張玉新，丁恒飛

(天水師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,甘肅 天水 741001)

從中學(xué)跨入大學(xué)校門,大多數(shù)學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)感到壓力巨大，學(xué)不懂,從而導(dǎo)致學(xué)習(xí)的積極性不高,甚至產(chǎn)生轉(zhuǎn)專業(yè),厭學(xué)和退學(xué)的情況.這是因?yàn)榇髮W(xué)階段的數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)所需要的方法和思維方式與中學(xué)截然不同,跨度很大，其難度有質(zhì)的飛越.大學(xué)階段的數(shù)學(xué)課程其特點(diǎn)是知識結(jié)構(gòu)與體系完整,推理嚴(yán)密.在通常的教學(xué)過程中,由于受傳統(tǒng)教學(xué)方式，課時(shí)及其教師水平與層次,教材編寫和考試考核方式的影響,教師對數(shù)學(xué)概念的來龍去脈、思想和方法的形成過程以及數(shù)學(xué)教學(xué)中體現(xiàn)數(shù)學(xué)文化元素成份的內(nèi)容重視程度不高,只是一味地給學(xué)生灌輸數(shù)學(xué)概念和定理,重點(diǎn)關(guān)注理論性的結(jié)果.《數(shù)學(xué)分析》是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的專業(yè)核心基礎(chǔ)課,是學(xué)習(xí)《常微分方程》《復(fù)變函數(shù)》《實(shí)變函數(shù)》與《泛函分析》等后繼課程的基礎(chǔ)，學(xué)生一入學(xué)就接觸這門課程,且課程開設(shè)的時(shí)間最長,一般達(dá)到三學(xué)期.如果教師能在《數(shù)學(xué)分析》課程的教學(xué)過程中,以數(shù)學(xué)文化為背景和驅(qū)動,穿插一些數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)思想與方法、數(shù)學(xué)模型等數(shù)學(xué)文化的元素,可以提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和課堂教學(xué)效果,使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)的內(nèi)涵、本質(zhì)和價(jià)值,有助于學(xué)生數(shù)學(xué)技能和人文素質(zhì)的養(yǎng)成.

1 數(shù)學(xué)文化的含義

20世紀(jì)60年代,美國學(xué)者懷爾德[1]首次提出了“數(shù)學(xué)是一種文化”的觀點(diǎn),之后在國內(nèi)外掀起了對數(shù)學(xué)文化進(jìn)行討論和研究的熱潮.1980年,紐約大學(xué)庫朗數(shù)學(xué)研究所教授莫里斯·克萊因在《西方文化中的數(shù)學(xué)》一書自序中寫道：“在西方文明中,數(shù)學(xué)一直是一種主要的文化力量.幾乎每個(gè)人都知道,數(shù)學(xué)在工程設(shè)計(jì)中具有極其重要的實(shí)用價(jià)值.最為重要的是,作為一種寶貴的、無可比擬的人類成就,數(shù)學(xué)在使人賞心悅目和提供審美價(jià)值方面,至少可與其他任何一種文化門類相媲美”[2].2005年,著名的數(shù)學(xué)家李大潛院士在《大學(xué)數(shù)學(xué)》課程報(bào)告論壇上,曾指出：“數(shù)學(xué)是一種先進(jìn)的文化,是人類文明的重要基礎(chǔ).它的產(chǎn)生和發(fā)展在人類文明的進(jìn)程中起著重要的推動作用,占有舉足輕重的地位”[3].隨后,眾多的學(xué)者提出了數(shù)學(xué)文化的含義,如黃秦安先生對數(shù)學(xué)文化的理解為：“以數(shù)學(xué)科學(xué)為核心, 以數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、內(nèi)容等所輻射的相關(guān)文化領(lǐng)域?yàn)橛袡C(jī)組成部分的一個(gè)具有特定功能的動態(tài)系統(tǒng)”[4].南開大學(xué)著名學(xué)者顧沛老師則對數(shù)學(xué)文化作了更為詳細(xì)的闡述：數(shù)學(xué)文化是指數(shù)學(xué)思想、精神、方法、觀點(diǎn),以及他們的形成和發(fā)展.更廣泛地說,除上述內(nèi)涵外,還包含數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)教育、數(shù)學(xué)發(fā)展中的人文成分、數(shù)學(xué)與社會的聯(lián)系、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系等等[5].盡管對數(shù)學(xué)文化的描述和理解不盡相同,但將數(shù)學(xué)作為一種文化已成為當(dāng)下數(shù)學(xué)界同仁達(dá)成的共識.

通過以上學(xué)者和專家對數(shù)學(xué)文化的闡述,可以深刻認(rèn)識到數(shù)學(xué)文化有廣義與狹義之分.從廣義方面來講, 數(shù)學(xué)文化指的是數(shù)學(xué)家、教育家以及在數(shù)學(xué)發(fā)展過程中所有的人文成分,數(shù)學(xué)同各個(gè)文化之間的關(guān)系.從狹義方面來講,數(shù)學(xué)文化就是指數(shù)學(xué)中所蘊(yùn)含的思想、精神以及方法[6].相對于數(shù)學(xué)知識而言,數(shù)學(xué)文化所包含的內(nèi)容更加豐富,內(nèi)涵更加深刻,它是對數(shù)學(xué)知識與思想,數(shù)學(xué)能力與素質(zhì)的高度概括和體現(xiàn).

2 數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化的重要性

2.1 可以激發(fā)學(xué)生進(jìn)取心與愛國情懷

在中學(xué)階段,由于高考“指揮棒”的作用,學(xué)生的主要目標(biāo)是高考,高考考什么學(xué)生就學(xué)習(xí)什么,學(xué)習(xí)往往是被動的.進(jìn)入大學(xué)階段,由于就業(yè)等因素的影響,學(xué)生對大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目標(biāo)是茫然的,再加上中學(xué)數(shù)學(xué)和大學(xué)數(shù)學(xué)的思維形式不同,出現(xiàn)了學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的消極態(tài)度.如果在《數(shù)學(xué)分析》教學(xué)中,教師在課堂中適當(dāng)引入一些著名數(shù)學(xué)家故事,介紹他們在遇到一些棘手問題時(shí),是如何面對和解決的,這樣可以增強(qiáng)學(xué)生克服困難的決心和信心,進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情.比如著名數(shù)學(xué)家張益唐,他在2013年第一次成功證明了弱版本的孿生素?cái)?shù)猜想.張益唐是真的能潛下心來搞科研的人，作出巨大數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)的他已接近60歲,之前只是個(gè)默默無聞的講師,為潛心研究數(shù)學(xué),他幾乎把自己與世隔絕,他妹妹曾在網(wǎng)上發(fā)尋人啟事尋找哥哥.此外,在講數(shù)列極限這一節(jié),會提到《莊子——天下篇》中一句話“一尺之錘,日取其半,萬世不竭”[7],這就是極限概念的雛形,可見中國古代思想家的智慧.再進(jìn)一步聯(lián)想到現(xiàn)當(dāng)代著名數(shù)學(xué)家陳省身先生,他晚年致力于推進(jìn)中國數(shù)學(xué)的發(fā)展,在母校南開大學(xué)創(chuàng)立了陳省身數(shù)學(xué)研究所,并于2002年促成了四年一度的國際數(shù)學(xué)家大會在中國北京召開(系首次在發(fā)展中國家召開).陳先生培養(yǎng)了包括廖山濤、吳文俊、丘成桐、鄭紹遠(yuǎn),李偉光等一大批著名的數(shù)學(xué)家.其中,丘成桐是取得國際數(shù)學(xué)聯(lián)盟菲爾茲獎的第一個(gè)華人,也是繼陳省身之后第二個(gè)獲沃爾夫獎的華人.通過這些真實(shí)的例子可以很好地激發(fā)學(xué)生的愛國情懷，增強(qiáng)民族自信心.

2.2 可以提高教師自身數(shù)學(xué)文化素養(yǎng)

“教師要有一桶水,才能給學(xué)生一碗水”,這是教育界的一句傳統(tǒng)名言.隨著社會的進(jìn)步和科技的發(fā)展,高等教育也在飛速發(fā)展,如果僅僅停留在一碗水與一桶水上,已不能適應(yīng)社會和高等教育發(fā)展的需求.如今的教育,如今的教師,如果只追求“一桶水”,顯然已經(jīng)不行,現(xiàn)在已經(jīng)到了“教師要有一桶水,還應(yīng)指給學(xué)生一條河；教師就是一條河,要引導(dǎo)學(xué)生奔大海”的這種態(tài)勢.教師必須追求和提高自己的專業(yè)發(fā)展,教師之“水”應(yīng)該是一條溪流,一條能有泉水不斷補(bǔ)充進(jìn)來的孜孜不倦的溪流.如果要在教學(xué)活動過程中融入數(shù)學(xué)文化的成分,必須提前對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行選取,了解哪些數(shù)學(xué)知識蘊(yùn)藏豐富的數(shù)學(xué)文化,哪些數(shù)學(xué)知識蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)價(jià)值觀,哪些數(shù)學(xué)知識能夠具備文化傳遞功能,通過這種思考和學(xué)習(xí),教師自身的文化素養(yǎng)一定會提高.

2.3 可以培養(yǎng)學(xué)生的探索與創(chuàng)新能力

探索和創(chuàng)新能力是民族進(jìn)步的靈魂、經(jīng)濟(jì)競爭的核心.當(dāng)今社會的競爭,與其說是人才的競爭,不如說是人的創(chuàng)造力的競爭.在科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展的今天,創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力越來越成為一個(gè)國家國際競爭力和國際地位的最重要的決定因素.當(dāng)代大學(xué)生作為人類歷史文化傳承和發(fā)揚(yáng)的主要群體,培養(yǎng)他們的探索精神和創(chuàng)新能力是非常有必要的.比如在《數(shù)學(xué)分析》課程教學(xué)過程中,講到微積分時(shí),適當(dāng)引入分?jǐn)?shù)階微積分,引導(dǎo)學(xué)生會查閱資料,進(jìn)一步分析它們的異同,可以得到一些有用的結(jié)論.再比如講到Gamma函數(shù)時(shí),引導(dǎo)學(xué)生探索它的一些基本性質(zhì)及其相關(guān)等式,并能做進(jìn)一步證明,如果能成功證明一些,這樣會增強(qiáng)學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心,慢慢也會培養(yǎng)學(xué)生的探索與創(chuàng)新能力.

3 教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化的方式與策略

3.1 在課堂中引入相關(guān)的數(shù)學(xué)史知識

《數(shù)學(xué)分析》課程中數(shù)學(xué)術(shù)語繁多,大多都有相關(guān)的歷史背景.比如對于微積分一詞,可以引入它的發(fā)展歷程.公元前3世紀(jì),古希臘的數(shù)學(xué)家、力學(xué)家阿基米德在研究解決拋物線下的弓形面積、球和球冠面積、螺線下的面積和旋轉(zhuǎn)雙曲線所得的體積問題中就隱含著近代積分的思想.公元前7世紀(jì),古希臘科學(xué)家、哲學(xué)家泰勒斯在對球的面積、體積和長度等問題的研究中也蘊(yùn)含有微積分思想.中國古代數(shù)學(xué)家,三國時(shí)期的劉徽曾在割圓術(shù)及求體積問題的設(shè)想中也產(chǎn)生過積分學(xué)的萌芽思想.到了17世紀(jì),許多著名的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、物理學(xué)家,如法國的費(fèi)馬、笛卡爾、羅伯瓦、笛沙格，英國的巴羅、瓦里士，德國的開普勒，意大利的卡瓦列利為解決實(shí)際問題需要,也產(chǎn)生了微積分的思想,為微積分的創(chuàng)立做出了貢獻(xiàn).17世紀(jì)下半葉,在前人工作的基礎(chǔ)上,英國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家牛頓與德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨分別獨(dú)自完成了微積分的初步創(chuàng)立工作，他們的最大功績是把兩個(gè)貌似毫不相關(guān)的問題：切線問題(微分學(xué)的中心問題)和求積問題(積分學(xué)的中心問題)緊密聯(lián)系在一起.

歷史上,關(guān)于微積分的成果歸屬和優(yōu)先權(quán)問題,曾在數(shù)學(xué)界引起了一場長時(shí)間的大爭論.這場爭論的重要性不在于誰勝誰負(fù)的問題,而是使數(shù)學(xué)家分成兩派.一派是英國數(shù)學(xué)家,捍衛(wèi)牛頓；另一派是歐洲大陸數(shù)學(xué)家,尤其是伯努利兄弟,支持萊布尼茨.兩派相互對立甚至敵對.后經(jīng)查證表明,雖然牛頓工作的大部分是在萊布尼茲之前做的,但是,萊布尼茲是微積分主要思想的獨(dú)立發(fā)明人[8].直到19世紀(jì)初,法國科學(xué)學(xué)院的科學(xué)家以柯西為首,對微積分的理論進(jìn)行了認(rèn)真研究,建立了極限理論.后來又經(jīng)過德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯進(jìn)一步地嚴(yán)格化,使極限理論成為了微積分的堅(jiān)定基礎(chǔ),才使微積分進(jìn)一步的發(fā)展壯大.引入這些數(shù)學(xué)史知識,不僅提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,也對學(xué)生的人文素養(yǎng)的提高大有裨益.

3.2 用數(shù)學(xué)方法去解決實(shí)際問題

在課堂中引入一些實(shí)際的問題,嘗試用數(shù)學(xué)的方法去解決,這樣既可以增強(qiáng)學(xué)生的動手能力,又可以激發(fā)他們對數(shù)學(xué)產(chǎn)生濃厚的興趣.比如有這樣一道實(shí)際問題：

例1一無人機(jī)在海拔高度為3 km的高空,以200 km/h的速度水平飛行到天水南郭寺景區(qū)上空進(jìn)行風(fēng)景攝影(景區(qū)內(nèi)海拔高度在1.2～1.7 km之間),試求該無人機(jī)至景區(qū)上空時(shí)攝影機(jī)轉(zhuǎn)動的角速度.

在學(xué)完函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其相關(guān)變化率之后,問題可以迎刃而解.下面給出詳細(xì)過程：假設(shè)無人機(jī)與景區(qū)正上空水平距離為x(km),OA與OB之間的夾角為θ，如圖1所示.

圖1 例1示意圖

則

且角速度為

因此，無人機(jī)飛至景區(qū)上空時(shí)角速度為

3.3 將哲學(xué)觀點(diǎn)“特殊與一般”貫穿在課堂

哲學(xué)中特殊與一般是相對的概念和范疇,它們具有辯證統(tǒng)一的關(guān)系.從唯物主義的角度來講,事物的一般與特殊是客觀存在的,均為現(xiàn)實(shí)世界中事物與現(xiàn)象所固有的.從認(rèn)識論的角度來講,認(rèn)識任何事物,不僅要認(rèn)識它的普遍性,同時(shí)還要重視其特殊性.實(shí)際上,任何事物都是共性與個(gè)性的統(tǒng)一體.《數(shù)學(xué)分析》的教學(xué)過程中,教師要充分挖掘課本中蘊(yùn)含的哲學(xué)觀點(diǎn)“特殊與一般”的數(shù)學(xué)內(nèi)容,如果能將其貫穿在課堂的過程中,不僅能讓學(xué)生加深對數(shù)學(xué)概念的理解,還能將他們的認(rèn)識提高到一個(gè)更高的層次,拓寬了知識面,也培養(yǎng)了良好的思考習(xí)慣.

下面通過兩個(gè)例子來說明課堂中如何體現(xiàn)“特殊與一般”這種哲學(xué)觀點(diǎn)的數(shù)學(xué)素材.

例2比如在講Gamma函數(shù)時(shí),得到其具有如下遞推性質(zhì)：

Γ(s+1)=sΓ(s)=s(s-1)…(s-n)Γ(s-n).

如果s取正整數(shù)n+1,則上式變?yōu)?/p>

由此就會發(fā)現(xiàn),Gamma函數(shù)實(shí)際上就是階乘的推廣.

例3比如在講函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí),由一階公式：

二階公式：

再結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法,得到函數(shù)f(x)的高階導(dǎo)數(shù)公式：

如果將自然數(shù)n推廣到一般的正實(shí)數(shù)α,就得到如下左Grunwall-Liouvill分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)[9]：

如果利用向前差分,也可以類似得到右Grunwall-Liouvill分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義,這就說明分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)就是一般的整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的推廣和延伸.再進(jìn)一步，可以告訴同學(xué)們分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)能夠?qū)?fù)雜環(huán)境中所涉及的歷史記憶性和空間全域相關(guān)性等反?，F(xiàn)象提供更為深刻全面的闡釋,由它發(fā)展起來的分?jǐn)?shù)階微分方程成為描述各類復(fù)雜力學(xué)與物理行為的重要工具之一,已經(jīng)受到越來越多學(xué)者的關(guān)注.若以以上的例子為切入點(diǎn),可以使學(xué)生接觸到當(dāng)代數(shù)學(xué)的前沿理論和研究的熱點(diǎn)問題,從而拓寬了學(xué)生的知識面,提高了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的能力.

3.4 巧將某些數(shù)學(xué)概念和古詩詞相聯(lián)系

文學(xué)側(cè)重于形象思維,而數(shù)學(xué)更側(cè)重于邏輯思維,前者是感性的代表,而后者是理性的代表.文學(xué)與數(shù)學(xué)之間的關(guān)系就像太極八卦圖,感性和理性之間需要達(dá)到均衡.因此,在《數(shù)學(xué)分析》的教學(xué)過程中,如果能將文學(xué)的成分融入課堂,不僅能加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的記憶和理解,增強(qiáng)學(xué)習(xí)的趣味性和主動性,而且利于塑造健全的人格和品行.下面通過兩個(gè)例子來說明如何巧妙地將古詩詞和一些數(shù)學(xué)概念相結(jié)合.

一片兩片三四片,五六七八九十片,千片萬片無數(shù)片,飛入梅花總不見.

這里用n代表雪花的數(shù)量,用求和表示雪花在飛入梅花的過程,最后的結(jié)果+∞則體現(xiàn)的是雪花最終消融的結(jié)局.

例5在講到整數(shù)階導(dǎo)數(shù)時(shí),可以通過引導(dǎo)學(xué)生查閱相關(guān)資料,歸納出分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)常見的一些定義,如選取如下的左右Riemann-Liouville 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)[9]：

而這也可以和唐代文學(xué)家、詩人,初唐詩文革新代表人物陳子昂的名作《登幽州臺歌》：“前不見古人,后不見來者.念天地之悠悠,獨(dú)愴然而涕下”相聯(lián)系.若以x代表當(dāng)前的時(shí)間節(jié)點(diǎn),則左Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)的積分區(qū)間(-∞,x]，可以對應(yīng)“前不見古人”這句,而右Riemann-Liouville導(dǎo)數(shù)積分區(qū)間[x,+∞)，可以對應(yīng)“后不見來者”這句.

4 結(jié)語

《數(shù)學(xué)分析》是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的核心基礎(chǔ)課程,數(shù)學(xué)概念抽象且技巧性強(qiáng),使得學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中很難適應(yīng).而對于肩負(fù)人類歷史繼承和文化傳承的當(dāng)代大學(xué)生來說,從大學(xué)一年級的《數(shù)學(xué)分析》課程中就融入數(shù)學(xué)文化,不僅能開闊他們的視野,讓他們感悟數(shù)學(xué)的魅力,領(lǐng)會數(shù)學(xué)的思想,提高學(xué)習(xí)的積極性,而且可以造就他們開拓進(jìn)取、求真務(wù)實(shí)的創(chuàng)新精神和良好品格,適應(yīng)時(shí)代發(fā)展,實(shí)現(xiàn)自身價(jià)值.