棱長×n，表面積和體積將發(fā)生什么變化？

師：猜一猜，如果正方體的棱長乘了3呢？表面積和體積又怎樣變化呢？

生：表面積乘了9，體積乘了27。

師：如果乘4了呢？你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：表面積乘了16，體積乘了64。

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：表面積乘了平方倍，體積乘了立方倍。

師：如果正方體的棱長乘了n，表面積乘了n2，體積乘了n3。這僅僅是猜想，你有什么方法驗(yàn)證嗎？4人小組討論，驗(yàn)證過程寫在學(xué)習(xí)單的反面。

師：看來我們剛剛的猜想是正確的。

師：那任意一個(gè)長方體是不是也有這樣的規(guī)律呢？我們可以借助剛剛研究正方體的經(jīng)驗(yàn)，課后繼續(xù)研究。

【思考】數(shù)學(xué)是在人們對(duì)客觀世界定性把握和定量刻畫的基礎(chǔ)上，逐步抽象、概括，形成模型、方法和理論的過程，這一過程充滿著觀察、猜想和合情推理。接著讓學(xué)生猜想棱長乘3、乘4，表面積和體積怎樣變化，最后讓學(xué)生猜想任意一個(gè)長方體是不是也有這樣的規(guī)律，并讓學(xué)生對(duì)照自己的猜想進(jìn)行驗(yàn)證，完善修改。然后加以類比，這一系列的過程，都是合情推理。因此再次讓學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)，用字母代表了棱長，并且讓學(xué)生在推理中得出“正方體的棱長乘了n，表面積乘了n2，體積乘了n3”。最后讓學(xué)生研究由特殊到一般，將研究正方體的方法延伸到長方體，看是否也存在這樣的規(guī)律。這兩個(gè)數(shù)學(xué)活動(dòng)都體現(xiàn)了合情推理和模型的有效結(jié)合。

讓學(xué)生在操作中推理，在推理中建模，這樣才能獲得最具數(shù)學(xué)本質(zhì)的、最具價(jià)值的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。