分類，讓問題變簡(jiǎn)單

張水明

摘要：深化普通高中課程改革高三數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)活動(dòng)中，筆者有幸上了一節(jié)有關(guān)“排列組合”內(nèi)容的高三復(fù)習(xí)展示課，得到了與會(huì)專家與同行的一致認(rèn)可。排列組合，在高考中一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，屬于中檔題。在考綱中則要求“會(huì)用排列數(shù)和組合式公式解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題”。但這道題的得分率很低，究其原因，是學(xué)生忽視了最基本的思想方法——分類，或者不知道如何分類。下面對(duì)這節(jié)課作一個(gè)簡(jiǎn)要的回顧，與大家探討。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；突破思維；形成思維；遷移思維；鞏固思維

中圖分類號(hào)：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1992-7711（2021）06-0108

本節(jié)課的主題是“排列組合的核心思想”，關(guān)鍵詞是核心思想，即遇到排列組合問題首先應(yīng)該想到的、最重要的思想。本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)只有一個(gè)——學(xué)會(huì)分類，學(xué)會(huì)數(shù)數(shù)。

一、導(dǎo)入新課，突破思維困境

首先，展示一張“垃圾分類”的宣傳圖片，揭示廣告語(yǔ)——垃圾分類，讓生活更美好。由此，引出本節(jié)課的核心思想——分類，讓數(shù)學(xué)變簡(jiǎn)單。其次，復(fù)習(xí)排列組合的基本思想和基本方法。

基本思想：1.分清分類和分步；2.分類數(shù)數(shù)最有效；3.特殊優(yōu)先；4.正難則反。

基本方法：（1）相鄰問題捆綁法；（2）間隔問題插空法；（3）分配名額插板法；（4）均勻分組要除序；（5）順序一定自動(dòng)排。

分析近幾年的高考真題及各地的?？碱}，可以發(fā)現(xiàn)，高考重視的是對(duì)基礎(chǔ)的考查。就排列組合題而言，核心思想有兩條：①分類數(shù)數(shù)最有效；②特殊優(yōu)先。

二、例題精講，形成思維

例1. （2019.4金華十校聯(lián)考）5位同學(xué)分成3組，參加3個(gè)不同的志愿者活動(dòng)，每組至少1人，其中甲乙兩人不能分在同一組，則不同的分配方案有_______種。

解析：看到排列組合題，首先應(yīng)該想到兩條核心思想：①分類數(shù)數(shù)最有效；②特殊優(yōu)先。

而分類的核心在于找分類點(diǎn)，即想不清楚的地方。如例1，有兩個(gè)地方我們想不清楚：甲乙兩人分別在哪兩個(gè)組？三個(gè)組的人數(shù)分別是多少？若能弄清楚以上兩個(gè)問題，這個(gè)復(fù)雜的問題就簡(jiǎn)單了。因此，我們先對(duì)特殊元素甲乙的位置進(jìn)行分類，共有以下6類（將甲在第一組乙在第二組，簡(jiǎn)記為甲1乙2）：甲1乙2、甲1乙3、甲2乙1、甲2乙3、甲3乙1、甲3乙2。根據(jù)甲乙對(duì)稱性（地位相等），6種情況等價(jià)。不妨設(shè)甲1乙2。接著，再對(duì)各組的人數(shù)進(jìn)行分類，共有以下6類（若第一、二、三組的人數(shù)分別為1，1，3，簡(jiǎn)記為（1，1，3）：（1，1，3）（1，2，2）（1，3，1）（2，1，2）（ 2，2，1）（3，1，1）。至此，通過分類到極致，該題就變成簡(jiǎn)單的實(shí)際問題。

所以，分配方案的種數(shù)為6×（1 + 3 + 3 + 3 + 6 + 3） = 114。

例2.將5名同學(xué)分到甲、乙、丙3個(gè)小組，若甲組至少兩人，乙、丙組每組至少一人，則不同的分配方案有______種。

解析：排列組合的核心在于分類，甲、乙、丙3個(gè)小組的人數(shù)我們不清楚，是分類點(diǎn)。抓住這個(gè)分類點(diǎn)，我們可以快速解決問題。

①當(dāng)甲組3人，乙組1人，丙組1人時(shí)，方案種數(shù)為C35C12= 20。

②當(dāng)甲組2人，乙組1人，丙組2人時(shí)，方案種數(shù)為C25C13= 30。

③當(dāng)甲組2人，乙組2人，丙組1人時(shí)，方案種數(shù)為C25C23= 30。

所以，分配方案的種數(shù)為20 + 30 + 30 = 80。

錯(cuò)誤解法：第一步，保證甲組2人，乙、丙組各1人；第二步，剩余1人隨機(jī)分配。此時(shí)，分配方案的種數(shù)為C25C13C12·C13= 180。錯(cuò)誤的原因在于某一組的人分兩次進(jìn)入，存在先后順序重復(fù)。

通過錯(cuò)誤解法，讓學(xué)生實(shí)實(shí)在在地感受到分類的好處，不僅能夠化復(fù)雜為簡(jiǎn)單，而且容易檢驗(yàn)不重不漏，保證正確率。

三、習(xí)題演練，遷移思維

練習(xí)1.標(biāo)有1，2，3，4，5數(shù)字的五個(gè)小球，放入標(biāo)有1，2，3，4數(shù)字的四個(gè)不同的盒子中，要求每個(gè)盒子都有球，且恰有兩個(gè)球的標(biāo)號(hào)與所放的盒子標(biāo)號(hào)相同，求其放法種數(shù)。

師：看到排列組合題，首先應(yīng)該想到的是什么？

生：分類。

師：對(duì)，分類讓問題變簡(jiǎn)單。那么，分類點(diǎn)是什么？也就是什么地方讓你想不清楚？

生1：我不清楚哪兩個(gè)球的標(biāo)號(hào)和盒子是相同的。

師：對(duì)，哪兩個(gè)標(biāo)號(hào)相同想不清楚，需要分類。還有什么想不清楚？

生2：還有哪個(gè)盒子放兩個(gè)球不清楚。

師：也對(duì)，這些都是分類點(diǎn)。抓住這兩個(gè)分類點(diǎn)，問題就變簡(jiǎn)單了。分類數(shù)一數(shù)，輕松搞定。

首先，對(duì)哪兩個(gè)球與盒子標(biāo)號(hào)相同進(jìn)行分類：1，2相同；1，3相同；1，4相同；2，3相同；2，4相同；3，4相同。由對(duì)稱性可知，六種情況等價(jià)，只需算其中一種即可，不妨設(shè)1，2相同。

①當(dāng)1號(hào)盒子有兩個(gè)球時(shí)，共有3種放法。

②當(dāng)2號(hào)盒子有兩個(gè)球時(shí)，共有3種放法。

③當(dāng)3號(hào)盒子有兩個(gè)球時(shí)，共有1種放法。

④當(dāng)4號(hào)盒子有兩個(gè)球時(shí)，共有1種放法。

所以，放法的種數(shù)為6×（3 + 3 + 1 + 1） = 48。

練習(xí)2.（2017浙江高考）從6男2女共8名學(xué)生中選出隊(duì)長(zhǎng)1人，副隊(duì)長(zhǎng)1人，普通隊(duì)員2人組成4人服務(wù)隊(duì)，要求服務(wù)隊(duì)中至少有1名女生，共有______種不同的選法。

師：有什么方法可以把這個(gè)問題變簡(jiǎn)單？

生3：對(duì)服務(wù)隊(duì)中女生的人數(shù)進(jìn)行分類：女生有1人或者女生有2人。這樣，這個(gè)問題就變簡(jiǎn)單了。

師：對(duì)，這就是分類點(diǎn)，也是這個(gè)題的關(guān)鍵點(diǎn)。抓住這一點(diǎn)，該題就迎刃而解了。請(qǐng)大家自己動(dòng)手算一下，最后答案為多少？

學(xué)生完成后，電子白板上展示生3的書寫過程并給予表?yè)P(yáng)。

①當(dāng)女生有1人時(shí)，C12C36·C14C13C22= 480。

②當(dāng)女生有2人時(shí)，C22C26·C14C13C22= 180。

選法種數(shù)為480 + 180 = 660。

四、歸納小結(jié)，鞏固思維

基本的數(shù)學(xué)概念、基本的思想方法是高考數(shù)學(xué)的根，始終是考查的重點(diǎn)。就排列組合題而言，通過分類，可以使數(shù)學(xué)問題一點(diǎn)一點(diǎn)變簡(jiǎn)單。通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，希望學(xué)生學(xué)會(huì)分類，讓數(shù)學(xué)變簡(jiǎn)單，讓生活更美好。

參考文獻(xiàn)：

[1]王逸凡.高中數(shù)學(xué)分類討論方法的思考[J].高考，2017（36）.

[2]楊嬌娜.簡(jiǎn)析分類討論思想在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].課程教育研究：學(xué)法教法研究，2016（23）：122-122.

（作者單位：浙江省東陽(yáng)中學(xué)322100）