教師資格考試中“數(shù)學(xué)分析”相關(guān)考點分析與思考

程曉亮 高 超 郝連明 鳳寶林

(1.吉林師范大學(xué) 吉林 四平 1360002；2.牡丹江師范學(xué)院 黑龍江 牡丹江 157011)

引言

1993年10月,我國在《教師法》中首次明確提出了“教師資格考試”這一名稱。2001年召開的全國教師資格制度實施會議形成了教師資格考試認(rèn)定的雙軌制,即師范生畢業(yè)直接認(rèn)定教師資格，而非師范生須通過教育學(xué)和心理學(xué)的考試后才可以進行認(rèn)定。2011年教育部師范司和教育部考試中心聯(lián)合發(fā)布《中小學(xué)和幼兒園教師資格考試標(biāo)準(zhǔn)(試行)》統(tǒng)一了考試科目,中學(xué)教師資格筆試考試變?yōu)槿?分別是“綜合素質(zhì)”“教育知識與能力”和“學(xué)科知識與教學(xué)能力”。2013年8月,教育部發(fā)布《中小學(xué)教師資格考試暫行辦法》(教師〔2013〕9 號)規(guī)定:從2015年開始,實行師范生與非師范生教師資格認(rèn)定方式的并軌。即所有申請認(rèn)定教師資格人員必須參加并通過教師資格考試才能獲得教師資格證書[1]。截止目前,全國僅內(nèi)蒙古、新疆、西藏等少數(shù)地區(qū)師范生沒有參加全國教師資格統(tǒng)一考試。

通過文獻的查閱,發(fā)現(xiàn)對教師資格考試試題的分析研究各有側(cè)重。如劉云等通過對試題中各知識模塊進行分析發(fā)現(xiàn)：各試題模塊分值與大綱的規(guī)定和要求有一定的差別。由此體現(xiàn)出教師資格考試命題的開放性和靈活性,提出師范院校的數(shù)學(xué)課程應(yīng)更加具有師范性,并且應(yīng)該跳出單一知識傳遞的窠臼[2];覃城阜等通過試題的分析發(fā)現(xiàn)：三大模塊各有側(cè)重點,了解試題的內(nèi)容框架以及考查的重要知識點是學(xué)生順利通過教師資格考試的關(guān)鍵之處,并且提出高等院校應(yīng)加強教育實踐活動[3];胡典順等對試題進行分析發(fā)現(xiàn)：教師資格考試自身和師范教學(xué)都需要進一步改善,試題對高中課程內(nèi)容的考查應(yīng)該增加以及應(yīng)關(guān)注國家的教育政策[4]。在“數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力”的試卷中主要考查學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科知識的掌握和運用、高中數(shù)學(xué)課程知識的掌握和運用以及數(shù)學(xué)教學(xué)知識的掌握和應(yīng)用[5]。很多研究主要是對整個試卷中各個模塊進行分析,但是對于某一模塊下知識點詳細(xì)的分析卻很少,基于此，本文對2016年至2020年共9套高級中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科知識與教學(xué)能力中的數(shù)學(xué)分析問題進行研究和分析。

一、教師資格考試中數(shù)學(xué)分析試題分析

(一)試題類型、數(shù)量分析

通過筆試大綱可知數(shù)學(xué)分析考查的試題類型為三種,分別是單項選擇題、簡答題、解答題。2016年至2020年9套試題中數(shù)學(xué)分析內(nèi)容的考題題型與數(shù)量統(tǒng)計以及各試題題型分值見下圖1與圖2。由下圖可知數(shù)學(xué)分析選擇題的數(shù)量在2016年上半年和2018年下半年考試中考查數(shù)量最多,為3道共15分;在2018年上半年和2019年上半年最少,為1道共5分;其余年份的選擇題數(shù)量均為2道共10分。在9套試卷中簡答題考查7次,其中簡答題的數(shù)量在2018年下半年考試中最多,為2道共14分,除去沒有考的年份其它年份考查數(shù)量均為1道共7分。解答題只在2016年上半年和2018年下半年沒有考查,由圖2可知2017年下半年僅在解答題第二問考查定積分其分值為4分，2019年上半年僅在解答題第二問考查極限其分值為5分。通過圖1可知,在9套試卷中選擇題是必考試題。在對簡答題的考查中僅2016年下半年、2017年上半年以及2019年上半年沒有出現(xiàn)。在解答題的考查中僅僅只有2016年上半年和2018年下半年沒有出現(xiàn),其它年份中都有所考查。由此可見選擇題是每年考試的必考題型,其考查的知識點主要以計算類為主,而簡答題和解答題考查的是學(xué)生獨立思考問題的能力以及解決數(shù)學(xué)問題的能力。可見不同的題目考查的功能也不相同[6]。

圖1 9套試題中數(shù)學(xué)分析試題題型與數(shù)量統(tǒng)計

圖2 9套試題中數(shù)學(xué)分析各試題題型分值統(tǒng)計

(二)試題分值分析

在教師資格考試中每道單項選擇題5分,每道簡答題7分,每道解答題10分。 2016年至2020年9套試題中數(shù)學(xué)分析內(nèi)容分值情況如圖3所示。由圖3可知數(shù)學(xué)分析試題分值從2016年上半年至2018年上半年保持平穩(wěn)在21分上下波動,從2018年下半年到2019年下半年波動較大,2019年上半年教師資格考試是9套試題中數(shù)學(xué)分析所占分值最少的一年僅僅只有10分,2020年下半年與2019年下半年考查分值相同為27分。數(shù)學(xué)分析試題總體分值的變化趨勢大約在20～22分之間,占據(jù)學(xué)科知識的三分之一。

圖3 9套試題中數(shù)學(xué)分析試題總分值統(tǒng)計

(三)試題考查知識點分析

通過對9套教師資格考試歷年真題的知識點分值統(tǒng)計如圖4所示。由圖4可知數(shù)學(xué)分析考查知識范圍包括極限、導(dǎo)數(shù)與微分、微分學(xué)基本定理、積分、冪級數(shù)。通過統(tǒng)計可知在考查知識范圍內(nèi)導(dǎo)數(shù)與微分、極限所占分值最高,在對導(dǎo)數(shù)與微分的考查中主要考查導(dǎo)數(shù)的意義和性質(zhì),以及對參數(shù)方程求導(dǎo)和駐點問題;在對極限的考查中主要考查極限的求法以及極限的基本性質(zhì),對于大部分求函數(shù)極限的題都可以轉(zhuǎn)化為兩個重要極限。 兩個重要極限在極限的計算中有重要作用,它能將許多復(fù)雜的極限計算迅速簡化,應(yīng)用十分靈活,這兩個重要極限可以說是全部微積分學(xué)計算的基礎(chǔ),在教師資格考試中經(jīng)常以選擇題的方式出現(xiàn)。數(shù)列極限之所以占據(jù)很大一部分是因為數(shù)列極限是數(shù)學(xué)分析最重要的基礎(chǔ)之一也是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)之一,它不僅與函數(shù)極限密切相關(guān),而且對今后學(xué)習(xí)其它方面的理論也提供了必要的準(zhǔn)備條件,極限的基本性質(zhì)主要考查極限的符號語言以及保不等式性,在今后的學(xué)習(xí)中應(yīng)重視對極限的定義與性質(zhì)的理解。

微分學(xué)基本定理主要考查羅爾定理、拉格朗日中值定理和零點的存在性問題,一般情況下判斷根的存在性通常用羅爾定理,拉格朗日中值定理通常用來比較不等式;在積分的考查中主要以考查定積分和不定積分為主,并且求出原函數(shù)及其值;在級數(shù)的考查中以冪級數(shù)為考查重點,主要考查冪級數(shù)的斂散性以及對其收斂域的求解。在收斂數(shù)列性質(zhì)的學(xué)習(xí)中,知道收斂數(shù)列具有唯一性、有界性、保號性、保不等式性、迫斂性[7]。這些性質(zhì)在歷年的真題中都有所涉及,只有掌握好基礎(chǔ)知識才能進一步提高自己的專業(yè)知識能力,而性質(zhì)與定義恰恰經(jīng)常被忽視,所以在今后的學(xué)習(xí)中應(yīng)該重視對定義性質(zhì)類知識的學(xué)習(xí)。

圖4 9套試題中數(shù)學(xué)分析考察知識點的分值統(tǒng)計

通過統(tǒng)計可以發(fā)現(xiàn)極限的求法、極限的基本性質(zhì)、冪級數(shù)、函數(shù)的性質(zhì)大多都以選擇題的形式出現(xiàn),所以在今后的學(xué)習(xí)中應(yīng)該加強對其計算的練習(xí)，重視計算類題目以及對性質(zhì)的理解,選擇題在教師資格考試中比較容易得分,大多數(shù)是基礎(chǔ)題型,主要考查的是以性質(zhì)類和計算為主,考查學(xué)生的計算能力和邏輯思維能力,在日常學(xué)習(xí)中應(yīng)加強練習(xí);導(dǎo)數(shù)與微分、微分學(xué)中值定理在考試中占據(jù)大部分的分?jǐn)?shù),而且出題形式比較靈活,在選擇題、簡答題、解答題中都有所涉及,所以在今后的學(xué)習(xí)中應(yīng)該加強對導(dǎo)數(shù)與微分的學(xué)習(xí),強化性質(zhì)以及相關(guān)知識點。此類試題考查學(xué)生的邏輯思維能力以及對知識的掌握程度；通過分析問題能夠抓住題干中的主要的信息并進行思考。此類題型可以提高學(xué)生的分析問題與解決問題的能力。

二、 數(shù)學(xué)分析中典型試題分析

再如,2015年下半年考題中的第14題,敘述并證明拉格朗日微分中值定理,并闡述拉格朗日中值定理與中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系。2018年下半年考題中的第11題,設(shè)f(x)是[0,1]的可導(dǎo)函數(shù),且f'(x)有界,證明：存在m>0，使得對于任意x1,x2∈[0,1],有|f(x1)-f(x2)|

這兩個題都是考查微分學(xué)基本定理即拉格朗日定理。拉格朗日中值定理在微積分學(xué)中地位很重要,并且在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛,解決極值問題,證明不等式等等。微分學(xué)基本定理在教師資格考試中也是重點考查的知識點之一,在9套試題中出現(xiàn)5次通過簡答題和選擇題出現(xiàn)，所占分值很高,重點考查學(xué)生對知識的理解程度以及思維邏輯和寫題思路。

通過統(tǒng)計可以知道極限及其基本性質(zhì)考查4次，主要考查對性質(zhì)和定義的理解。積分，即不定積分和定積分共考查6次，其中4次以選擇題形式出現(xiàn),其它2次以簡答題方式出現(xiàn)。

三、基于數(shù)學(xué)分析試題分析的思考

通過對試題的分析可以發(fā)現(xiàn),在對數(shù)學(xué)分析試題的考查中側(cè)重對導(dǎo)數(shù)與微分以及極限的考查,明確數(shù)學(xué)分析試題的考查重點可以明確國家對師資質(zhì)量的基本要求,也可以為在大學(xué)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)分析起到導(dǎo)向性的作用。通過對9套試題的分析,發(fā)現(xiàn)教師資格考試中數(shù)學(xué)分析的考查知識點需要進一步改善,并且通過試題的分析對今后的教師教學(xué)以及學(xué)生的學(xué)習(xí)也有很大的啟示。

(一)應(yīng)增加數(shù)學(xué)分析相關(guān)知識點的考查

通過對數(shù)學(xué)分析試題的考查發(fā)現(xiàn)所考知識點以數(shù)學(xué)分析一元微積分與級數(shù)為主要考試內(nèi)容,對數(shù)學(xué)分析中其它的內(nèi)容沒有考查,知識面相對較窄。實際上，高中數(shù)學(xué)中已經(jīng)從一定層面上學(xué)習(xí)了一元微積分,只是沒有在實數(shù)理論意義下嚴(yán)格系統(tǒng)化的知識體系?？疾橹R面不夠及其缺乏內(nèi)在聯(lián)系，不能突出大學(xué)數(shù)學(xué)分析學(xué)習(xí)的重要意義,不利于學(xué)生樹立站在高觀點下進行中學(xué)教學(xué)的觀念。就考試準(zhǔn)備而言,容易造成有些學(xué)生為應(yīng)付考試而去學(xué)教師資格考試所涉及的知識點，而不去學(xué)習(xí)與考試無關(guān)的知識點,知識系統(tǒng)性把握出現(xiàn)斷層。

根據(jù)教師資格考試現(xiàn)行大綱，試卷內(nèi)容對于計算類的考查主要以極限的求法以及冪級數(shù)為主,應(yīng)適當(dāng)增加微分及其應(yīng)用內(nèi)容的考查。另外，現(xiàn)行大綱沒有涉及多元函數(shù)微積分的考核。應(yīng)逐漸從一元函數(shù)微積分過渡到多元函數(shù)，適當(dāng)增加累次極限、偏導(dǎo)數(shù)以及隱函數(shù)相關(guān)的知識內(nèi)容的考查，其次也應(yīng)增加對曲線積分與重積分的考查。特別重視對格林公式及其應(yīng)用的考查，它揭示了平面閉區(qū)域的二重積分與區(qū)域邊界上曲線積分之間的聯(lián)系,是二元微積分的重要內(nèi)容，其理解與應(yīng)用能力能夠體現(xiàn)應(yīng)試者更高的數(shù)學(xué)理解水平。

(二)應(yīng)注重設(shè)置綜合性題目考查專業(yè)能力

教師資格考試中數(shù)學(xué)分析題目客觀性強,重點考查的是學(xué)生對基礎(chǔ)知識的掌握程度。多數(shù)題目都屬于單一性的考查微分中值定理、導(dǎo)數(shù)、極限、定積分、連續(xù)性等知識點,缺乏綜合性和開放性,對專業(yè)能力的考查起不到相應(yīng)的效果。實際上,微積分中核心的內(nèi)容來自于實踐應(yīng)用,微積分中重要思想方法等都是微積分學(xué)習(xí)的重點?？荚囶}目應(yīng)考慮綜合的、開放的設(shè)計微分和積分的應(yīng)用內(nèi)容,在側(cè)重知識的同時重點考查思想及其應(yīng)用,注重提出與發(fā)現(xiàn)問題,分析與解決問題能力的考查。應(yīng)該不斷探索創(chuàng)新出新題型,建設(shè)大容量題庫,不僅能夠提高學(xué)生發(fā)現(xiàn)和解決問題的能力和培養(yǎng)創(chuàng)新思維，而且可以有效保障考試的客觀公平。更應(yīng)促進專業(yè)化的發(fā)展,只有不斷改革和完善才能保證我國教師資格考試制度平穩(wěn)有序的發(fā)展,發(fā)揮建設(shè)教師隊伍的作用[8]。