聶永發(fā)　朱海潮

摘要： 為了解決少量測(cè)點(diǎn)條件下利用近場(chǎng)聲全息技術(shù)重建結(jié)構(gòu)表面法向振速精度和分辨率不高甚至失效的問(wèn)題，提出了一種基于聲壓聲輻射模態(tài)的全息面插值算法，可有效提高結(jié)構(gòu)法向振速重建精度和分辨率。計(jì)算全息面聲壓聲輻射模態(tài)向量;根據(jù)聲壓聲輻射模態(tài)收斂性，求取截?cái)嗦晧郝曒椛淠B(tài)展開(kāi)系數(shù)的最小二乘解或Tikhonov正則化解，由此計(jì)算出插值點(diǎn)處的聲壓值;利用插值后的全息面數(shù)據(jù)重建結(jié)構(gòu)表面法向振速。簡(jiǎn)支平板激勵(lì)仿真和音箱實(shí)驗(yàn)均表明，少量測(cè)點(diǎn)條件下利用該方法能夠有效提高結(jié)構(gòu)法向振速重建精度和分辨率，驗(yàn)證了方法的有效性。同時(shí)音箱實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了方法的可行性。

關(guān)鍵詞： 聲壓聲輻射模態(tài); 近場(chǎng)聲全息; 重建精度; 插值

中圖分類號(hào)： O422.6; TB532??? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A??? 文章編號(hào)： 1004-4523（2021）01-0150-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2021.01.017

引? 言

近場(chǎng)聲全息（Near Field Acoustic Holography， NAH）的概念是Maynard等^[1]于20世紀(jì)80年代首次提出，隨后基于邊界元法、波疊加法、等效源法、亥姆霍茲方程最小二乘法、分布點(diǎn)源法等^[2?7]方法的NAH算法也得到了快速發(fā)展。NAH技術(shù)具有識(shí)別精度高、定位準(zhǔn)確的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于結(jié)構(gòu)振動(dòng)輻射聲場(chǎng)的重構(gòu)，噪聲源識(shí)別定位等領(lǐng)域^[8]。

在利用NAH技術(shù)分析大型結(jié)構(gòu)時(shí)，為了獲得足夠的倏逝波信息，需要足夠多的測(cè)量點(diǎn)，以獲得更高的精度和分辨率。測(cè)量點(diǎn)的增多不僅增加了測(cè)量工作量和測(cè)量成本，而且也會(huì)對(duì)識(shí)別精度產(chǎn)生不利影響。因此，利用盡可能少的測(cè)量點(diǎn)聲場(chǎng)數(shù)據(jù)獲得較高分辨率的NAH圖像和足夠精度的重建結(jié)果，具有十分重要的意義。數(shù)據(jù)外推技術(shù)^[9]通過(guò)在全息面外側(cè)補(bǔ)零并在實(shí)空間加窗的方式來(lái)擴(kuò)充全息面并減少邊緣處的不連續(xù)性。Saijyou等^[10]通過(guò)一種基于空間聲場(chǎng)變換的數(shù)據(jù)外推技術(shù)平滑地?cái)U(kuò)展了全息面外側(cè)的數(shù)據(jù)，該方法需要源的先驗(yàn)信息及全息面上聲學(xué)量的最高波數(shù)。Williams等^[11]引入正則化方法，基于波數(shù)域的空間濾波技術(shù)提高了聲全息的重建精度，但同時(shí)也指出不能對(duì)全息面進(jìn)行無(wú)限的拓展。Lee等^[12]通過(guò)求解采樣?帶限矩陣關(guān)系的最小二乘解，克服了傳統(tǒng)局部近場(chǎng)聲全息方法需要迭代的缺點(diǎn)。Harris等^[13]基于Hermite插值理論，利用測(cè)得的聲壓和切向振速對(duì)全息面進(jìn)行插值，提高了NAH圖像的分辨率和重建精度，但該方法測(cè)量和計(jì)算的工作量比較大。徐亮等^[14]提出了一種加權(quán)范數(shù)外推方法，該方法同時(shí)利用聲壓信號(hào)的波數(shù)域帶寬和波數(shù)譜形狀信息獲得了優(yōu)于傳統(tǒng)帶限外推方法的外推結(jié)果，但算法需要多次的迭代計(jì)算。張小正等^[15]提出一種基于波疊加法的插值技術(shù)，該方法通過(guò)布置在全息面附近的簡(jiǎn)單源源強(qiáng)實(shí)現(xiàn)對(duì)全息面的插值，從而實(shí)現(xiàn)NAH圖像分辨率的增強(qiáng)，但算法需要預(yù)先確定虛源的位置數(shù)量。上述方法都等效地恢復(fù)了全息面上丟失的部分空間信息。

本文提出一種基于聲壓聲輻射模態(tài)理論的全息面插值算法，該方法在證明了聲輻射模態(tài)（Acoustic Radiation Modes， ARMs）具有濾波性和收斂性的基礎(chǔ)上，以模態(tài)截?cái)嗟姆绞?，利用全息面上較少測(cè)量值對(duì)全息面進(jìn)行較高精度的插值，在有效提高全息重建分辨率的同時(shí)大大提高了重建精度。該方法物理意義明確，不需要處理解的唯一性等問(wèn)題，由于利用了聲輻射模態(tài)的濾波特性，只濾除了全息面聲壓的高波數(shù)成分，保留了全部傳播波和部分低波數(shù)的倏逝波成分，從而使得全息面插值的精度很高，即使在不滿足采樣定理的條件下，也能獲得較高的重建精度，同時(shí)該方法可大大減少測(cè)量的工作量，并有效節(jié)約時(shí)間和經(jīng)濟(jì)成本，對(duì)促進(jìn)近場(chǎng)聲全息工程化應(yīng)用有實(shí)際意義。

1 算法原理

根據(jù)聲學(xué)參量的不同聲輻射模態(tài)分為振速聲輻射模態(tài)^[16]，聲壓聲輻射模態(tài)^[17]和源強(qiáng)密度聲輻射模態(tài)^[18]。目前，對(duì)傳統(tǒng)結(jié)構(gòu)表面振速聲輻射模態(tài)研究得比較深入，而對(duì)于聲壓聲輻射模態(tài)研究得還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。下面首先給出聲壓聲輻射模態(tài)的基本算法，然后討論其濾波性質(zhì)和模態(tài)截?cái)鄷r(shí)的收斂性，最后構(gòu)建基于該理論的全息面插值算法。

1.1 聲壓聲輻射模態(tài)

1.2 聲壓聲輻射模態(tài)的空間濾波特性及收斂性研究

取一帶有無(wú)限障板的邊長(zhǎng)為0.5 m正方形簡(jiǎn)支平板為研究對(duì)象，將平板離散為等面積單元，利用式（6）可以得到不同頻率下平板的400階聲輻射模態(tài)。圖1為380 Hz時(shí)未經(jīng)正則化處理（γ=0）的平板前6階聲壓聲輻射模態(tài)，圖2為380 Hz時(shí)經(jīng)正則化處理（γ=0.15）后平板前6階聲壓聲輻射模態(tài)，很明顯正則化處理后邊緣效應(yīng)已完全消除。

矩形平板頻域的聲壓聲輻射模態(tài)可以通過(guò)二維傅里葉變換轉(zhuǎn)換到波數(shù)域。在較低頻率下傳播波成分主要集中在前幾階模態(tài)，如圖3所示，即只有前幾階的聲壓聲輻射模態(tài)對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)聲場(chǎng)有貢獻(xiàn)，高階模態(tài)包含的主要是倏逝波成分，這些模態(tài)主要對(duì)近場(chǎng)的聲場(chǎng)有作用。因此在低頻時(shí)平板聲壓聲輻射模態(tài)顯示了明顯的空間濾波特性，聲壓聲輻射模態(tài)可以分為傳播波模態(tài)和倏逝波模態(tài)，傳播模態(tài)中包含有倏逝波的成分，但倏逝波模態(tài)幾乎不包含有傳播波成分。圖4顯示了平板在不同頻率激勵(lì)時(shí)利用模態(tài)截?cái)啾硎镜钠桨灞砻媛晧旱氖諗空`差。從圖4中可以看出低頻時(shí)模態(tài)截?cái)嘈问降谋砻媛晧菏諗克俣瓤?，而隨著頻率的升高收斂速度放緩，因此模態(tài)截?cái)嘈问降谋砻媛晧罕磉_(dá)式在低頻具有更好的適用性。

1.3 基于聲壓聲輻射模態(tài)的NAH插值技術(shù)

式（12）即為利用全息面上少量測(cè)點(diǎn)對(duì)全息面進(jìn)行插值的計(jì)算公式。由式（11）求解模態(tài)展開(kāi)系數(shù)是一個(gè)典型的逆問(wèn)題，由于測(cè)量誤差不可避免，加之矩陣的條件數(shù)通常較大，求解式（11）帶有典型“不適定”的特征，必須進(jìn)行正則化處理才能獲得有意義的解。針對(duì)不同的問(wèn)題，正則化方法一般分為直接正則化方法、迭代正則化方法、帶二次約束最小二乘法、最大熵正則化方法等^[19]。在聲學(xué)反問(wèn)題研究中常用的直接正則化方法有截?cái)嗥娈愔担═runcated Singular Value Decomposition，TSVD）法^[20]和Tikhonov正則化方法^[21]等。目前對(duì)于求解不適定性問(wèn)題，仍沒(méi)有一個(gè)通用的、適合所有模型的方法，只能根據(jù)不同的模型采用不同的正則化方法去試驗(yàn)，然后確定一種較好的方法應(yīng)用于具體的模型^[19]。本文采用Tikhonov正則化方法求解式（11），其Tikhonov正則化解為

當(dāng)激勵(lì)頻率為1400 Hz時(shí)，抽取的全息面測(cè)量點(diǎn)間距違反采樣定理，此時(shí)平板主要以（3，3）階模態(tài)振動(dòng)，該模態(tài)下的結(jié)構(gòu)表面振動(dòng)更加復(fù)雜，包含更多的高波數(shù)成分。利用本文方法對(duì)全息面的聲壓進(jìn)行插值處理，然后利用插值后的全息面聲壓值重建源面的振速。利用式（11）計(jì)算模態(tài)展開(kāi)系數(shù)時(shí)不滿足離散Picard條件，同樣需要進(jìn)行正則化處理。圖7是該頻率下全息面理論值、全息面插值前、全息面插值后平板表面法向振速重建圖像。計(jì)算表明：插值后全息面的聲壓值與全息面上的理論聲壓值相比有所差異，全息面聲壓插值誤差為28.36%，造成插值誤差大的原因是模態(tài)截?cái)嗟碾A數(shù)不夠多，丟失一些全息面的聲壓信息。在該頻率下未插值的重建圖像模糊不清，識(shí)別失敗，重建誤差為172.63%，而插值后的重建圖像與理論重建圖像比較一致，重建誤差分別為57.51%和50.76%，雖然插值誤差達(dá)到了28.36%，但誤差主要是邊緣重建聲壓數(shù)據(jù)產(chǎn)生的，中間部分聲壓的插值誤差不大，所以重建誤差與理論值重建誤差相比不大。顯然在不滿足采樣定理?xiàng)l件下，利用本文的方法也可以大大提高重建圖像的分辨率和重建精度。

表1給出了4種激勵(lì)頻率下的插值誤差，理論值重建誤差、插值后重建誤差和未插值重建誤差。

由表1可以得出：插值誤差隨頻率的增加而增加，當(dāng)測(cè)量間距滿足采樣定理時(shí)，插值誤差很小，小于5%;當(dāng)測(cè)量間距違反采樣定理時(shí)，插值誤差比較大。無(wú)論測(cè)量間距是否滿足采樣定理，插值重建誤差都比插值前重建誤差要小，尤其是隨著頻率的升高，插值后的重建精度要比插值前的重建精度高得多，且與理論值重建精度相差不是太大。這充分說(shuō)明本文方法的有效性。

聲壓聲輻射模態(tài)具有的良好濾波和收斂特性是聲壓聲輻射模態(tài)全息面插值后NAH重建精度的根本保證。聲壓聲輻射模態(tài)各階模態(tài)輻射聲功率與其對(duì)應(yīng)的特征值平方成正比，如圖8所示為平板聲壓聲輻射模態(tài)所對(duì)應(yīng)的歸一化特征值，對(duì)于1400 Hz的較高頻率，也只有前50階模態(tài)對(duì)輻射功率有貢獻(xiàn)，即前50階模態(tài)為傳播波模態(tài)，而剩余的模態(tài)都為倏逝波模態(tài)，而且隨著模態(tài)階數(shù)的增大，模態(tài)的倏逝波成分的波數(shù)越高。高波數(shù)的倏逝波成分對(duì)NAH重建精度有很大影響，本文采用的模態(tài)截?cái)喾绞角『孟烁卟〝?shù)倏逝波對(duì)重建精度的影響。

基于聲壓聲輻射模態(tài)全息面插值技術(shù)的NAH重建精度還取決于插值精度。經(jīng)計(jì)算，收斂誤差分別小于5%，10%和20%所需的最少測(cè)點(diǎn)數(shù)如表2中所示。表2中不帶括號(hào)的數(shù)值表示模態(tài)截?cái)?em>M，括號(hào)中的數(shù)值表示N₁，即在一定頻率和一定收斂誤差下所需最少測(cè)量點(diǎn)數(shù)。由于算例中采用的最少測(cè)量點(diǎn)數(shù)為9×9=81個(gè)，顯然在150，380 Hz頻率下，從圖4可以得出收斂誤差遠(yuǎn)小于5%，因此可以獲得同理論值重建精度相當(dāng)?shù)慕Y(jié)果;而在1400 Hz條件下，81個(gè)測(cè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)收斂誤差為25.83%，插值誤差為28.36%，但重建誤差只比理論重建誤差高7%不到，而未插值重建基本失效，這正是因?yàn)槁晧郝曒椛淠B(tài)的濾波和收斂特性的雙重結(jié)果，濾波特性使模態(tài)截?cái)噙^(guò)濾掉了影響NAH重建精度的高波數(shù)倏逝波成分，而收斂性卻保留了全部的傳播波成分和大部分低波數(shù)倏逝波成分。因此，所提出的基于聲壓聲輻射模態(tài)全息面插值方法能夠利用較少的測(cè)點(diǎn)實(shí)現(xiàn)較高精度的NAH重建。

為了檢驗(yàn)算法的穩(wěn)健性，在理論測(cè)量聲壓中加入了均值為0，方差為的白噪聲，模擬實(shí)際測(cè)量陣列系統(tǒng)中存在的各種噪聲和誤差。表3列出了加入高斯白噪聲后，信噪比為10 dB時(shí)，4種激勵(lì)頻率下的插值誤差、理論值重建誤差、插值后重建誤差和未插值的重建誤差。

對(duì)比表1和3的結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，基于聲壓聲輻射模態(tài)的插值技術(shù)不會(huì)將誤差放大，插值后的重建面上的振速重建精度仍然獲得了顯著的提高。因此證明本文方法在存在測(cè)量噪聲的條件下也可取得較好效果，尤其是在中高頻段具有較好的噪聲魯棒性，可以應(yīng)用到實(shí)際的工程中。

3 音箱實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

實(shí)驗(yàn)是在空曠的廠房中完成的，圖9（a）所示為實(shí)驗(yàn)示意圖。整個(gè)實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)由音箱聲源、信號(hào)發(fā)生器、信號(hào)采集裝置等部分組成。實(shí)驗(yàn)測(cè)量采集裝置以NI公司的PXI為平臺(tái)，傳聲器采用聲望公司的MPA416陣列傳聲器，數(shù)據(jù)采集卡采用NI的PXI?4498模塊，是一款專為高通道數(shù)的聲音和振動(dòng)應(yīng)用而設(shè)計(jì)的高精度數(shù)據(jù)采集模塊，運(yùn)動(dòng)控制卡采用包括16位精確度的8通道模擬輸入和64位的數(shù)字輸出的NI的PXI?7350模塊，平面聲學(xué)掃描裝置為船舶振動(dòng)噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室自行設(shè)計(jì)，如圖9（b）所示。實(shí)驗(yàn)中，由pulse軟件設(shè)置信號(hào)頻率分別為50，100和200?Hz，經(jīng)數(shù)據(jù)采集儀產(chǎn)生、功率放大器處理后傳輸?shù)揭粝涫怪l(fā)聲。在不失真的情況下，盡量增大音箱的聲壓強(qiáng)度。聲場(chǎng)中布置的參考傳聲器保持不動(dòng)，傳聲器陣列上的11個(gè)測(cè)量傳感器陣列沿著滑軌在全息面橫向網(wǎng)格上逐次測(cè)量，為保證測(cè)點(diǎn)不受移動(dòng)過(guò)程中產(chǎn)生的輕微晃動(dòng)對(duì)測(cè)量準(zhǔn)確性的影響，測(cè)量傳感器在到達(dá)測(cè)點(diǎn)位置處停留5 s后開(kāi)始測(cè)量。采樣頻率為2048 Hz，每次采樣時(shí)長(zhǎng)為5 s，各個(gè)測(cè)點(diǎn)復(fù)聲壓利用單參考源傳遞函數(shù)法計(jì)算得到。全息面大小為60 cm（x向，即水平方向）×50 cm（y向，即垂直方向），測(cè)量網(wǎng)格點(diǎn)數(shù)為13×11，兩個(gè)方向上的傳聲器之間的間距均為5 cm，參考傳聲器的數(shù)目為3個(gè)，其中兩個(gè)分別貼近音箱紙盆，另一個(gè)布置在線陣架后中央，全息面距離音箱紙盆7 cm，既保證可以獲得足夠的聲壓信息，又可以減少噪聲的干擾。取重建源面的面積與全息面相等，從測(cè)量的聲壓數(shù)據(jù)中間隔一個(gè)傳聲器均勻抽取出7×6個(gè)數(shù)據(jù)作為插值前的全息面測(cè)量數(shù)據(jù)，利用本文方法對(duì)全息面進(jìn)行插值。

圖10（a），11（a）和12（a）分別為聲音頻率為100 Hz時(shí)，未插值時(shí)全息面上的測(cè)量值，插值后全息面上的測(cè)量值，全息面上的實(shí)際測(cè)量值。對(duì)比圖10（a）和12（a）可以發(fā)現(xiàn)未插值的全息面因?yàn)閭髀暺鞯拈g隔較大丟失了大量的空間細(xì)節(jié)信息;對(duì)比圖11（a）和12（a）可以發(fā)現(xiàn)利用本文插值方法得到的全息面測(cè)量值部分恢復(fù)了因?yàn)閭髀暺鏖g隔過(guò)大而丟失的空間細(xì)節(jié)信息，插值后的全息面聲壓值與實(shí)際測(cè)量值相比插值誤差為15.26%。50 Hz時(shí)的插值誤差為19.90%，200 Hz時(shí)的插值誤差為11.08%。由于實(shí)驗(yàn)條件限制，不可避免地受到干擾噪聲的影響，如在消聲室條件下，插值誤差應(yīng)該可以更小。

圖10（b），11（b）和12（b）分別為聲音頻率為100?Hz時(shí)，未插值的源面重建法向振速，插值后源面重建法向振速和實(shí)際測(cè)量值重建的源面法向振速，對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)：利用未插值的全息面聲壓數(shù)據(jù)重建無(wú)法識(shí)別出兩個(gè)音箱的位置，而利用插值后的全息面聲壓數(shù)據(jù)可以清楚地識(shí)別出兩個(gè)音箱的位置，與實(shí)際音箱位置一致，在幅值上也與實(shí)際測(cè)量值的重建結(jié)果基本一致，誤差為25.92%。在其他幾個(gè)頻率的實(shí)驗(yàn)結(jié)果與100?Hz時(shí)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相類似，音箱實(shí)驗(yàn)說(shuō)明了本文方法在實(shí)際噪聲源識(shí)別中有效性和可行性。

4 結(jié)? 論

將頻域聲壓聲輻射模態(tài)轉(zhuǎn)換到波數(shù)域后，研究發(fā)現(xiàn)聲壓聲輻射模態(tài)具有空間濾波特性，且在中低頻用聲壓聲輻射模態(tài)疊加形式表示的全息面聲壓具有較好的收斂性，頻率越低收斂性越好，即利用前幾階的模態(tài)疊加就能達(dá)到很高的精度。利用聲壓聲輻射模態(tài)在波數(shù)域的濾波特性，提出了一種基于聲壓聲輻射模態(tài)的全息面插值算法。該算法可利用較少的實(shí)際測(cè)量聲壓數(shù)據(jù)通過(guò)全息插值有效提高重建源面法向振速的重建精度和分辨率，并可簡(jiǎn)化測(cè)量過(guò)程，節(jié)約測(cè)量成本。研究表明該算法在滿足采樣定理?xiàng)l件下，插值誤差非常小，重建精度和分辨率與理論重建相當(dāng);在違反采樣定理?xiàng)l件下，雖然插值誤差增大，但其重建精度與理論重建精度相比下降不是太多，遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于插值前的重建精度和分辨率。矩形平板仿真結(jié)果表明了該方法的有效性，音箱實(shí)驗(yàn)表明了該方法在實(shí)際工程應(yīng)用中的可行性。該算法只需要全息面的部分聲壓信息，不需要源的先驗(yàn)信息和處理虛擬源等問(wèn)題，原理簡(jiǎn)單，計(jì)算方便，更適用于實(shí)際的工程應(yīng)用。

致謝? 感謝船舶振動(dòng)噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室在實(shí)驗(yàn)場(chǎng)所和器材上給予的保障，感謝毛榮富博士在實(shí)驗(yàn)方面給予的指導(dǎo)，感謝郭亮和蘇俊博在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中給予的幫助。

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Abstract： Under condition of a small amount of measured pressure data， to solve the problem of low structure surface normal velocity reconstruction accuracy and resolution or even reconstruction failure using near field acoustic holography technology， a holographic surface interpolation algorithm based on the acoustic radiation modes that can effectively improve the structure normal velocity reconstruction accuracy and resolution is proposed. Firstly， the acoustic radiation modal vectors of holographic surface are calculated; Then， according to the convergence of pressure acoustic radiation modes， the least square solution or Tikhonov regularization solution of the truncated expansion coefficient of pressure radiation modes is obtained， and the pressure values of the interpolated point can be calculated; Finally， the structure surface normal velocity is reconstructed by the interpolated hologram data. Both the simple supported plate simulation and the speaker experiment show that the proposed method can effectively improve the reconstruction accuracy and resolution of the normal velocity of the structure surface with a small quantity of known pressure values， and the effectiveness of the proposed method is verified. Meanwhile， the feasibility of the method is verified by the speaker experiment.

Key words： pressure acoustic radiation modes; near-field holography; reconstruction accuracy; interpolation

作者簡(jiǎn)介： 聶永發(fā)（1978?），男，博士后，工程師。電話：13591749733;E-mail：Yongfnie@163.com