溫海英

【摘要】數(shù)學(xué)建模是學(xué)科核心素養(yǎng)的重要組成部分之一，而當(dāng)前初中數(shù)學(xué)教師的建模意識(shí)不強(qiáng)，學(xué)生建模能力水平低。因此，明確初中數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)目標(biāo)的設(shè)置依據(jù)，設(shè)置適切目標(biāo)，在實(shí)際課堂教學(xué)中落實(shí)這些目標(biāo)，尋找適合初中生數(shù)學(xué)建模能力發(fā)展的教學(xué)措施，是培養(yǎng)初中生建模能力的有效教學(xué)途徑。本文論述了如何在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，以供參考。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué);建模能力;教學(xué)措施

數(shù)學(xué)建模能力是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問(wèn)題的能力?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》界定的數(shù)學(xué)建模過(guò)程主要包括：在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題，分析問(wèn)題、建立模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問(wèn)題[1]。初中階段對(duì)應(yīng)的高中“數(shù)學(xué)建?！彼仞B(yǎng)的核心概念是“模型思想”和“應(yīng)用意識(shí)”。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》關(guān)于 “模型思想”的表述中指出，建立和求解模型的過(guò)程包括：從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。其關(guān)于“應(yīng)用意識(shí)”的表述中指出，一方面，有意識(shí)地利用數(shù)學(xué)的概念、原理和方法解釋現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象，解決現(xiàn)實(shí)世界中的問(wèn)題;另一方面，認(rèn)識(shí)到現(xiàn)實(shí)生活中蘊(yùn)含著大量與數(shù)量和圖形有關(guān)的問(wèn)題，這些問(wèn)題可以抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)的方法予以解決[2]。因此，課題組將初中數(shù)學(xué)建模能力發(fā)展的目標(biāo)分為四個(gè)層次。目標(biāo)水平Ⅰ：能依據(jù)給定模型還原實(shí)際情境中的部分信息;能舉例檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇?能正確表達(dá)（或部分表達(dá)）熟悉實(shí)際情境中信息之間的內(nèi)在聯(lián)系。目標(biāo)水平Ⅱ：能應(yīng)用給定模型解決實(shí)際問(wèn)題;能正確地表達(dá)（或部分表達(dá)）不熟悉實(shí)際情境中信息之間的內(nèi)在聯(lián)系。目標(biāo)水平Ⅲ：能在熟悉的實(shí)際情境中，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、建立模型、求解模型、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?、完善模型。目?biāo)水平Ⅳ：能在不熟悉的實(shí)際情境中，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、建立模型、求解模型、檢驗(yàn)?zāi)Ｐ?、完善模型?；诔踔袛?shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)目標(biāo)，筆者將從以下幾個(gè)方面談?wù)劤踔袛?shù)學(xué)課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生建模能力的教學(xué)措施。

一、改變觀念，提升數(shù)學(xué)建模意識(shí)

學(xué)生是學(xué)的主體，表現(xiàn)為思維的自主性;教師是教的主體，表現(xiàn)為教師是整個(gè)教學(xué)活動(dòng)的設(shè)計(jì)者、組織者和學(xué)生思維的引導(dǎo)者。章建躍博士在《數(shù)學(xué)教育心理學(xué)》中指出，完整的學(xué)習(xí)過(guò)程應(yīng)包括觀察和感知問(wèn)題情境、抽象和表達(dá)數(shù)學(xué)問(wèn)題、進(jìn)行數(shù)學(xué)推理變換或證明、對(duì)結(jié)果進(jìn)行反思修正或推廣應(yīng)用等[3]。可以看出，這個(gè)完整的學(xué)習(xí)過(guò)程的前兩個(gè)部分與建模能力息息相關(guān)，因此，教師要轉(zhuǎn)變觀念，明確建模思維的重要性，形成較強(qiáng)的建模意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生建模意識(shí)的形成。例如，在教學(xué)人教版八年級(jí)下冊(cè)第十九章“一次函數(shù)”19.3課題學(xué)習(xí)選擇方案中的問(wèn)題1“怎樣選取上網(wǎng)收費(fèi)方式”中，教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題給出了三種上寬帶網(wǎng)的收費(fèi)方式，以及三種收費(fèi)方式的費(fèi)用和哪一個(gè)量會(huì)產(chǎn)生聯(lián)系，體會(huì)表格數(shù)據(jù)實(shí)質(zhì)上反映了費(fèi)用和上網(wǎng)時(shí)間兩個(gè)變量之間的變化規(guī)律。該問(wèn)題的實(shí)質(zhì)是比較同一個(gè)上網(wǎng)時(shí)間內(nèi)哪一種方式的收費(fèi)更低，從而培養(yǎng)學(xué)生建立函數(shù)模型的意識(shí)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)利用函數(shù)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題。

二、關(guān)注知識(shí)形成過(guò)程，促進(jìn)數(shù)學(xué)建模思維的形成

數(shù)學(xué)來(lái)源于現(xiàn)實(shí)生活，數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程其實(shí)就是數(shù)學(xué)的建模過(guò)程，數(shù)學(xué)概念、原理、公式等數(shù)學(xué)模型無(wú)不與現(xiàn)實(shí)模型對(duì)應(yīng)。在教學(xué)過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注知識(shí)的形成過(guò)程，這樣，學(xué)生在建模過(guò)程中如果遇到現(xiàn)實(shí)模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的障礙時(shí)，就會(huì)傾向于聯(lián)想數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)模型的對(duì)應(yīng)關(guān)系。例如，在教學(xué)人教版七年級(jí)上冊(cè)3.4實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程探究1：銷(xiāo)售中的盈虧時(shí)，學(xué)生在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中已經(jīng)學(xué)會(huì)銷(xiāo)售問(wèn)題中有關(guān)的量及相關(guān)量之間的關(guān)系，并且部分?jǐn)?shù)學(xué)思維好的學(xué)生直接套用小學(xué)算術(shù)算法公式很快就解決了問(wèn)題，而對(duì)于部分?jǐn)?shù)學(xué)思維較差的學(xué)生來(lái)說(shuō)，題目中的數(shù)字都是一樣的，這些數(shù)量在他們眼里是無(wú)差別的，所以導(dǎo)致判斷失誤。究其原因，這部分學(xué)生對(duì)于“盈利25%”和“虧損25%”兩個(gè)概念是不清楚的，追溯本源，是因?yàn)椴磺宄N(xiāo)售問(wèn)題中的一個(gè)很重要的概念——“利潤(rùn)率”是怎么形成的。因此，教師通過(guò)一系列的數(shù)學(xué)問(wèn)題讓學(xué)生了解“利潤(rùn)率”這個(gè)概念的由來(lái)，如學(xué)校門(mén)口小賣(mài)部老板銷(xiāo)售一些文具，其中筆記本每本進(jìn)價(jià)2元，賣(mài)5元;籃球每個(gè)進(jìn)價(jià)20元，賣(mài)30元。問(wèn)題1：老板賣(mài)一本筆記本可以賺多少錢(qián)？問(wèn)題2：老板賣(mài)一個(gè)籃球可以賺多少錢(qián)？問(wèn)題3：老板賣(mài)一本筆記本和賣(mài)一個(gè)籃球，哪個(gè)賺得多？問(wèn)題4：如果老板用100元進(jìn)筆記本或籃球中的一種，假設(shè)進(jìn)的貨物當(dāng)天能全部賣(mài)完，請(qǐng)問(wèn)老板進(jìn)哪一種貨物賺得最多？問(wèn)題5：從提問(wèn)4中，你能獲取什么信息？在思考這一系列數(shù)學(xué)問(wèn)題中，學(xué)生了解了利潤(rùn)率概念的形成過(guò)程，從而更好地理解了“盈利25%”和“虧損25%”，進(jìn)而解決問(wèn)題。

三、幫助學(xué)生理解情境問(wèn)題

數(shù)學(xué)建模首先是對(duì)實(shí)際問(wèn)題建立數(shù)學(xué)模型，然后嘗試對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解，最后利用結(jié)果解決實(shí)際問(wèn)題。理解問(wèn)題情境是數(shù)學(xué)建模的一個(gè)關(guān)鍵環(huán)節(jié)，而實(shí)際問(wèn)題情境對(duì)學(xué)生而言理解難度較大。因此，在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師要注意引導(dǎo)學(xué)生理解情境問(wèn)題。首先，教師要選擇一些與學(xué)生學(xué)習(xí)、生活緊密相關(guān)的簡(jiǎn)單情境，激發(fā)學(xué)生的探究興趣。其次，教師要從學(xué)生的感受出發(fā)，創(chuàng)設(shè)學(xué)生較容易理解的情境，幫助學(xué)生理解問(wèn)題情境。受生活經(jīng)驗(yàn)有限的影響，很多對(duì)于成年人來(lái)說(shuō)很容易理解的情境問(wèn)題，對(duì)于缺乏生活常識(shí)和經(jīng)驗(yàn)的初中生而言卻是極難理解的，如果教師僅根據(jù)自己的生活經(jīng)驗(yàn)解釋情境問(wèn)題，那么學(xué)生也許上課時(shí)聽(tīng)懂了，一旦自己解決問(wèn)題時(shí)卻理解不了了。對(duì)此，教師應(yīng)刪除題干中多余的干擾信息，用熟悉的符號(hào)替換干擾的表述，創(chuàng)設(shè)學(xué)生更容易理解的情境問(wèn)題。例如，廈門(mén)市2020九上質(zhì)檢20題：某批發(fā)商從某節(jié)能燈廠購(gòu)進(jìn)了50盒額定功率為15W的節(jié)能燈，由于包裝工人的疏忽，在包裝中混進(jìn)了30W的節(jié)能燈。每盒中混入30W的節(jié)能燈數(shù)見(jiàn)表1。

（1）平均每盒混入幾個(gè)30W的節(jié)能燈？

（2）從這50盒中任意抽取一盒，記事件A為：該盒中沒(méi)有混入30W的節(jié)能燈。求事件A的概率。

這是一道簡(jiǎn)單的實(shí)際情境問(wèn)題，與學(xué)生日常接觸的習(xí)題相比較，只是多了一些起干擾作用的物理量數(shù)字的表述。從實(shí)測(cè)情況看，不少學(xué)生因?yàn)樽x不進(jìn)、讀不懂未能解決問(wèn)題。在市質(zhì)檢分析會(huì)上，林祥華教師從以下幾方面指導(dǎo)教師如何幫助學(xué)生理解簡(jiǎn)單情境問(wèn)題。

首先，對(duì)于題目中有起干擾作用的數(shù)字信息“額定功率為15W的節(jié)能燈”和“30W的節(jié)能燈”，教師可以用學(xué)生熟悉的符號(hào)A和B代替。由此，題目就變成了以下形式：

某批發(fā)商從某節(jié)能燈廠購(gòu)進(jìn)了50盒A。由于包裝工人的疏忽，在包裝中混進(jìn)了B。每盒中混入B的節(jié)能燈數(shù)見(jiàn)表2。

這樣，題目中沒(méi)有了干擾信息，學(xué)生讀起來(lái)就不會(huì)那么費(fèi)勁了。

其次，對(duì)于題目中的表格，教師可以從表格的要素出發(fā)，用舉例解釋的方法解讀表格數(shù)據(jù)，如第一列數(shù)（0，14）的意思是14盒中混入0個(gè)B，第二列（1，25）表示25盒中混入1個(gè)B，以此類(lèi)推，幫助學(xué)生把表格中所有數(shù)據(jù)全部讀懂。

雖然學(xué)生理解了表格數(shù)據(jù)的意義，但是很多學(xué)生的頭腦中僅僅有這些數(shù)據(jù)，卻不知道在問(wèn)題情境中如何應(yīng)用這些數(shù)據(jù)，因此，教師要讓學(xué)生想象還原實(shí)際情境，理解并應(yīng)用這些數(shù)據(jù)。在問(wèn)題情境中，廠家購(gòu)進(jìn)50盒A，其中有些盒子里摻雜了一些B，教師可以引導(dǎo)學(xué)生想象這個(gè)情境，同時(shí)利用圖形和符號(hào)把情境還原到黑板上，如圖1所示。

如此這般，大部分學(xué)生便能更好地理解題目所展示的情境，從而正確使用表格中的數(shù)據(jù)解決問(wèn)題。

數(shù)學(xué)來(lái)源于實(shí)際生活，又應(yīng)用于生活。解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)就是解決實(shí)際問(wèn)題。在當(dāng)前教研教學(xué)改革熱潮中，育人方式的變革既是焦點(diǎn)也是重點(diǎn)，教學(xué)從知識(shí)本位走向素質(zhì)本位、從以教為主轉(zhuǎn)向以學(xué)為主、從學(xué)科“割裂”走向?qū)W科“統(tǒng)整”、從“坐而論道”轉(zhuǎn)向“學(xué)科實(shí)踐”。數(shù)學(xué)建模能力是學(xué)生必備素養(yǎng)之一，初中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)根據(jù)學(xué)生身心發(fā)展規(guī)律，設(shè)置適切的目標(biāo)，并在實(shí)踐教學(xué)中注重引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，改變?cè)瓉?lái)“掐頭去尾燒中段”的教學(xué)陋習(xí)。此外，教師還可適當(dāng)添加含有圖表等非連續(xù)性文本的閱讀材料，如與數(shù)學(xué)相關(guān)的生活類(lèi)、科普類(lèi)文章或經(jīng)濟(jì)類(lèi)的電視新聞等，指導(dǎo)學(xué)生掌握對(duì)關(guān)鍵字詞圈點(diǎn)勾畫(huà)、一句一列式等閱讀方法，使學(xué)生學(xué)會(huì)用畫(huà)示意圖等方式來(lái)表征問(wèn)題，讓學(xué)生會(huì)從“題目給了哪些信息”“信息之間的聯(lián)系是什么”“這么分析信息符合實(shí)際的要求嗎”“我這么考慮問(wèn)題，所給的信息完整嗎”等方面有向有序地分析問(wèn)題，從而增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題的能力，提升學(xué)生的綜合素養(yǎng)。

【參考文獻(xiàn)】

教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京：人民教育出版社，2017.

教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京：人民教育出版社，2011.

曹才翰，章建躍.數(shù)學(xué)教育心理學(xué)[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2006.