吳嫦娥

[摘? 要] 數(shù)感的重要性在小學(xué)已被《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱《新課標(biāo)》）所提及了，雖然由此經(jīng)歷了十年左右的相關(guān)培訓(xùn)，但是目前高中生在數(shù)感方面表現(xiàn)出的缺乏狀態(tài)卻屢屢可見. 文章對(duì)影響高中生數(shù)感培養(yǎng)的障礙成因進(jìn)行了探討，并對(duì)此做出了對(duì)策建議.

[關(guān)鍵詞] 數(shù)感;培養(yǎng)障礙;對(duì)策

新課標(biāo)對(duì)數(shù)感的表述，主要是指關(guān)于數(shù)與數(shù)量、數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算結(jié)果估計(jì)等方面的感悟[1]. 新課標(biāo)所描述的“感悟”對(duì)不少教師和學(xué)生來說，是具有較大抽象性的，多來自自身體驗(yàn)，所以對(duì)“感悟”的理解不到位. 在2001年，我國教育部制定并頒布的《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（試驗(yàn)稿）》已對(duì)數(shù)感有所描述：使學(xué)生“經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)符號(hào)和圖形描述現(xiàn)實(shí)世界的過程，建立數(shù)感和符號(hào)感，發(fā)展抽象思維”. 在這里，我們能得到一些對(duì)數(shù)感較為具體的解釋：“數(shù)感”和“符號(hào)感”是并列的，因?yàn)樵诟咧袛?shù)學(xué)教學(xué)中，隨著高中生抽象思維的發(fā)展，“符號(hào)感”對(duì)“數(shù)感”的影響越來越大，所以“數(shù)感”的建立和發(fā)展是無法離開“符號(hào)感”的. 因此，結(jié)合新課標(biāo)對(duì)數(shù)感的表述，筆者認(rèn)為，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)數(shù)感的理解應(yīng)該是指對(duì)數(shù)與量之間關(guān)系的掌握，能夠利用估算和精確、嚴(yán)格的推論將數(shù)量關(guān)系通過數(shù)字、數(shù)學(xué)符號(hào)和圖形表達(dá)出來，從而用數(shù)學(xué)語言描述世界. 這也是筆者所要表達(dá)的高中生建立數(shù)感的內(nèi)涵.

■高中生數(shù)感培養(yǎng)的障礙成因

從前文的敘述可以明顯知道，高中生數(shù)感的建立和發(fā)展相對(duì)小學(xué)和初中更具抽象性和復(fù)雜性，它包含了更多的數(shù)學(xué)符號(hào)和圖形，筆者認(rèn)為這是形成高中生數(shù)感培養(yǎng)的障礙主線. 本文將以此主線為探討方向，從教師和學(xué)生兩個(gè)主要角色為分析出發(fā)點(diǎn)，從中說明高中生數(shù)感培養(yǎng)的障礙成因.

1. 障礙成因之一——由于數(shù)感的抽象性，對(duì)數(shù)感的認(rèn)識(shí)不到位

新課標(biāo)雖然做了對(duì)數(shù)感的表述，但是其表述本身也是抽象的，由此造成不同的教育者對(duì)其的理解并不相同（筆者也一樣，期望探討），甚至同一教育者在不同經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上對(duì)其的理解也不相同. 例如，不同學(xué)者就自身對(duì)數(shù)感的理解提出了不同定義：1988年，Judith Sowder將數(shù)感定義為“一個(gè)具有良好組織的概念網(wǎng)格結(jié)構(gòu)，它能夠使一個(gè)數(shù)字和它相關(guān)的操作特性相關(guān)聯(lián)，并且以靈活而有創(chuàng)造性的方式解決數(shù)字問題”[2]. 2002年，我國學(xué)者馬云鵬、史炳星認(rèn)為“數(shù)感是人對(duì)數(shù)與運(yùn)算的一般性理解. 這種理解可以幫助人們用靈活的方法作出數(shù)學(xué)判斷和為解決復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題作出有用的策略”[3].

雖然不同教育者對(duì)數(shù)感的理解并不相同，但是我們?nèi)匀豢梢岳谩疤厥獾揭话恪钡臄?shù)學(xué)思想（這也是我們教師時(shí)常在教學(xué)中表示要傳授學(xué)生的數(shù)學(xué)思想）對(duì)數(shù)感的一般特性進(jìn)行概況認(rèn)識(shí)：首先，數(shù)感是一種直覺，代表了對(duì)數(shù)字（數(shù)量）及數(shù)學(xué)符號(hào)和圖形的敏感程度與理解廣度;其次，數(shù)感是一種數(shù)概念結(jié)構(gòu)，能夠?qū)⑴c數(shù)字（數(shù)量）及數(shù)學(xué)符號(hào)和圖形有關(guān)的操作聯(lián)系起來;再次，數(shù)感并非是具體的、單一的算法、公式、定理、模型的感知，而是需要解決的問題與數(shù)學(xué)思維之間的按鈕.

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)數(shù)感的一般特性的認(rèn)識(shí)，最容易缺乏的是數(shù)學(xué)符號(hào)和圖形，以及對(duì)數(shù)感的培養(yǎng)只在乎具體的、單一的算法、公式、定理、模型等，從而造成數(shù)感培養(yǎng)的層層障礙，這些障礙的積累使得學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)不斷出現(xiàn)各種錯(cuò)誤，甚至形成數(shù)學(xué)無趣、無意義、無作用、無實(shí)踐的觀念.

2. 障礙成因之二——由于建立和發(fā)展數(shù)感的復(fù)雜性，對(duì)數(shù)感的接觸意識(shí)變得冷淡

建立數(shù)感是多方位的，但首先要學(xué)會(huì)的是“用數(shù)學(xué)”去思考，這需要一種主動(dòng)地、自覺地或自動(dòng)化地去理解數(shù)和運(yùn)用數(shù)的態(tài)度與意識(shí)，這種態(tài)度和意識(shí)的建立又需要經(jīng)歷完整、復(fù)雜的思考過程. 數(shù)感的螺旋建立和發(fā)展的過程細(xì)節(jié)充滿了復(fù)雜性，這也是為什么大部分教師與學(xué)生一提到數(shù)學(xué)就頭疼的原因之一. 這種細(xì)節(jié)的復(fù)雜性源于數(shù)學(xué)概念的輸入，比如“函數(shù)”概念，學(xué)生開始在課堂中對(duì)“數(shù)集”“對(duì)應(yīng)法則”“唯一確定”集結(jié)的函數(shù)顯得一臉茫然，仍然處于“變量”模型，這種階段的上升常常使得師生力所不及;細(xì)節(jié)的復(fù)雜性體現(xiàn)在對(duì)實(shí)際問題的解決和結(jié)果輸出，比如解決與函數(shù)有關(guān)的實(shí)際問題，其書面文字表達(dá)和圖形表達(dá)需要轉(zhuǎn)化為數(shù)字和數(shù)學(xué)符號(hào)表達(dá)，然后建立函數(shù)模型，通過邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析等煩瑣的過程得出結(jié)果. 這種輸入過程與輸出過程所體現(xiàn)的復(fù)雜性，使得師生在教學(xué)過程中都會(huì)自覺主動(dòng)地簡(jiǎn)單化，拋棄與考試“無關(guān)”的教學(xué)內(nèi)容和實(shí)踐活動(dòng)，這使得數(shù)感的體驗(yàn)逐漸減少.

數(shù)感是一種直覺，而這種直覺并不是天然的，它需要學(xué)生通過不斷地接納數(shù)學(xué)知識(shí)，形成良好的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)思考意識(shí)，這需要時(shí)間的積累，這對(duì)高中師生來說，太多時(shí)間的耗費(fèi)是無法接受的. 而且對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的接納和數(shù)學(xué)思考意識(shí)的建立，需要教師的引導(dǎo)和學(xué)生的自我構(gòu)建，這是教師的知識(shí)輸出和學(xué)生的知識(shí)輸入共同努力、相互融合的結(jié)果，但師生的完好配合一直以來都是教學(xué)的難點(diǎn)，配合錯(cuò)位容易造成教師授課和學(xué)生自我構(gòu)建不斷出現(xiàn)多種問題. 最明顯的問題表現(xiàn)就是教師“講課”只看課程，對(duì)學(xué)情不了解，缺乏針對(duì)性. 錯(cuò)位的教學(xué)，使得師生各行其是，最終能簡(jiǎn)單統(tǒng)一的便是強(qiáng)調(diào)對(duì)算法、公式、模式等的記憶. 由于建立和發(fā)展數(shù)感的復(fù)雜性，最終使得師生都不愿意主動(dòng)提及，主動(dòng)接觸數(shù)感的意識(shí)越來越少，逐漸變得冷淡. 長(zhǎng)此以往，使得不少教師在接受“新學(xué)生”時(shí)找不到培養(yǎng)數(shù)感的起點(diǎn)，而且學(xué)生在數(shù)感方面的冷淡表現(xiàn)也容易讓教師產(chǎn)生知識(shí)誤解，從而失去培養(yǎng)指向.

■消除障礙的部分對(duì)策建議

由障礙成因的分析，主要原因存在于兩大方面，一是對(duì)抽象的數(shù)感的理解不到位，導(dǎo)致數(shù)感培養(yǎng)不全面;二是復(fù)雜的數(shù)感培養(yǎng)對(duì)時(shí)間和精力的耗費(fèi)是多數(shù)教師和學(xué)生無法接受的，加上師生之間常常存在的錯(cuò)位表現(xiàn)，最終使得數(shù)感培養(yǎng)意識(shí)逐漸冷淡. 針對(duì)這兩大培養(yǎng)障礙，筆者提出了如下消除建議：

1. 了解數(shù)感培養(yǎng)的教育價(jià)值

了解數(shù)感培養(yǎng)的教育價(jià)值，是從思想上建立數(shù)感培養(yǎng)意識(shí). 數(shù)感培養(yǎng)意識(shí)的產(chǎn)生和強(qiáng)化，是影響學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的持續(xù)動(dòng)力，是教師主動(dòng)去研究數(shù)感培養(yǎng)的教育沖動(dòng). 對(duì)數(shù)感培養(yǎng)的教育價(jià)值，可以從三個(gè)方面來理解：

（1）數(shù)感培養(yǎng)有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 前文提到，建立數(shù)感首先要學(xué)會(huì)的是“用數(shù)學(xué)”去思考. “用數(shù)學(xué)”去思考，其標(biāo)志是學(xué)生能自主在具體的現(xiàn)實(shí)情境中去探索、去發(fā)現(xiàn)問題，并轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模型，能通過數(shù)學(xué)思維解決問題. 這個(gè)過程正是學(xué)生六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)表現(xiàn)的過程，因此可以說，建立數(shù)感是提高學(xué)生核心素養(yǎng)的關(guān)鍵.

（2）數(shù)感培養(yǎng)有助于提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的自我構(gòu)建能力和實(shí)踐能力. 數(shù)感是一種數(shù)概念結(jié)構(gòu)，它的建立和發(fā)展能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)知識(shí)和現(xiàn)實(shí)世界聯(lián)系起來，這是提高學(xué)生的自我建構(gòu)能力和實(shí)踐能力的結(jié)構(gòu)支撐. 例如，當(dāng)學(xué)生在現(xiàn)實(shí)世界遇到拋物運(yùn)動(dòng)時(shí)，能夠利用二次函數(shù)或圓錐曲線方程來思考、解決問題;例如，當(dāng)學(xué)生看到“一個(gè)橢圓”時(shí)，首先想到的就是PF1+PF2=2a，■=■=e，a2=b2+c2等. 這就是數(shù)感在實(shí)際生活和數(shù)學(xué)運(yùn)算中的具體表現(xiàn)，表現(xiàn)的輸出，是學(xué)生自我構(gòu)建能力和實(shí)踐能力不斷上升的結(jié)果.

（3）數(shù)感培養(yǎng)有助于建立和發(fā)展學(xué)生的理性思維和邏輯思維. 雖說數(shù)感是一種數(shù)的直覺，但是直覺的表征需要精確、嚴(yán)格的邏輯證明，證明過程的提煉能打開學(xué)生數(shù)學(xué)思維的洞察力，從而認(rèn)識(shí)事物的本質(zhì)和規(guī)律性. 這是建立和發(fā)展理性思維和邏輯思維的完整過程.

2. 增加學(xué)生的數(shù)感體驗(yàn)

更嚴(yán)格地說，數(shù)感并非教師教出來的，而是由學(xué)生經(jīng)過實(shí)踐活動(dòng)體驗(yàn)和感悟出來的，教師在學(xué)生的數(shù)感培養(yǎng)過程中發(fā)揮得更多的其實(shí)是引導(dǎo)作用. 因此，如何引導(dǎo)學(xué)生增加數(shù)感體驗(yàn)，是教師在培養(yǎng)中更需要思考的問題.

（1）對(duì)起點(diǎn)的設(shè)定. 所謂“起點(diǎn)的設(shè)定”是指教師在課堂教學(xué)之前，以學(xué)情的了解和掌握作為基礎(chǔ)，對(duì)課堂教學(xué)內(nèi)容和課后知識(shí)鞏固的定位，包括情境創(chuàng)設(shè)、問題聯(lián)系、活動(dòng)開發(fā)、助導(dǎo)反思等過程的定位. 在各個(gè)過程中，教師要以學(xué)情為基礎(chǔ)逐漸加強(qiáng)學(xué)生的自主行為，包括合作交流、發(fā)言提問、質(zhì)疑反思、活動(dòng)踐行等，自主行為的啟發(fā)和完善過程，是將輸入的知識(shí)、技能在熟悉之后轉(zhuǎn)化為數(shù)感的過程，這將增加學(xué)生的數(shù)感體驗(yàn).

（2）增加師生、生生相互交流和表達(dá)的機(jī)會(huì). 這里的交流和表達(dá)主要是指教師引導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生在課堂上能用自己的語言解釋數(shù)學(xué)，在課堂外能用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界，將內(nèi)隱的數(shù)感用外顯知識(shí)表達(dá)出來. 相互的交流和表達(dá)可以將個(gè)體在生活中的數(shù)感體驗(yàn)融合之后數(shù)倍增加，這是增加學(xué)生數(shù)感體驗(yàn)的直接途徑. 另外，師生、生生之間長(zhǎng)期的交流可以使得相互配合切合，這不僅能為數(shù)感培養(yǎng)提供情感支撐，還能為數(shù)感培養(yǎng)發(fā)揮集體智慧.

3. 注重概念教學(xué)和實(shí)際問題的解決

概念可以說是基礎(chǔ)教育中最基礎(chǔ)的知識(shí)，而與數(shù)有關(guān)的概念又是數(shù)不勝數(shù). 在概念教學(xué)中，將抽象的數(shù)概念具體化、形象化，與實(shí)際生活聯(lián)系起來，這是讓學(xué)生直接感受數(shù)的意義的過程. 教師要做的就是引導(dǎo)學(xué)生注意觀察身邊具體、有趣的實(shí)物，然后在課堂上用自己的語言將實(shí)物描述出來，這是學(xué)生對(duì)生活體驗(yàn)的表述，是數(shù)感建立的初始之段. 在對(duì)數(shù)概念熟悉、理解之后，讓學(xué)生經(jīng)歷獨(dú)立思考、合作交流、動(dòng)手操作具體的實(shí)際活動(dòng). 在活動(dòng)中，既要體現(xiàn)精確運(yùn)算，也要表達(dá)估算的重要性，在解決問題中建立和發(fā)展數(shù)感.

■總結(jié)

筆者認(rèn)為，數(shù)感并非只指對(duì)數(shù)與量之間的關(guān)系的感悟，還包含了數(shù)與形、數(shù)與號(hào)之間的關(guān)系的感悟，這點(diǎn)是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感的基礎(chǔ)和認(rèn)識(shí)全面的定位. 要想深化學(xué)生的數(shù)感，除了思想意識(shí)之外，還要有實(shí)際行動(dòng)，不斷積累數(shù)感體驗(yàn)，將形象思維和抽象思維聯(lián)系起來，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)：

[1]? 中華人民共和國教育部制定. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]? 葉蓓蓓. 對(duì)數(shù)感的再認(rèn)識(shí)與思考[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2004，13（02）.

[3]? 馬云鵬，史炳星. 認(rèn)識(shí)數(shù)感與發(fā)展數(shù)感[J]. 數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002，11（02）.