利用速度相圖法求解多次連續(xù)碰撞問(wèn)題

李開(kāi)瑋

(廣東理工學(xué)院 工業(yè)自動(dòng)化系，廣東 肇慶 526100)

在彈性碰撞問(wèn)題中，一般遵循動(dòng)量守恒和能量守恒，該類問(wèn)題目前已有許多解法和討論[1-3]，而在某些情況下，兩物體甚至?xí)l(fā)生多次連續(xù)碰撞，極大地增加了問(wèn)題的復(fù)雜程度.兩物體發(fā)生多次碰撞的問(wèn)題一般可以分為兩類：1)求解結(jié)束碰撞后，兩物體的速度；2)求總碰撞次數(shù).對(duì)這類問(wèn)題若采用代數(shù)計(jì)算的方法，需要對(duì)每次碰撞應(yīng)用動(dòng)量守恒和能量守恒列方程組，而且要根據(jù)兩物體速度判斷后一次碰撞是否能夠發(fā)生，過(guò)程復(fù)雜，計(jì)算繁瑣，易忽略細(xì)節(jié)導(dǎo)致出錯(cuò).學(xué)生在解答該類問(wèn)題時(shí)常有錯(cuò)誤.2003年G.Galperin利用坐標(biāo)相空間的方法講述了兩滑塊發(fā)生多次連續(xù)碰撞時(shí)，當(dāng)滑塊質(zhì)量之比滿足100N時(shí)，碰撞次數(shù)與圓周率有趣巧合的現(xiàn)象[4].更進(jìn)一步，文獻(xiàn)[5]采用速度相圖的角度也分析了這個(gè)現(xiàn)象，得到結(jié)果與G.Galperin一致.本文從另一個(gè)角度深入討論連續(xù)碰撞的問(wèn)題：當(dāng)兩滑塊碰撞次數(shù)確定時(shí)，滑塊應(yīng)滿足什么條件，碰撞結(jié)束后，兩滑塊的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)又如何？通過(guò)采用速度相圖的方法，畫(huà)出了兩物體的速度矢量軌跡，對(duì)軌跡跟蹤并結(jié)合圓的幾何特點(diǎn)，不僅得到滑塊應(yīng)滿足的條件，也得到了結(jié)束碰撞后兩物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，兩物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程清晰直觀，計(jì)算簡(jiǎn)化.接下來(lái)以一道具體問(wèn)題的分析來(lái)詳述這一方法.

1 問(wèn)題

如圖1所示，質(zhì)量為m2的光滑斜面放在光滑水平面上，一個(gè)質(zhì)量為m1的小球從斜面上h高度處自由下滑，水平面的右端有一固定彈簧，求小球與彈簧只發(fā)生n次相互作用，m1/m2應(yīng)滿足的條件？

圖1 示意圖

分析：初始時(shí)，小球沿斜面下滑，斜面向左運(yùn)動(dòng)，兩者在水平方向動(dòng)量守恒，當(dāng)小球滑到斜面底端，小球與斜面動(dòng)能之和為m1gh，隨后小球向右運(yùn)動(dòng)與彈簧第1次發(fā)生作用，之后小球離開(kāi)彈簧向左運(yùn)動(dòng),若小球速率大于斜面滑動(dòng)速率，小球?qū)_上斜面，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間又滑落斜面，若滑落斜面時(shí)小球速度方向向右，小球能與彈簧發(fā)生第2次作用，之后與前面過(guò)程類似，若滿足條件,將與彈簧發(fā)生第3、4、5……次作用.

根據(jù)以上運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析，小球只與彈簧發(fā)生n次相互作用的條件是：1)前n-1次均能與彈簧發(fā)生作用；2)第n-1次作用后，小球向左運(yùn)動(dòng)速率大于斜面的速率，且小球沖上斜面再滑落斜面后，小球速度向右；3)小球不與彈簧發(fā)生第n+1次作用，其條件為：第n次作用后，小球向左運(yùn)動(dòng)速率小于等于斜面的速率，或者小球沖上斜面再滑落斜面時(shí)，小球靜

止或速度仍向左.

通過(guò)以上分析，若該問(wèn)題采用一般方法計(jì)算，則在每次小球與彈簧作用后，需對(duì)小球與斜面相對(duì)運(yùn)動(dòng)列出動(dòng)量守恒與能量守恒的方程組，解出兩物體速度，判斷小球是否能與彈簧發(fā)生下一次作用，其計(jì)算十分復(fù)雜.接下來(lái)我們采用速度相圖法求解該問(wèn)題.

2 速度相圖法求解

以水平向右為速度正方向，設(shè)m1與m2速度分別為u、v，小球每次向左沖上斜面，之后又滑落斜面，這個(gè)過(guò)程中小球與斜面組成的系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒.另外由于小球與彈簧作用后未損失動(dòng)能，故小球沖上斜面前與小球滑落斜面后，小球與斜面動(dòng)能之和均為m1gh.故有

(1)

圖2 速度相圖軌跡跟蹤

初始時(shí)刻小球與斜面均靜止，故速度矢量位于圖中O點(diǎn)，當(dāng)小球到達(dá)水平面時(shí)，小球速度向右，斜面速度向左，矢量移動(dòng)到A點(diǎn)，根據(jù)式(1)第一個(gè)式子可知直線OA斜率為

(2)

(3)

(4)

因此小球與彈簧發(fā)生第2次作用，需同時(shí)滿足條件式(3)、式(4)，而式(4)是式(3)的子集，因此只需滿足條件(4)即可.接下來(lái)依此類推，小球與彈簧發(fā)生第n次作用的條件為

(5)

當(dāng)n>2，式(5)為式(4)的子集，因此式(5)能保證前n-1次碰撞發(fā)生.

小球不與彈簧發(fā)生第n+1次作用的條件分為兩種情形：

1)第n次作用后，小球不能沖上斜面，應(yīng)滿足條件：

(6)

2)小球沖上斜面，之后再滑下斜面時(shí)小球速度向左，應(yīng)滿足條件：

(7)

由式(6)、式(7)可得

(8)

由式(5)、式(8)可得，小球只與彈簧發(fā)生n次作用條件為

(9)

(10)

根據(jù)上文小球不與彈簧發(fā)生第n+1次作用有兩種情形.若第n次作用后，小球不能沖上斜面，則速度矢量與豎直負(fù)半軸夾角為θ+(n-1)2θ，速度矢量為

(11)

(12)

3 結(jié)語(yǔ)