陳宇 奚圣賢 邱睿 肖宇婷

摘要：為了深入研究含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性，基于多體動(dòng)力學(xué)理論、Hertz接觸理論和庫倫摩擦理論，提出一種含間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模方法。將多體系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程與非線性接觸碰撞模型相結(jié)合，并考慮碰撞體之間的切向摩擦作用，建立了含間隙多體系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)模型。在重力場(chǎng)作用下對(duì)不同非線性接觸碰撞過程進(jìn)行仿真計(jì)算，并詳細(xì)討論了模型參數(shù)對(duì)接觸碰撞過程的影響，在此基礎(chǔ)上，對(duì)間隙與機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性響應(yīng)關(guān)系進(jìn)行比較和分析。研究表明，含間隙非線性碰撞多體動(dòng)力學(xué)模型能夠有效地描述含間隙機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性，在工程實(shí)際應(yīng)用中，有利于進(jìn)行機(jī)構(gòu)的性能評(píng)價(jià)、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)優(yōu)化等。

關(guān)鍵詞：轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙;連續(xù)碰撞;能量損失;動(dòng)態(tài)特性

中圖分類號(hào)：TH122文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：2095-7394（2021）06-0067-12

現(xiàn)代工業(yè)發(fā)展的趨勢(shì)是高精度、高可靠、高壽命，這對(duì)大力發(fā)展能夠廣泛用于復(fù)雜工況的精密機(jī)構(gòu)提出了更高要求[1-2]。轉(zhuǎn)動(dòng)副是精密機(jī)構(gòu)重要的組成部分，而轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙會(huì)造成軸與軸承之間發(fā)生接觸、碰撞以及磨損，這必定會(huì)引起機(jī)構(gòu)產(chǎn)生振動(dòng)現(xiàn)象，進(jìn)而影響精密機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度[3-4];因此，建立轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙特征，并分析其對(duì)精密機(jī)構(gòu)的動(dòng)態(tài)特性影響具有重要意義。

當(dāng)前，國內(nèi)外學(xué)者針對(duì)含間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模與分析問題進(jìn)行了大量研究，例如：白爭(zhēng)鋒等人[5]考慮轉(zhuǎn)動(dòng)副連續(xù)接觸碰撞特征，提出了一種非線性接觸碰撞模型，較好地描述了接觸碰撞時(shí)的變形量，并基于該模型建立了含間隙多體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型;李媛媛等人[6]考慮桿件柔性特征，建立了含間隙機(jī)構(gòu)剛?cè)狁詈戏治瞿Ｐ?，并詳?xì)分析了間隙尺寸及數(shù)量對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特征的影響;Erkaya等人[7]采用理論分析與試驗(yàn)相結(jié)合的方式，研究了不同工況下含間隙多體系統(tǒng)振動(dòng)特征;考慮能量損失的影響，俞成濤等人[8]基于多體動(dòng)力學(xué)方法，研究了間隙特征對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)副動(dòng)力學(xué)性能的影響。

然而，上述含間隙精密機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特征研究一般僅限于連續(xù)接觸的假設(shè)條件，很少考慮轉(zhuǎn)動(dòng)副元素運(yùn)動(dòng)狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)變（分離、接觸、變形）;因此，本文基于多體動(dòng)力學(xué)理論、Hertz接觸理論和庫倫摩擦理論，建立了一種含間隙非線性碰撞的精密機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型。在此基礎(chǔ)上，以典型曲柄滑塊機(jī)構(gòu)在重力場(chǎng)中的接觸碰撞過程為對(duì)象，進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)仿真計(jì)算，并針對(duì)間隙與機(jī)構(gòu)之間的動(dòng)態(tài)特性響應(yīng)關(guān)系，做出詳細(xì)分析。

1含間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模

1.1含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副運(yùn)動(dòng)學(xué)建模

相對(duì)理想運(yùn)動(dòng)狀態(tài)而言，間隙的存在改變了轉(zhuǎn)動(dòng)副元素之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系。如圖1所示，軸與軸承之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)會(huì)出現(xiàn)三種不同的狀態(tài)，即：分離狀態(tài)、接觸狀態(tài)和接觸變形狀態(tài)[9-10]。軸與軸承之間的相對(duì)位置關(guān)系可以表達(dá)出含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副的實(shí)際運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，通過軸與軸承圓心相對(duì)位置來描述，其表達(dá)式為：

δ=e-c。（1）

式中：δ為穿透深度;e為偏心距;c為間隙值。

當(dāng)δ<0時(shí)，運(yùn)動(dòng)為分離狀態(tài);當(dāng)δ=0時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)副元素為接觸狀態(tài);當(dāng)δ>0時(shí)，運(yùn)動(dòng)為接觸變形狀態(tài)。其中：

式中：Δx和Δy為軸與軸承圓心的水平和豎直位移;R_b為軸承半徑;R_j為軸半徑。

由于轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙的存在，在含間隙精密機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中，軸與軸承之間會(huì)發(fā)生高頻碰撞;因此，在計(jì)算時(shí)需要對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)副元素運(yùn)動(dòng)狀態(tài)進(jìn)行判別。假設(shè)p（q（t））和p（q（t+Δt））分別為含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副元素在t和t+Δt時(shí)刻潛在接觸對(duì)應(yīng)點(diǎn)的相對(duì)位置，則應(yīng)滿足條件：

p（q（t））^Tp（q（t+Δt））<0。（4）

式（4）表明在時(shí)間間隔[t，t+Δt]內(nèi)至少存在一個(gè)切換點(diǎn)。

1.2含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副接觸特征描述

接觸碰撞是含間隙精密機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)過程中的一種典型現(xiàn)象，為了有效地描述轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙的接觸碰撞過程，需要對(duì)其接觸力模型進(jìn)行分析。非線性接觸碰撞力典型模型包括Kelvin-Voigt模型、Hertz模型和Lankarani-Nikravesh模型[11]，其表達(dá)式為：

式中：K為剛度系數(shù);b為阻尼系數(shù);n為接觸指數(shù)，取n=1.5;D為碰撞過程中的非線性阻尼系數(shù)，可以表示為：

選取R_b=10 mm，R_j=9.5 mm，彈性模量E=207 GPa，泊松比為0.3，碰撞初始速度為1 m/s的軸與軸承為研究對(duì)象進(jìn)行接觸碰撞分析，計(jì)算結(jié)果如圖2所示。

對(duì)比計(jì)算結(jié)果可知：Kelvin-Voigt模型計(jì)算簡(jiǎn)單方便，但存在一定的局限性，接觸碰撞力在初始接觸時(shí)不連續(xù)，相對(duì)速度可能會(huì)出現(xiàn)負(fù)值;Hertz模型可以描述接觸力和變形量之間的非線性關(guān)系特性，但其結(jié)果表明在接觸碰撞過程中接觸能量與恢復(fù)能量相等，則無法表示接觸碰撞過程中的能量損失特征;相對(duì)其他接觸碰撞力模型而言，Lankarani-Nikravesh模型不僅能夠描述接觸碰撞過程中的能量損耗情況，而且還能反映阻尼滯后的特性，從而更能接近實(shí)際地表達(dá)轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙的接觸碰撞過程。因此，本文以Lankarani- Nikravesh模型為基礎(chǔ)，建立含間隙精密機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)模型。

摩擦力也是含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副接觸碰撞過程中重要的參數(shù)之一，可表示接觸時(shí)切向力的力學(xué)特征。為了準(zhǔn)確地描述轉(zhuǎn)動(dòng)副元素接觸碰撞過程中的粘滯微滑特性，本文基于Coulomb修正模型，描述摩擦力與切向滑動(dòng)之間的關(guān)聯(lián)特性[12]，其表達(dá)式為：

式中：c_f表示滑動(dòng)摩擦系數(shù);v_t為接觸單元切向速度;c_d為動(dòng)態(tài)摩擦系數(shù)，

其中，v₀和v₁為給定的速度極限值。

1.3含間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)建模

基于上述分析可知，含間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析的關(guān)鍵在于多體系統(tǒng)不同運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的轉(zhuǎn)變，本文采用運(yùn)動(dòng)分段的建模方法來進(jìn)行含間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)性能的計(jì)算。在分離運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)，軸承與軸處于分離狀態(tài)，不含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副單元處的幾何約束依然存在[13]。根據(jù)拉格朗日乘子法，其動(dòng)力學(xué)方程為：

式中：M、C和K分別為系統(tǒng)的廣義質(zhì)量陣、阻尼陣和剛度陣;q表示廣義坐標(biāo)矩陣;φ_q為廣義約束方程φ（q，t）=0的雅克比矩陣;λ和f分別表示廣義力陣和Lagrange乘子列陣。

當(dāng)軸與軸承發(fā)生接觸碰撞時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)副元素之間增加的等效接觸碰撞力其系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)表達(dá)式可寫為：

式中，F(xiàn)_c為接觸力相對(duì)于廣義坐標(biāo)q的廣義力列陣，即：F_c=F_n+F_t。

2非線性接觸碰撞力模型分析

轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙是影響機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)軌跡的重要因素，而接觸碰撞力模型的描述是判斷機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析準(zhǔn)確性的重要指標(biāo)，本文基于Lankarani-Nikravesh模型，詳細(xì)分析模型參數(shù)對(duì)接觸碰撞過程的影響。

2.1間隙尺寸影響分析

含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副基本計(jì)算條件與前述相同，針對(duì)一次碰撞過程進(jìn)行分析，間隙尺寸分別取0.01 mm，0.10 mm，0.50 mm，1.00 mm，恢復(fù)系數(shù)為0.9，計(jì)算結(jié)果如圖3所示。由計(jì)算結(jié)果可知：隨著間隙尺寸的變化，接觸力、變形量和變形速度都發(fā)生了明顯的改變，產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因是間隙尺寸的改變會(huì)引起接觸剛度的變化，從而影響轉(zhuǎn)動(dòng)副元素的接觸碰撞過程;同時(shí)，隨著間隙尺寸的增大，阻尼滯后現(xiàn)象非常明顯，但間隙尺寸的變化對(duì)接觸碰撞過程中的能量損失幾乎沒有影響。

2.2恢復(fù)系數(shù)影響分析

恢復(fù)系數(shù)是改變含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副運(yùn)動(dòng)過程的重要元素之一，為了進(jìn)一步深入研究含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副接觸碰撞過程，本文進(jìn)行不同恢復(fù)系數(shù)c_e（0.5，0.7，0.9，1）對(duì)接觸碰撞過程的影響分析，計(jì)算結(jié)果如圖4所示。

由計(jì)算結(jié)果可知，隨著恢復(fù)系數(shù)的增加，接觸力和變形量明顯增大。雖然接觸碰撞的時(shí)間有所減小，但達(dá)到最大變形量的時(shí)間卻有所增加，這是由于恢復(fù)系數(shù)的增加會(huì)促使接觸碰撞中恢復(fù)過程加快。此外，恢復(fù)系數(shù)的增加會(huì)引起碰撞阻尼力的減少，從而加大接觸碰撞過程中能量的損耗。

2.3初始碰撞速度影響分析

為了更好地研究含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副非線性接觸碰撞過程，將不同初始碰撞速度v₀（1m/s，3 m/s，5 m/s，10 m/s）代人到計(jì)算模型中，計(jì)算結(jié)果如圖5所示。由計(jì)算結(jié)果可知：初始碰撞速度的增加會(huì)引起接觸力和變形量的增大，當(dāng)初始碰撞速度為1 m/s時(shí)，最大接觸力為2.321 9×10⁴N，最大變形量為4.950 8×10^-5m;當(dāng)初始碰撞速度增大到10 m/s時(shí)，最大接觸力為2.418 9×10⁴N，而最大變形量為5.116 8×10^-5m。除此之外，初始碰撞速度的增加會(huì)加快含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副的接觸碰撞過程，降低其過程的能量損耗。

3含間隙機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性分析

如圖6所示，本文采用曲柄滑塊機(jī)構(gòu)作為分析對(duì)象來研究含間隙精密機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)行為特征。該機(jī)構(gòu)包含曲柄、連桿、滑塊三個(gè)主要部件，其幾何參數(shù)為：R=0.165 m，L=0.38 m，c_e=0.9，E=210 GPa，曲柄質(zhì)量0.3 kg，連桿質(zhì)量0.21 kg，滑塊質(zhì)量0.148 kg，摩擦系數(shù)0.03。轉(zhuǎn)動(dòng)副間隙存在于連桿與滑塊連接處。根據(jù)前述數(shù)學(xué)模型表達(dá)式，將已知參數(shù)代人到式（1）至式（12）中，并采用Runge-Kutta對(duì)其方程進(jìn)行求解。

3.1轉(zhuǎn)速對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的影響

圖7和圖8研究了在間隙尺寸為0.2 mm時(shí)，轉(zhuǎn)速（20 rpm，30 rpm，40 rpm，50 rpm）對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的影響，從計(jì)算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：（1）轉(zhuǎn)速的增加對(duì)滑塊位移影響較小，但隨著轉(zhuǎn)速的增加，滑塊速度與加速度軌跡增幅較大，且加速度曲線出現(xiàn)明顯的振動(dòng)現(xiàn)象，轉(zhuǎn)速越高振動(dòng)現(xiàn)象越明顯。產(chǎn)生該現(xiàn)象是由于隨著機(jī)構(gòu)運(yùn)行速度的提高，會(huì)引起含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副接觸碰撞頻率和接觸碰撞速度的增加，從而引起機(jī)構(gòu)產(chǎn)生較大的振動(dòng)。（2）相比位移和速度結(jié)果來說，加速度曲線對(duì)機(jī)構(gòu)振動(dòng)現(xiàn)象反映更加明顯，可以更好地顯示機(jī)構(gòu)振動(dòng)現(xiàn)象。（3）從圓心運(yùn)動(dòng)軌跡可以看出含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副在運(yùn)動(dòng)過程中的狀態(tài)變化，在低轉(zhuǎn)速時(shí)主要以接觸運(yùn)動(dòng)為主，圓心運(yùn)動(dòng)軌跡貼近理想曲線。隨著轉(zhuǎn)速的增加，碰撞頻率、運(yùn)動(dòng)狀態(tài)明顯發(fā)生變化，且在50 rpm時(shí)出現(xiàn)較大的變形量。

3.2間隙尺寸對(duì)機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性的影響

圖9給出了不同間隙尺寸（0.05 mm，0.1mm，0.2 mm，0.5 mm）下，當(dāng)轉(zhuǎn)速為40 rpm時(shí)的滑塊加速度變化曲線。從計(jì)算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：隨著間隙尺寸的增加，滑塊加速度振動(dòng)逐漸增大，尤其是在極限位置區(qū)域時(shí)滑塊產(chǎn)生較大的振動(dòng)現(xiàn)象，但滑塊加速度極值并未產(chǎn)生較大的波動(dòng)。這是由于間隙尺寸的增加促使接觸力和變形量明顯增大，這將會(huì)引起含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副圓心距的增加，從而增大機(jī)構(gòu)的振動(dòng)效應(yīng)。

如圖10所示為不同間隙尺寸下圓心軌跡，可以看出：不同間隙尺寸下轉(zhuǎn)動(dòng)副元素均會(huì)產(chǎn)生分離狀態(tài)、接觸狀態(tài)、接觸變形狀態(tài)三種特征，但每種狀態(tài)所在周期并不相同;隨著間隙尺寸的增加，碰撞頻率、變形量都有所增加，尤其是當(dāng)間隙尺寸達(dá)到0.2 mm以后，穿透深度明顯增強(qiáng)，這將會(huì)引起機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的不穩(wěn)定，甚至發(fā)生混沌和分岔現(xiàn)象。

4結(jié)論

基于多體動(dòng)力學(xué)理論、Hertz接觸理論和庫倫摩擦理論，本文提出一種含間隙非線性的多體動(dòng)力學(xué)建模方法?；谠摲椒ǎ院g隙精密機(jī)構(gòu)為對(duì)象，進(jìn)行了動(dòng)態(tài)特性響應(yīng)分析。研究結(jié)果表明：

（1）間隙尺寸、恢復(fù)系數(shù)、初始碰撞速度對(duì)含間隙轉(zhuǎn)動(dòng)副接觸碰撞過程均會(huì)產(chǎn)生明顯的影響，特別是間隙尺寸的改變會(huì)引起明顯的阻尼滯后現(xiàn)象。

（2）從動(dòng)件加速度對(duì)轉(zhuǎn)速增加較敏感，隨轉(zhuǎn)速的增加，轉(zhuǎn)動(dòng)副的碰撞力增加，出現(xiàn)高頻振蕩等特點(diǎn)，對(duì)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度影響較大。

（3）本文建立的含間隙非線性柔性碰撞多體動(dòng)力學(xué)模型，能夠較好地描述機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的動(dòng)態(tài)特性，為機(jī)構(gòu)動(dòng)態(tài)特性研究提供了一種有效的方法。

參考文獻(xiàn)：

[1]王尚斌，孫宇，彭斌彬.曲柄滑塊機(jī)構(gòu)轉(zhuǎn)速波動(dòng)與動(dòng)態(tài)靜力綜合分析[J].華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014，42（1）：28-33.

[2]俞成濤，劉聰，徐龍祥.三支承磁懸浮軸承的不對(duì)中特性[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與研究，2018，34（3）：94-99.

[3]聶飛飛，周金宇，曹清林.高速經(jīng)編機(jī)槽針機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度可靠性優(yōu)化[J].機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2019，12（12）：40-44.

[4]陳修龍，陳天祥，李躍文，等.3-PRR并聯(lián)機(jī)器人機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)建模與分析[J].山東科技大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2018，37（5）：79-87.

[5] BAI Z F，ZHAO Y.Dynamicbehaviour analysis of planar mechanical systems with clearance in revolute joints using a new hybrid contact force model[J]. International Journal of Mechanical Science，2012，54（1）：190-205.

[6] LI Y Y，WANG Z L，WANG C，et al. Planar rigid-flexible coupling spacecraft modeling and control considering solar array deployment and joint clearance[J]. Acta Astronautica，2018，142：138-151.

[7] ERKAYA S，UZMAY I. Effects of balancing and link flexibility on dynamics of a planar mechanism having joint clearance [J]. Scientia Iranica，2012，19（3）：483-490.

[8] YU C T，ZHU Y，SHI F，et al. Modeling and experimental validation of transient response of magnetic suspension rotor contacting with auto- reducing clearance auxiliary bearing [J]. Journal of Sound and Vibration，2020，481：115419.

[9]郭嘉楠，何鵬，劉占生，等.粗糙接觸面旋轉(zhuǎn)鉸間隙碰撞動(dòng)力學(xué)建模與仿真[J].振動(dòng)與沖擊，2019，38（11）：132-139.

[10]李發(fā)家，朱如鵬，靳廣虎，等.多間隙高重合度齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)分岔與穩(wěn)定性分析[J].華南理工大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2015，43（6）：63-69.

[11]鄭延豐，楊超，劉磊，等.基于有限質(zhì)點(diǎn)法的含間隙鉸平面機(jī)構(gòu)動(dòng)力分析[J].工程力學(xué)，2020，37（3）：8-17.

[12]趙波，戴旭東，張執(zhí)南，等.柔性對(duì)多體系統(tǒng)中鉸接副磨損的影響[J].摩擦學(xué)學(xué)報(bào)，2014，33（6）：705-714.

[13] TIAN Q，LOU J，MIKKOLA A. A new elastohydrodynamic lubricated spherical joint model for rigid-flexible multibody dynamics[J]. Mechanism and Machine Theory，2017，107：210-228.

Analysis of the Influence of Revolute Clearance Joint on Nonlinear Dynamics of Precision Mechanism

CHEN Yu，XI Shengxian，QIU Rui，XIAO Yuting

（School of Mechanical Engineering，Jiangsu University of Technology，Changzhou 213001，China）

Abstract：In order to investigate the dynamic characteristics of revolute joint mechanism with clearance in detail，a dynamic modeling method of mechanism with clearance is proposed based on multi-body dynamics theory，Hertz contact theory and Coulomb friction theory. The nonlinear dynamic model of multi-body system with clearance is established by combining the dynamic equation of multi-body system with nonlinear contact collision model and considering the tangential friction between collision bodies. The different nonlinear contact collision processes are simulated under the action of gravity field，and the influence of model parameters on the contact collision process is detailedly discussed. On this basis，the response relationship between clearance and dynamic characteristics of mechanism is compared and detailedly analyzed. The research shows that the multi- body dynamics model of nonlinear collision with clearance can effectively describe the dynamic characteristics of the mechanism with clearance，which is conducive to the performance evaluation and structural design optimization in practical application of engineering.

Key words：revolute clearance joint;continuous contact;energy loss;dynamic characteristic