符號(hào)意識(shí)觀點(diǎn)下七年級(jí)學(xué)生非負(fù)數(shù)認(rèn)知的易錯(cuò)點(diǎn)及對(duì)策

廖怡寧 韋宏 鄧清

【摘 要】符號(hào)意識(shí)是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中的核心概念之一，培養(yǎng)符號(hào)意識(shí)有助于學(xué)生抽象概括能力和邏輯思維的發(fā)展。七年級(jí)非負(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)中，部分學(xué)生對(duì)符號(hào)本質(zhì)的理解不透徹，存在用字母表示正數(shù)的思維慣性，對(duì)復(fù)雜問題情境的表征能力較弱，在非負(fù)數(shù)的解題中容易出錯(cuò)。本文分析學(xué)生的易錯(cuò)點(diǎn)，從“引入符號(hào)史”“關(guān)注概念形成”“提高表征能力”三個(gè)維度給出對(duì)策，以期更好地利用數(shù)學(xué)符號(hào)演變發(fā)展深化學(xué)生對(duì)非負(fù)數(shù)的理解，提高學(xué)生的解題能力。

【關(guān)鍵詞】符號(hào)意識(shí);七年級(jí);非負(fù)數(shù)

【中圖分類號(hào)】G633.6 ?【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A ?【文章編號(hào)】1671-8437（2021）10-0250-02

“符號(hào)意識(shí)”是一個(gè)核心概念，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出，培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，有助于學(xué)生對(duì)符號(hào)的意義、算法進(jìn)行理解，并能用較為簡(jiǎn)潔、清晰、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)符號(hào)來對(duì)其數(shù)學(xué)思想進(jìn)行表達(dá)[1]。符號(hào)意識(shí)是指學(xué)習(xí)者在思維的引導(dǎo)下，積極主動(dòng)地對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)符號(hào)之間的抽象關(guān)系進(jìn)行認(rèn)知的心理活動(dòng)。張奠宙教授認(rèn)為“symbol sense”的實(shí)質(zhì)是數(shù)量意識(shí)和符號(hào)意識(shí)，即學(xué)生在學(xué)習(xí)中運(yùn)用數(shù)量的意識(shí)，進(jìn)一步對(duì)事物發(fā)展的數(shù)量規(guī)律進(jìn)行觀察，且善于用符號(hào)來表示和運(yùn)

算[2]。朱立明教授指出，學(xué)生不僅要經(jīng)歷用數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算和推理的過程，還需明白運(yùn)算和推理背后所蘊(yùn)含的道理，這就要求在數(shù)學(xué)課程中形成學(xué)生的數(shù)學(xué)符號(hào)意

識(shí)[3]。根據(jù)奧蘇泊爾有意義學(xué)習(xí)理論，學(xué)生對(duì)符號(hào)所代表的新知進(jìn)行同化需要從已有的認(rèn)知出發(fā)，構(gòu)建新舊知之間的聯(lián)系。符號(hào)意識(shí)的發(fā)展，是學(xué)生長(zhǎng)期的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)積累的結(jié)果，與學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展和學(xué)習(xí)情境有著密不可分的聯(lián)系。因此，培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)，有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)理解力。

1 ? 滲透符號(hào)思想，培養(yǎng)符號(hào)意識(shí)

非負(fù)數(shù)是指在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，包含著所有的正數(shù)和零。七年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)的非負(fù)數(shù)有絕對(duì)值、算術(shù)平方根、平方數(shù)等表現(xiàn)形式。絕對(duì)值是指若 a 為任意實(shí)數(shù)，其中正數(shù)的絕對(duì)值是其本身，零的絕對(duì)值是零，負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是其相反數(shù)。在解決絕對(duì)值問題時(shí)，易錯(cuò)點(diǎn)集中在去絕對(duì)值符號(hào)時(shí)，學(xué)生未全面考慮字母的取值，究其原因，是學(xué)生對(duì)絕對(duì)值符號(hào)表示的意義存在理解偏差，從而影響學(xué)生系統(tǒng)有序地解決問題。算術(shù)平方根指在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，若a是一個(gè)非負(fù)數(shù) x 的平方，即 x2=a ，那么 x 是 a 的算術(shù)平方根。根號(hào)中被開方數(shù) a 是非負(fù)的，其算術(shù)平方根也是非負(fù)的，可表示為a ≥ 0。而在求解時(shí)，由于對(duì)根號(hào)所表示的深層意義理解不透徹，即算術(shù)平方根的雙重非負(fù)性（a ≥ 0），學(xué)生僅理解算術(shù)平方根的表層意義，在千變?nèi)f化的應(yīng)用情境中易出現(xiàn)解題錯(cuò)誤。平方數(shù)是指可以寫成某個(gè)整數(shù)的平方的數(shù)。在平方數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生易注重它的運(yùn)算操作，忽視它的表征意義。相對(duì)于小學(xué)的學(xué)習(xí)，初中學(xué)段的內(nèi)容逐漸由算術(shù)向代數(shù)過渡，對(duì)數(shù)的學(xué)習(xí)逐漸提升到一般化水平，用符號(hào)表示數(shù)也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)一般化、形式化階段的開始。對(duì)于七年級(jí)學(xué)生，由于數(shù)學(xué)符號(hào)的增加，他們常常會(huì)對(duì)抽象符號(hào)的本質(zhì)理解不透徹。因此，培養(yǎng)學(xué)生符號(hào)意識(shí)，需在非負(fù)數(shù)的教學(xué)中揭示數(shù)學(xué)符號(hào)表示的過程，幫助學(xué)生明確各個(gè)符號(hào)的內(nèi)涵。下文將基于符號(hào)意識(shí)觀點(diǎn)分析七年級(jí)學(xué)生對(duì)非負(fù)數(shù)的易錯(cuò)認(rèn)知，并給出相應(yīng)對(duì)策。

2 ? 符號(hào)意識(shí)下非負(fù)數(shù)的易錯(cuò)分析

2.1 ?對(duì)抽象符號(hào)本質(zhì)理解不徹底

在七年級(jí)非負(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)中，難點(diǎn)在于透過符號(hào)理解其所表示的相關(guān)概念與性質(zhì)。在數(shù)學(xué)符號(hào)的理解上，大部分學(xué)生僅理解符號(hào)所表示的形式意義，未能理解數(shù)學(xué)符號(hào)的本質(zhì)意義。如在求解“|?5|”“|2a|”這樣直觀的數(shù)時(shí)，學(xué)生解題思路較為清醒，但碰到如“|a?b|”、求“|2a+5|+|2a?5|”的最小值這樣含有多項(xiàng)的題時(shí)，學(xué)生無法直觀地判斷絕對(duì)值的確切值，便難以得到運(yùn)算結(jié)果。因此，當(dāng)絕對(duì)值里面是單項(xiàng)式或是多項(xiàng)式時(shí)，學(xué)生無法確定絕對(duì)值符號(hào)里復(fù)雜的數(shù)或式子仍然是表示非負(fù)的。絕對(duì)值的學(xué)習(xí)是一個(gè)從特殊到一般、由簡(jiǎn)單情境到復(fù)雜情境的過程，學(xué)生由于未能透徹理解絕對(duì)值符號(hào)的非負(fù)性本質(zhì)，在復(fù)雜情境中去絕對(duì)值符號(hào)時(shí)易出現(xiàn)錯(cuò)誤。

2.2 ?對(duì)數(shù)的具體化產(chǎn)生思維慣性

七年級(jí)學(xué)生思維正處于由小學(xué)學(xué)段的算術(shù)思維向初中學(xué)段的代數(shù)思維的過渡階段。如“?”在小學(xué)是一種運(yùn)算符號(hào)，在減法運(yùn)算中會(huì)用到。進(jìn)入七年級(jí)，有理數(shù)學(xué)習(xí)中，“?”既是運(yùn)算符號(hào)又是性質(zhì)符號(hào)。在小學(xué)學(xué)習(xí)用字母表示正數(shù)，在初中非負(fù)數(shù)學(xué)習(xí)中，則用“+”“?”進(jìn)行正負(fù)數(shù)的表示。而一些學(xué)生在頭腦中形成了用字母表示正數(shù)的思維慣性，如a是正數(shù)，?a是負(fù)數(shù)。這種思維慣性會(huì)影響學(xué)生對(duì)算術(shù)平方根的應(yīng)用，導(dǎo)致他們解題時(shí)易出錯(cuò)。

2.3 ?對(duì)復(fù)雜問題情境表征能力較弱

數(shù)學(xué)符號(hào)的學(xué)習(xí)其實(shí)是學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題情境予以表征而進(jìn)行邏輯推理，并通過運(yùn)算將符號(hào)代數(shù)式化為確定的最簡(jiǎn)結(jié)果的過程。無論是符號(hào)的推理或是符號(hào)的運(yùn)算，都是建立在數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)的基礎(chǔ)上。解決實(shí)際問題通常需同時(shí)使用數(shù)學(xué)推理和運(yùn)算。如在給定的情境中理解數(shù)學(xué)符號(hào)與指代事物的對(duì)應(yīng)性，建立對(duì)單個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)的清晰認(rèn)知，進(jìn)而得到數(shù)量關(guān)系，但一些學(xué)生遇到多個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)時(shí)容易產(chǎn)生認(rèn)知模糊。如對(duì)“|?5|”，學(xué)生都知道如何進(jìn)行運(yùn)算，但在對(duì)“|2a?b|”的值進(jìn)行計(jì)算時(shí)或者在多個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)的復(fù)雜情境中，一些學(xué)生由于問題表征能力較弱容易出錯(cuò)。

3 ? 符號(hào)意識(shí)下非負(fù)數(shù)的教學(xué)對(duì)策

3.1 ?引入符號(hào)史，加強(qiáng)概念理解

對(duì)七年級(jí)學(xué)生來說，所學(xué)的數(shù)學(xué)符號(hào)較為抽象，但是每一個(gè)數(shù)學(xué)符號(hào)都有著悠久的演變發(fā)展史，都代表著數(shù)學(xué)符號(hào)的意義和發(fā)展過程。因此，教師可在教學(xué)中引入數(shù)學(xué)符號(hào)的歷史，賦予枯燥的符號(hào)鮮活的人文歷史氣息，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情。如在課堂中引入有關(guān)符號(hào)發(fā)展演變史來介紹絕對(duì)值概念：1841年，有一位德國(guó)數(shù)學(xué)家，名為外爾斯特拉斯，用“| |”來表示“絕對(duì)值”，他是歷史上最早使用“| |”絕對(duì)值符號(hào)的人。1905年，數(shù)學(xué)家甘斯用符號(hào)“| |”表示向量的長(zhǎng)度。通過對(duì)數(shù)學(xué)概念的歷史介紹，學(xué)生能了解數(shù)學(xué)符號(hào)的發(fā)展不是一蹴而就的，而是數(shù)學(xué)家不斷分析、探索逐漸演變而來的。在此基礎(chǔ)上，教師還可引入絕對(duì)值的定義，并做出解釋，指導(dǎo)學(xué)生結(jié)合絕對(duì)值定義進(jìn)行解題。如對(duì)于“|a?b|”，先根據(jù)a、b的取值來判斷“a?b”的大小，再按照定義去絕對(duì)值符號(hào)。通過引入數(shù)學(xué)史和對(duì)概念的具體解釋，有助于深化學(xué)生對(duì)概念的理解。除此之外，符號(hào)史的引入還可通過引導(dǎo)學(xué)生利用App觀看有關(guān)專題的數(shù)學(xué)史知識(shí)、利用網(wǎng)絡(luò)搜集閱讀相關(guān)資料的形式完成，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的認(rèn)知，使學(xué)生從本質(zhì)上理解看似抽象實(shí)則簡(jiǎn)易的數(shù)學(xué)符號(hào)。

3.2 ?突破思維慣性，關(guān)注形成過程

符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)形式在小學(xué)與初中兩個(gè)階段是不同的。課程標(biāo)準(zhǔn)具有分段性，但在學(xué)生符號(hào)意識(shí)的培養(yǎng)上是連貫的。初中生的思維正處于從算術(shù)層面向代數(shù)層面轉(zhuǎn)化的過程中，而符號(hào)是區(qū)分代數(shù)與算術(shù)的主要特征。教學(xué)中，首先，要通過讓學(xué)生更充分地認(rèn)識(shí)到字母不僅可以表示0、正數(shù)、負(fù)數(shù)，還可表示含有字母的式子，打破學(xué)生頭腦中字母只代表正數(shù)的思維慣性，避免學(xué)生出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤。其次，要著眼于未來，符號(hào)是不斷演變的，要使學(xué)生感受到用字母a表示數(shù)的變化過程，經(jīng)歷用字母a代表正數(shù)到初中代表有理數(shù)、實(shí)數(shù)再到單項(xiàng)式、多項(xiàng)式的過程。在小學(xué)學(xué)段，不僅要加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)符號(hào)的理解，還需為學(xué)生創(chuàng)建符號(hào)情境，讓其在情境中感受符號(hào)、獲得符號(hào)學(xué)習(xí)體驗(yàn)。在中學(xué)階段，則需開展循序漸進(jìn)的教學(xué)，突破學(xué)生的思維慣性。

3.3 ?提高表征能力，培養(yǎng)符號(hào)意識(shí)

一些學(xué)生學(xué)習(xí)非負(fù)數(shù)時(shí)，對(duì)自己做過、教師講解過的習(xí)題能夠快速做出反應(yīng)，并有解題思路，正確解題，而對(duì)于情境陌生的習(xí)題，則難以下手。對(duì)此，教師需要引導(dǎo)學(xué)生自主探究解題思路，使學(xué)生在梳理解題思路的過程中學(xué)會(huì)運(yùn)用符號(hào)在具體情境中建立數(shù)量關(guān)系，解決問題。如在“絕對(duì)值”教學(xué)中，除要求學(xué)生絕對(duì)值求值之外，教師還可以適當(dāng)提出變式練習(xí)，讓學(xué)生思考，通過由淺及深的練習(xí)加深學(xué)生對(duì)概念的理解，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)復(fù)雜問題進(jìn)行表征的能力，進(jìn)而使學(xué)生有效解決問題，培養(yǎng)學(xué)生的符號(hào)意識(shí)。

新課標(biāo)提出培養(yǎng)學(xué)生符號(hào)意識(shí)，有助于提高學(xué)生對(duì)符號(hào)意義的理解，使其理清算法、算理。在非負(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)中，部分學(xué)生對(duì)符號(hào)的本質(zhì)理解不透徹，一些學(xué)生有用字母表示正數(shù)的思維慣性且對(duì)復(fù)雜問題情境進(jìn)行表征的能力較弱，他們?cè)诜秦?fù)數(shù)的解題中容易出錯(cuò)。本文分析七年級(jí)學(xué)生非負(fù)數(shù)學(xué)習(xí)的易錯(cuò)點(diǎn)，從引入符號(hào)史、關(guān)注概念形成、提高表征能力三個(gè)維度給出對(duì)策，以期利用數(shù)學(xué)符號(hào)幫助學(xué)生對(duì)非負(fù)數(shù)形成正確理解，使其更好地把握數(shù)學(xué)問題，以數(shù)學(xué)符號(hào)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，增強(qiáng)符號(hào)意識(shí)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]中華人民共和國(guó)教育部.義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

[2]張奠宙，宋乃慶.數(shù)學(xué)教育概論（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[3]朱立明.義務(wù)教育階段學(xué)生數(shù)學(xué)符號(hào)意識(shí)分析層次的構(gòu)建[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2019（2）.

【作者簡(jiǎn)介】

廖怡寧（1998～），女，漢族，湖南邵陽(yáng)人，南寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院2020級(jí)碩士研究生。研究方向：學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）。

韋宏（1968～），男，漢族，廣西上林人，理學(xué)碩士，南寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授，碩士生導(dǎo)師。研究方向：學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）。

鄧清（1998～），女，漢族，廣西玉林人，南寧師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院2020級(jí)碩士研究生。研究方向：學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）。