高等代數(shù)與高中數(shù)學(xué)教學(xué)銜接問題與策略研究

朱迪　張昆龍

摘 要：高等代數(shù)課程對提升學(xué)生的思維水平有很大的幫助，因其與高中數(shù)學(xué)在知識、思維方法等方面存在銜接問題，很多學(xué)生在學(xué)習(xí)高等代數(shù)時都會遇到困難?；趯栴}的解決，文章提出添加幾何獲得直觀、改變教學(xué)觀念、增加教學(xué)實踐等改進策略，以提高高等代數(shù)教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量，提升學(xué)生思維水平。

關(guān)鍵詞：高等代數(shù);高中數(shù)學(xué);銜接問題;幾何直觀;教學(xué)觀念;教學(xué)質(zhì)量;思維水平

中圖分類號：G642;O15-4 文獻標(biāo)志碼：A文章編號：1008-3561（2021）03-0110-03

一、引言

作為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)師范等專業(yè)的必修科目高等代數(shù)，自開始在高等教育階段進行授課時起，就有很多學(xué)生反映課程難學(xué)，很抽象。雖然高等代數(shù)知識在課本的編寫上做出了調(diào)整，但從實際的教學(xué)效果看，作用甚微。并且在聽不懂的學(xué)生中不乏許多在高考中取得好成績，高中知識學(xué)得比較扎實的學(xué)生。這種情況出現(xiàn)的原因是什么呢？

在閱讀完高中教材、高等代數(shù)教材以及各學(xué)者對這個問題的分析之后，筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生覺得困難的一個原因是高等代數(shù)中常用的知識和思想在高中知識的教授中沒有做足夠的關(guān)注，但在大學(xué)學(xué)習(xí)時已經(jīng)默認該知識學(xué)生已經(jīng)熟練掌握了，因此出現(xiàn)了高中知識和高等代數(shù)知識之間的銜接問題。

在這樣的背景之下，解決高等代數(shù)的教學(xué)問題就變成了一個具有實際意義的問題。本文依據(jù)高等教育出版社出版的高等代數(shù)（第三版）教材，分析高等代數(shù)知識和高中數(shù)學(xué)知識之間的銜接問題以及解決策略，希望能為高等代數(shù)教學(xué)提供一定的幫助和借鑒。

二、銜接問題

高等代數(shù)課程的內(nèi)容包括線性空間、線性變換、多項式等多項內(nèi)容，并且高等代數(shù)具有理論性強、抽象性強等特點。由于其內(nèi)容多、抽象性強、對學(xué)生的要求也高。因此高中數(shù)學(xué)與高等代數(shù)的銜接問題也是多方面的。

1.知識層面

（1）在求解方程方面。高中數(shù)學(xué)在求解二元一次方程（組）和三元一次方程（組）的問題時是利用消元的方法，而在高等代數(shù)中求解方程問題是利用矩陣和行列式的方法。高中求解的二元一次方程和三元一次方程都是具體的方程（組），并且消元之后帶來的影響也是非常明確的。而高等代數(shù)中的矩陣和行列式是抽象的，并且需要經(jīng)過矩陣的變換來求解，這對于剛學(xué)習(xí)高等代數(shù)的學(xué)生來說無疑是困難的，很多學(xué)生甚至不知道什么是矩陣，不知道矩陣是如何產(chǎn)生的，也不知道為什么要這樣求解。

（2）在向量方面。高中時學(xué)習(xí)了向量的長度和兩個向量之間的夾角知識，這為學(xué)習(xí)歐式空間的長度和夾角問題做了鋪墊。高中對于向量部分的知識是通過列出代數(shù)式把幾何問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題來求解，但在高等代數(shù)中隨著維度的增加，學(xué)生對于向量所表示的幾何體越來越不可以直接觀察到。并且，教師在教授高等代數(shù)的過程中，很少利用幾何來解釋向量、由向量構(gòu)成的矩陣等內(nèi)容，大多是直接從代數(shù)的角度來推理論證知識，對學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)要求很高。此時講空間概念，對學(xué)生的理解來說無疑是困難的。

2.思想方法層面

（1）在數(shù)學(xué)歸納法方面。在高等代數(shù)的學(xué)習(xí)中有一種重要的處理問題的方法——歸納法。例如，在高等代數(shù)中的行列式按行（列）展開的公式證明中就用到了這種方法。但在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，雖然在數(shù)列的證明中有運用歸納推理來證明題目的案例，但這種從特殊到一般的推理方法在高中知識中并不多見。由此可見，這種處理高等代數(shù)問題的常見方法，在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)中并沒有受到重視，在進入高等教育階段之后很多學(xué)生表示難學(xué)也在預(yù)料之中。

（2）在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬐评矸矫妗８ベ嚨撬栐凇蹲鳛榻逃蝿?wù)的數(shù)學(xué)》一書中說道：“不同階段數(shù)學(xué)知識具有不同的嚴(yán)謹(jǐn)性。”即學(xué)生在高中時接受的嚴(yán)謹(jǐn)性和在接受高等教育時期接受的嚴(yán)謹(jǐn)性是不同的。因此，對同一個知識點會有不同的描述，也會引起一定的混淆和斷連。例如，高中數(shù)學(xué)對于向量共線的定義為若兩個向量和滿足=λ，則這兩個向量共線。高等代數(shù)中的相對應(yīng)知識點定義為：對于線性空間A中的向量：a1，a2，…，an，如果存在不全為零的數(shù)k1，k2，…，kn，使得k1a1+k2a2+…+knan=0，則稱向量組是線性相關(guān)的，否則稱它為線性無關(guān)。在高中數(shù)學(xué)中對于“基底”的定義為如果兩個向量不共線，那么這兩個向量叫作一組基底;在高等代數(shù)中則定義為設(shè)V為一線性空間，如果r個向量a1，a2，…，ar∈V，且滿足以下條件：（i）a1，a2，…，ar，線性無關(guān);（ii）V中任一向量都可由a1，a2，…，ar線性表示，那么向量a1，a2，…，ar，就稱為向量空間V的一個基，r稱為向量空間V的維數(shù)，并稱V為r維向量空間。若能夠找到滿足上述兩個條件的無數(shù)個向量組，此時V為無限維線性空間。同一知識點用不同的方式呈現(xiàn)，就會導(dǎo)致學(xué)生不能夠較好地將高中知識和高等代數(shù)知識相聯(lián)系，從而造成銜接的斷層。

3.對數(shù)學(xué)的認知層面

學(xué)生從高中過渡到大學(xué)，對數(shù)學(xué)的認知也在不斷變化之中。高中時期學(xué)生認為數(shù)學(xué)是用自己的語言去描述這個現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系和空間形式，其研究對象為現(xiàn)實世界，具體表現(xiàn)為點、線、圖形、數(shù)字、代數(shù)式、方程等內(nèi)容。而到了高等代數(shù)學(xué)習(xí)時期，學(xué)習(xí)內(nèi)容和研究對象變成了抽象的矩陣等價、矩陣變換、向量之間的線性關(guān)系等非具體對象。向量空間、歐式空間的出現(xiàn)，打破了傳統(tǒng)的、可以具體看到的數(shù)學(xué)研究對象，成為一種高度抽象的數(shù)量關(guān)系和空間形式。

三、銜接策略

高中數(shù)學(xué)和高等代數(shù)之間銜接問題的出現(xiàn)不能簡單歸咎于某一方，也不能歸咎于教學(xué)方法存在不足，更多的是教學(xué)觀念使然。因此，應(yīng)對兩個階段的教學(xué)同時進行調(diào)整。

1.改變教學(xué)觀念，關(guān)注學(xué)生的過去與未來

教育應(yīng)貫徹落實“以人為本”的教學(xué)觀念，教師在授課時，不應(yīng)該把眼光只放在某一節(jié)課上，而應(yīng)該把眼光放在學(xué)生的過去與未來，關(guān)注學(xué)生在未來需要學(xué)習(xí)什么，以便為學(xué)生未來的學(xué)習(xí)做好鋪墊。大學(xué)教師也應(yīng)當(dāng)關(guān)注學(xué)生已經(jīng)學(xué)了什么知識，以便與學(xué)生已學(xué)的知識做好呼應(yīng)和銜接。大學(xué)教師可通過發(fā)放網(wǎng)上問卷的形式，了解學(xué)生對知識的掌握情況，以便更好地開展教學(xué)。

2.高等代數(shù)的教學(xué)方面

（1）添加幾何，形成直觀。隨著信息技術(shù)的發(fā)展，教師不僅可以在網(wǎng)上上課和查找資料，還可以利用計算機技術(shù)制作需要的教學(xué)課件。特別是數(shù)學(xué)中關(guān)于幾何的部分，如果用幾何動畫來演示和復(fù)現(xiàn)圖形的呈現(xiàn)過程，學(xué)生就可以直接看到，易于理解和掌握。高等代數(shù)講授中加入幾何內(nèi)容，能對純代數(shù)推理進行補充，學(xué)生會更容易學(xué)習(xí)。

例如，在線性變換的學(xué)習(xí)中，加入幾何、矩陣的本質(zhì)意義就是一種變換。矩陣的變換主要包括旋轉(zhuǎn)、剪切、伸縮三種類型，下面以旋轉(zhuǎn)變換為例，演示幾何角度下的線性變換。如圖1所示設(shè)點（x， y）離坐標(biāo)原點的距離為r，與x軸夾角為θ0，將其繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)θ，旋轉(zhuǎn)之后點的坐標(biāo)為（x'， y'）。顯然（x'， y'）與原點距離不變，仍舊為r。此時可得

整理①②可得：

x'=xcosθ-ysinθ③

y'=xsinθ-ycosθ④

把③④兩式整理成矩陣形式可得

x'y'=cosθ-sinθsinθ-cosθxy

即上述矩陣的作用為將一個向量旋轉(zhuǎn)得到另一個向量。

（2）鞏固舊知，得到新知。高中時期學(xué)過函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的概念，函數(shù)和復(fù)合函數(shù)從本質(zhì)上來說都是一種映射，而這對于理解高等代數(shù)中的線性變換以及線性變換的復(fù)合具有很大作用。

高中時函數(shù)的定義為A、B是兩個非空數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對應(yīng)，那么就稱f：AB為集合A到集合B的一個函數(shù)，記作y= f（x），x∈A。由定義可知x經(jīng)過對應(yīng)關(guān)系f的作用變成了f（x）。復(fù)合函數(shù)g（f（x））的含義則為x先經(jīng)過對應(yīng)關(guān)系f的作用變成f（x），而f（x）又在對應(yīng)關(guān)系g的作用下變?yōu)間（f（x））。

高等代數(shù)中線性變換的定義為線性空間V的一個變換T稱為線性變換，如果對于T中的任意元素α，β和數(shù)域P中任意數(shù)k，都有T（α+β）= T（α）+T（β），T（kα）= kT（α）。由定義可知向量α在映射T的作用下變成了T（α）。此時將T與函數(shù)定義中的對應(yīng)關(guān)系f對比可知，兩者的作用相同，對于現(xiàn)行變換中的復(fù)合變換矩陣B成矩陣T的作用與復(fù)合函數(shù)的作用相同，先對向量實行矩陣T帶來的變換，再進行矩陣B帶來的變換。如圖2所示。

（3）立足“教學(xué)做合一”的教育理念，增加實踐內(nèi)容?！敖虒W(xué)做合一”的教學(xué)理念是陶行知先生提出的。陶行知先生認為“教”“學(xué)”與“做”是一件事情的三個方面，三者相互融合，要在做中教也要在做中學(xué)。“教學(xué)做合一”不僅是一種教育理念，還是一種教學(xué)方法，即教師教授的方法需要以學(xué)生的學(xué)習(xí)方法為基礎(chǔ)，學(xué)生學(xué)習(xí)的方法需要以做的方法為基礎(chǔ)，怎樣做的就怎樣學(xué)，怎樣學(xué)的就怎樣教。如果光教不做，或者光學(xué)不做，就不能算是學(xué)習(xí)。強調(diào)教與學(xué)都應(yīng)該以做為中心，特別強調(diào)了“做”在學(xué)習(xí)中的重要性。高等代數(shù)作為一門極其抽象的課程，如果能夠在教學(xué)或者課后作業(yè)中增加實際應(yīng)用，比如，利用高等代數(shù)知識調(diào)節(jié)圖片色彩，不僅可以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還可以促進學(xué)生對圖片色彩改變原理的了解，拓展學(xué)生的知識面。

3.高中教學(xué)方面

（1）注重思想方法的講授。高中數(shù)學(xué)涉及很多關(guān)于思想方法的內(nèi)容，比如數(shù)列證明中的數(shù)學(xué)歸納思想，從圓的定義及性質(zhì)到橢圓的定義及性質(zhì)的類比思想，解決函數(shù)題目時的分類討論思想。但在高中的學(xué)習(xí)中，這些思想都運用在解決問題上，對于思想方法產(chǎn)生的源頭、過程、如何運用，這些內(nèi)容都在課堂講授中很少涉及。進入大學(xué)的學(xué)習(xí)之后，學(xué)習(xí)的內(nèi)容需要更加深入，不再是簡單的知道一個公式就可以了，而是要深入了解思想方法。

（2）注重對概念的講解。在高等代數(shù)的學(xué)習(xí)中，一些概念性的內(nèi)容已經(jīng)在高中數(shù)學(xué)中有所涉及。比如上述例子中的線性變換的概念和函數(shù)的概念，都是在映射的基礎(chǔ)上做出的定義。但是高中數(shù)學(xué)中對于映射這個概念只是做了粗略的講解。如果學(xué)生在高中時期對映射有了一個較為深入的理解，那么將會對高等代數(shù)的學(xué)習(xí)有很大的幫助。此外，教師對知識概念做深入的講解，鼓勵引導(dǎo)學(xué)生探究或歸納出一些定義，將有助于學(xué)生對知識的認知和理解。

四、結(jié)語

高等代數(shù)是提高思維品質(zhì)的一門重要課程，要提高高等代數(shù)教學(xué)質(zhì)量，做好高中數(shù)學(xué)與高等代數(shù)之間的銜接是非常重要的。銜接并不僅僅是在知識上，更重要的是在思維方式及對數(shù)學(xué)的理解上?？傊?，處理高等代數(shù)課程和高中數(shù)學(xué)的銜接問題應(yīng)該對大學(xué)和高中兩個階段的教學(xué)進行改進，包括教學(xué)方式、教學(xué)內(nèi)容以及教育觀念等。

參考文獻：

[1]代業(yè)明.從方法論和認識論看線性代數(shù)與中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系[J].煤炭高等教育，2011（05）.

[2]蘇華東，黃春紅.高等代數(shù)課程與高中數(shù)學(xué)的教學(xué)銜接策略[J].南寧師范大學(xué)學(xué)報，2020（01）.

[3]陳昌平，唐瑞芬譯.作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)[M]上海：上海教育出版社，1995.

[4]劉紹學(xué)，錢珮玲，章建躍.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書數(shù)學(xué)必修4A版[M].北京：人民教育出版社，2016.

[5]王萼芳，石生明.高等代數(shù)[M].北京：高等教育出版社，2005.

[6]顧靜嫻.借鑒陶行知教育思想，立足發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（22）.