吳鵬飛　袁天辰　楊儉

摘要： 提出一種單自由度電磁振動能量采集器的系統(tǒng)辨識方法——電壓映射方法，該方法基于恢復(fù)力曲面法的辨識思想，在系統(tǒng)恢復(fù)力函數(shù)、電磁機電耦合函數(shù)和等效電感函數(shù)的具體形式未知的情況下，能準(zhǔn)確辨識出具有強非線性的恢復(fù)力函數(shù)、電磁機電耦合函數(shù)和等效電感函數(shù)。利用兩個典型的非線性模型算例進行驗證：一是含有非線性彈性恢復(fù)力的電磁振動能量采集器系統(tǒng)（電學(xué)方程部分為線性）;二是既含有非線性彈性恢復(fù)力，又含有非線性電學(xué)方程的復(fù)雜電磁振動能量采集系統(tǒng)。利用龍格庫塔法計算得到以上兩個算例在簡諧振動激勵下的時間歷程響應(yīng)，運用上述提出的辨識方法成功辨識得到系統(tǒng)含有的非線性彈性恢復(fù)力、阻尼恢復(fù)力、電磁力和電感電壓，進而得到對應(yīng)的非線性剛度函數(shù)、阻尼函數(shù)、電磁機電耦合函數(shù)和等效電感函數(shù)，結(jié)果顯示辨識結(jié)果與準(zhǔn)確結(jié)果有良好的一致性，驗證了本文所提出方法的有效性和準(zhǔn)確性。

關(guān)鍵詞： 電磁振動能量采集; 系統(tǒng)辨識; 電壓映射法; 非線性

中圖分類號： TM619; TB123; O322??? 文獻標(biāo)志碼： ????文章編號： 1004-4523（2021）01-0116-11

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.01.013

引 言

非線性振動現(xiàn)象廣泛存在于工程實際中，通過建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型來描述非線性系統(tǒng)特性和行為是研究非線性問題的關(guān)鍵。對于很多領(lǐng)域，因為系統(tǒng)比較復(fù)雜，一般不能用理論分析方法直接得到系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，需要通過實驗的輸入輸出數(shù)據(jù)來確定系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型^[1]。系統(tǒng)辨識為非線性振動系統(tǒng)的特性研究提供了有效的解決方法。非線性系統(tǒng)辨識根據(jù)系統(tǒng)模型是否已知，可以分為參數(shù)辨識和非參數(shù)辨識^[2]，非參數(shù)辨識別方法可以處理很難用特定函數(shù)來描述非線性模型的問題。根據(jù)時域和頻域分布可以分為時域法和頻域法，以及時?頻相結(jié)合的混合法^[3]。

電磁式振動能量采集器得到了廣泛的研究。王佩紅^[4]研究電磁式振動能量采集器的工作原理，建立了采集器的物理模型，并且詳細介紹了國內(nèi)外研究的現(xiàn)狀，分析了未來面臨的困難和挑戰(zhàn)以及發(fā)展趨勢。邵瑋^[5]利用電磁感應(yīng)定律設(shè)計了電磁振動能量采集器，通過對該結(jié)構(gòu)的物理模型進行理論分析，得出了電磁采集器設(shè)計的一般準(zhǔn)則。鄧露等^[6]提出了一種為橋梁健康監(jiān)測傳感器供電的雙自由度磁懸浮式振動能量俘能器，建立了采集器的物理模型，并且推導(dǎo)了采集器的動力學(xué)模型和機電耦合方程。中國很多學(xué)者已經(jīng)對壓電式采集器的參數(shù)辨識有了深入的研究，然而對電磁式振動能量采集器的系統(tǒng)辨識卻研究較少。Stanton等^[7]利用諧波平衡法求解系統(tǒng)，并采用最小二乘法對非線性壓電裝置進行參數(shù)識別。竇蘇廣等^[8]應(yīng)用快速傅里葉變換和諧波平衡法對非線性參激系統(tǒng)進行了參數(shù)辨識，并以杜芬方程為例進行了數(shù)值仿真。 Dick等^[9]通過頻率響應(yīng)方程確定了微型壓電采集器的參數(shù)。黃東梅等^[10]利用Morlet小波變換對時變振動系統(tǒng)和典型非線性振動系統(tǒng)進行參數(shù)辨識，辨識出了系統(tǒng)的阻尼和剛度函數(shù)。Zhou等^[11]利用基于遺傳算法的辨識方法辨識出了機電耦合函數(shù)和等效電容函數(shù)。無論是最小二乘法、快速傅里葉變換、Morlet小波變換還是遺傳算法都屬于參數(shù)辨識方法，參數(shù)辨識是基于在已知控制方程的基礎(chǔ)上完成的。目前參數(shù)辨識方法已經(jīng)向智能算法發(fā)展，在迭代尋優(yōu)的過程中不僅收斂速度快，辨識精度也非常高，應(yīng)用非常的成熟。然而當(dāng)已知的數(shù)學(xué)模型不能完全解釋實際工程振動響應(yīng)，需要額外增加一個未知參數(shù)來研究系統(tǒng)特性時，必然會造成參數(shù)辨識成為一個奇異問題，不能得到關(guān)于未知參數(shù)的唯一解，面對只知道模型結(jié)構(gòu)而不知具體準(zhǔn)確模型的情況下參數(shù)辨識無法求解辨識結(jié)果。為了辨識得到振動的頻響函數(shù)，孟新宇等^[12]利用非參數(shù)辨識方法研究了增加兩項待辨識未知參數(shù)矢量對頻響函數(shù)的影響。Masri和Caughey^[13]利用恢復(fù)力曲面法（或稱為力?狀態(tài)映射法）深入研究了系統(tǒng)的響應(yīng)，然后再為非線性系統(tǒng)擬合出了合適的數(shù)學(xué)模型。文獻[14]通過懸臂梁的響應(yīng)數(shù)據(jù)使用恢復(fù)力曲面法成功地辨識出了非線性大型懸臂梁模型。文獻[15]利用系統(tǒng)響應(yīng)數(shù)據(jù)通過非參數(shù)辨識方法辨識得到系統(tǒng)的正交基函數(shù)，在未知該系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的先驗條件下該方法得到的正交基函數(shù)總是能與系統(tǒng)相匹配。

本文基于恢復(fù)力曲面法的辨識思想，提出電壓映射辨識方法，對電磁式振動能量采集器進行非參數(shù)辨識。前者通過構(gòu)建恢復(fù)內(nèi)力、位移和速度的三維點集繪制出離散分布的曲面，再利用截面法分離出恢復(fù)內(nèi)力里的阻尼恢復(fù)力和彈性恢復(fù)力，最后再辨識出阻尼函數(shù)和剛度函數(shù)^[13]。電壓映射法則是通過構(gòu)建電壓、速度和電流的導(dǎo)數(shù)之間的三維點集，利用截面法分離出離散曲面數(shù)據(jù)的電磁耦合數(shù)據(jù)對和等效電感數(shù)據(jù)對，從而得到電磁機電耦合函數(shù)和等效電感函數(shù)。在辨識強非線性電磁函數(shù)時該方法具有比較好的辨識效果。

1 電磁式振動能量采集器的原理及系統(tǒng)辨識

1.1 電磁式振動能量采集器系統(tǒng)的控制方程

電磁式振動能量采集系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖3所示。參數(shù)來源于Chen和Jiang^[18]、Daqaq等^[19]對電磁式振動能量采集器的設(shè)計研究，仿真時間從0采集到0.5 s，增加的振幅激勵A=20g/s，所以激勵從0增加到10g，外激勵的振動頻率為95 Hz。位移和電流響應(yīng)如圖4所示。

通過電壓映射方法，得到電壓關(guān)于速度和電流導(dǎo)數(shù)離散分布的曲面圖，如圖5所示。

曲面圖一旦確定，則可以通過截面法分離出曲面數(shù)據(jù)中所需要的電磁耦合數(shù)據(jù)對和等效電感數(shù)據(jù)對，從而得到電磁機電耦合函數(shù)和等效電感函數(shù)，將辨識的結(jié)果與準(zhǔn)確的結(jié)果對比，如圖6（a）和（b）所示。辨識結(jié)果和準(zhǔn)確結(jié)果有很好的一致性。從圖中可獲悉電磁機電耦合函數(shù)關(guān)于速度是呈線性變化的，符合預(yù)期函數(shù)。通過可以得到電流的導(dǎo)數(shù)?電感數(shù)據(jù)對，如圖7（a）所示;通過可以得到速度?電磁數(shù)據(jù)對，如圖7（b）所示。

將辨識得到的電磁參數(shù)代入到式（11）的力學(xué)部分，辨識得到恢復(fù)內(nèi)力關(guān)于速度和位移離散分布的恢復(fù)力曲面圖，如圖8所示。同樣采用截面法從恢復(fù)力曲面數(shù)據(jù)中得到所需要的阻尼恢復(fù)力數(shù)據(jù)對和彈性恢復(fù)力數(shù)據(jù)對，從而辨識出系統(tǒng)的阻尼和剛度函數(shù)，如圖9（a）和（b）所示，辨識結(jié)果和準(zhǔn)確結(jié)果有很好的一致性。

在未知非線性等效電感函數(shù)的前提下，可以先得到電壓關(guān)于電流的導(dǎo)數(shù)和電流的離散點的辨識結(jié)果，與準(zhǔn)確結(jié)果對比發(fā)現(xiàn)，辨識出的離散點都剛好落在等效電感函數(shù)關(guān)于電流的導(dǎo)數(shù)和電流的曲面圖上，如圖13（a）所示。同理，先得到電壓關(guān)于速度和位移的離散點的辨識結(jié)果，與準(zhǔn)確結(jié)果對比發(fā)現(xiàn)，辨識出的離散點都剛好落在電磁機電耦合函數(shù)關(guān)于速度和位移的曲面圖上，如圖13（b）所示。

將電磁機電耦合函數(shù)的辨識結(jié)果代入到系統(tǒng)的力學(xué)模型中，辨識得到恢復(fù)內(nèi)力關(guān)于速度和位移離散分布的恢復(fù)力曲面圖，如圖16所示，同樣采用截面法從恢復(fù)力曲面數(shù)據(jù)中得到所需要的阻尼恢復(fù)力和彈性恢復(fù)力數(shù)據(jù)對，從而辨識出彈性恢復(fù)力和阻尼恢復(fù)力函數(shù)，如圖17（a）和（b）所示，辨識結(jié)果和準(zhǔn)確結(jié)果有很好的一致性。

通過式（9）可以得到位移?剛度辨識結(jié)果，如圖18（a）所示;通過式（10）可以得到速度?阻尼辨識結(jié)果，如圖18（b）所示。

在已知系統(tǒng)非線性電磁函數(shù)的前提下，將辨識到的電磁機電耦合函數(shù)和等效電感函數(shù)與準(zhǔn)確結(jié)果進行比較，如圖19所示，結(jié)果吻合較好。

3 實驗驗證

本文設(shè)計了懸臂梁結(jié)構(gòu)的電磁振動能量采集器，如圖20所示：懸臂梁的一端由墊片和螺栓壓緊，另一端下方安裝永磁體，梁的長度可調(diào);底座上固定有線圈，線圈有引線引出外接電阻，底座由五顆M5螺栓緊固在激振器上，給定激振器一個正弦信號的激勵后，磁鐵便在線圈的上方做往復(fù)振動，利用數(shù)據(jù)采集器記錄底座和磁鐵的加速度以及外接電阻兩端的電壓值。采集器的實物安裝、激振器與功率放大器以及數(shù)據(jù)采集器之間的連接如圖21（a）和（b）所示。

以上各個編號的含義如表4所示。

3.1 實驗的過程及數(shù)據(jù)處理

實驗采用正弦激勵信號，振幅激勵取0.2g，激振頻率取7 Hz。得到激勵加速度和永磁鐵相對底座的加速度時間歷程以及外接電阻兩端的電壓時間歷程，仿真時間取采樣的前4 s，如圖22所示。

利用公式I=U/R可以得到電流隨時間變化的響應(yīng)， 并對電流信號做微分計算，得到每個采樣時刻下的電流的導(dǎo)數(shù);將永磁體的相對加速度經(jīng)過一次積分和兩次積分后分別得到速度響應(yīng)和位移響應(yīng)。

3.2 系統(tǒng)辨識

通過截面法分離出曲面數(shù)據(jù)中的電磁耦合數(shù)據(jù)對和等效電感數(shù)據(jù)對，從而得到電磁機電耦合函數(shù)和等效電感函數(shù)，如圖24所示。

對電壓?速度、電壓?電流的導(dǎo)數(shù)辨識結(jié)果進行擬合即可得到電磁耦合系數(shù)和等效電感系數(shù)。將電磁機電耦合函數(shù)的辨識結(jié)果代入到系統(tǒng)的力學(xué)模型中，辨識得到恢復(fù)內(nèi)力關(guān)于速度和位移離散分布的恢復(fù)力曲面圖，如圖25所示，同樣采用截面法從恢復(fù)力曲面數(shù)據(jù)中得到所需要的阻尼恢復(fù)力和彈性恢復(fù)力數(shù)據(jù)對，從而辨識出彈性恢復(fù)力和阻尼恢復(fù)力函數(shù)，同時采用3階多項式對彈性恢復(fù)力的辨識結(jié)果進行擬合，如圖26所示。

4 結(jié)? 論

本文基于恢復(fù)力曲面法的辨識思想，提出一種新的電壓映射辨識方法，該方法拓寬了恢復(fù)力曲面法的辨識范圍，能夠?qū)﹄姶攀秸駝幽芰坎杉鬟M行電學(xué)函數(shù)與力學(xué)函數(shù)的非參數(shù)辨識，通過具有線性電學(xué)模型和非線性電學(xué)模型兩種形式的電磁振動能量采集器對該方法進行了數(shù)值驗證并輔以實驗加以驗證，得出以下結(jié)論：

（1）電壓映射方法能夠在未知系統(tǒng)恢復(fù)力函數(shù)、電磁機電耦合函數(shù)和等效電感函數(shù)的具體形式的情況下進行系統(tǒng)辨識。

（2）電壓映射方法能準(zhǔn)確辨識出單自由度振動能量采集器系統(tǒng)中的線性電磁機電耦合函數(shù)、線性等效電感函數(shù)、非線性阻尼函數(shù)與非線性剛度函數(shù)，當(dāng)電磁機電耦合函數(shù)、等效電感函數(shù)、阻尼函數(shù)與剛度函數(shù)均為非線性時，電壓映射方法依然能夠準(zhǔn)確辨識。

（3）建立懸臂梁式電磁振動能量采集裝置，利用得到的實驗數(shù)據(jù)進行系統(tǒng)辨識，得到電磁耦合函數(shù)、等效電感函數(shù)、剛度函數(shù)和阻尼函數(shù)的辨識結(jié)果，驗證了電壓映射方法的有效性。

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Abstract： A system identification method—voltage mapping method for a single degree of freedom electromagnetic vibration energy collector is proposed. The method can accurately identify the recovery force function with strong nonlinearity， electromagnetic electromechanical coupling function and equivalent inductance function even if the specific forms of these functions are unknown. Two typical nonlinear model examples are proposed to verify， one is an electromagnetic vibration energy collector system with non-linear elastic recovery force （the electrical equation part is linear）， and the other is a complex electromagnetic vibration energy acquisition system with nonlinear elastic recovery force and nonlinear electrical equations. Runge-Kutta method is used to obtain the time history response of the above two examples under the excitation of simple harmonic vibration， and the identification method proposed above is used to obtain the nonlinear elastic resilience， damping resilience， electromagnetic force and inductance voltage of the system. Therefore the corresponding nonlinear stiffness function， damping function and electromagnetic electromechanical coupling function and equivalent inductance function can be identified successfully. The results show that the identification results are in good consistency with the accurate results， and the method proposed in this paper is verified to be effective and accurate.

Key words： electromagnetic vibration energy acquisition; system identification; voltage mapping method;nonlinear

作者簡介： 吳鵬飛（1992-），男，碩士研究生。電話：15221627220;E-mail： 1163010647@qq.com

通訊作者： 袁天辰（1988-），男，工學(xué)博士，講師。電話：（021）67791355;E-mail：ytcshanghai@126.com