轉(zhuǎn)化運(yùn)動(dòng)條件，分段構(gòu)建模型

萬(wàn)春

[摘? 要] 幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的難點(diǎn)集中體現(xiàn)在“動(dòng)”字，包括處理動(dòng)態(tài)條件、求解動(dòng)態(tài)線段、轉(zhuǎn)化動(dòng)態(tài)模型. 實(shí)際解題時(shí)可圍繞運(yùn)動(dòng)公式，由點(diǎn)求線、以線建模，合理利用分類討論思想，把握運(yùn)動(dòng)臨界點(diǎn)來(lái)構(gòu)建模型，實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)模型的具體化. 文章將以一道幾何雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題為例，探究解題過(guò)程，開展教學(xué)微設(shè)計(jì)，反思解題教學(xué).

[關(guān)鍵詞] 幾何;動(dòng)點(diǎn);函數(shù)關(guān)系

幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是中考常見問(wèn)題類型，該類試題往往以動(dòng)點(diǎn)為依托，引出動(dòng)線，然后構(gòu)建動(dòng)態(tài)圖形. 設(shè)問(wèn)常以一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)作為變量，探究變量之間的關(guān)系，或以動(dòng)態(tài)圖形為重點(diǎn)，探究圖形特性. 問(wèn)題突破時(shí)需要關(guān)注點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，分析圖形的變化，然后把握?qǐng)D形的特殊時(shí)刻來(lái)構(gòu)建模型，分步討論. 下面以2020年黑龍江省的中考數(shù)學(xué)卷考題為例，開展解題突破，進(jìn)行解題反思.

問(wèn)題呈現(xiàn)

考題：（2020年黑龍江中考卷）如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊AB長(zhǎng)是x2-3x-18=0的根，連結(jié)BD，∠DBC=30°，并過(guò)點(diǎn)C作CN⊥BD，垂足為N，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BD方向勻速運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)為止;點(diǎn)M沿線段DA以每秒 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)D向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)A為止，點(diǎn)P與點(diǎn)M同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t>0）.

（1）線段CN=________;

（2）連結(jié)PM和MN，求△PMN的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式;

（3）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)△PMN是以PN為腰的等腰三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

思路探究

本題目以矩形為背景，涉及雙動(dòng)點(diǎn)沿著不同的方向，以不同的速度進(jìn)行運(yùn)動(dòng)，由于點(diǎn)P和M的運(yùn)動(dòng)，使得以其為頂點(diǎn)構(gòu)建的圖形呈現(xiàn)動(dòng)態(tài)變化狀態(tài). 后續(xù)的分析需要把握運(yùn)動(dòng)過(guò)程的特殊時(shí)刻、特殊位置，構(gòu)建問(wèn)題模型，利用基礎(chǔ)知識(shí)求解.

第（1）問(wèn)——解析方程，幾何探究

該問(wèn)求線段的長(zhǎng)，考查幾何基礎(chǔ)知識(shí). 設(shè)定AB長(zhǎng)是方程x2-3x-18=0的根，則可求出AB的長(zhǎng)，點(diǎn)N是直角三角形的直角頂點(diǎn)，利用直角三角形特性即可逐步求出CN的長(zhǎng).

AB是方程的解，變形方程可得（x-6）（x+3）=0，線段長(zhǎng)為正值，則AB=6. 根據(jù)矩形特性可知AD=BC，AB=CD=6，∠BCD=90°. 又知∠DBC=30°，則BD=2CD=12，BC= CD=6 ，所以CN=? BC=3 .

第（2）問(wèn)——分類討論，構(gòu)建模型

該問(wèn)構(gòu)建了△PMN，解析三角形面積與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系. 可將△PMN視為是以點(diǎn)M為頂點(diǎn)，PN為底的三角形，則點(diǎn)P的位置變化將影響到底PN的表示方法，故需要對(duì)點(diǎn)P的位置進(jìn)行討論.

如圖2所示，過(guò)點(diǎn)M作BD的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)H，則MH就為△PMN的高，可將其面積表示為S= PN·MH. 由運(yùn)動(dòng)條件可知MD= t，在Rt△MDH中，已知∠DBC=30°，則MH= MD= t，可求得BN= CN=9. 需分點(diǎn)P位于BN段、點(diǎn)N處和ND段三種情形討論△PMN面積的構(gòu)建.

情形一：當(dāng)點(diǎn)P位于BN段上時(shí)，0

情形二：當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)N處時(shí)，t= ，此時(shí)P、N、M三點(diǎn)無(wú)法構(gòu)建三角形，故其面積S=0;

情形三：當(dāng)點(diǎn)P位于ND段時(shí)， <t≤6，此時(shí)PN=2t-9，則S= PN·MH= （2t-9）· t= t2-? t;

綜上，當(dāng)0

第（3）問(wèn)——把握特性，充分討論

該問(wèn)討論△PMN是以PN為腰的等腰三角形時(shí)點(diǎn)P的位置，雖然設(shè)定PN為腰，但結(jié)合等腰三角形特性，可知存在PN=PM和PN=NM兩種情形. 后續(xù)解析點(diǎn)坐標(biāo)可結(jié)合勾股定理來(lái)構(gòu)建方程，求解點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，進(jìn)而確定點(diǎn)P位置.

如圖3所示，過(guò)點(diǎn)P作BC的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)E. 顯然若PN為等腰三角形的腰，則點(diǎn)P一定位于線段BN上，此時(shí)PN=9-2t.

當(dāng)PN=PM=9-2t時(shí)，在Rt△PHM中使用勾股定理，可得PM2=MH2+PH2，則（9-2t）2= t +12-2t- t ，可解得t=3或t= ，所以BP=6或 . 當(dāng)BP=6時(shí)，由于∠DBC=30°，則PE=sin30°·BP= BP=3，BE=cos30°·BP= BP=3 ，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3 ，3）;當(dāng)BP=? 時(shí)，同理可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ， ;

當(dāng)PN=NM=9-2t時(shí)，在Rt△NHM中使用勾股定理，可得NM2=MH2+NH2，則（9-2t）2= t + t-3 ，可解得t=3或24（舍去），則BP=6，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3 ，3）;

綜上可知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3 ，3）或 ， .

教學(xué)微設(shè)計(jì)

在實(shí)際教學(xué)中建議采用教學(xué)微設(shè)計(jì)的方式，由易到難引導(dǎo)學(xué)生逐步剖析問(wèn)題，幫助學(xué)生構(gòu)建解題思路. 以上述考題為例，可分如下四個(gè)環(huán)節(jié).

環(huán)節(jié)（一）——讀題審題，信息處理

問(wèn)題條件：如圖4所示，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊AB長(zhǎng)是x2-3x-18=0的根，連結(jié)BD，∠DBC=30°，并過(guò)點(diǎn)C作CN⊥BD，垂足為N，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿BD方向勻速運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)為止;點(diǎn)M沿線段DA以每秒 個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)D向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)A為止，點(diǎn)P與點(diǎn)M同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t>0）.

設(shè)問(wèn)①：求出邊AB的長(zhǎng)，分析△DBC與△NCD的關(guān)系;

設(shè)問(wèn)②：提取條件中的動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)要素，用含有t的參數(shù)表示BP和DM的長(zhǎng).

教學(xué)引導(dǎo)：①教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)解方程求出AB=6，關(guān)注△DBC與△NCD的內(nèi)角關(guān)系，確定△DBC∽△DCN，則∠DCN=30°，可在Rt△DCN中使用三角函數(shù)直接求出CN的長(zhǎng).

②引導(dǎo)學(xué)生處理動(dòng)態(tài)要素，即點(diǎn)P，B→D，v=2單位長(zhǎng)度/秒;點(diǎn)M，D→A，v= 單位長(zhǎng)度/秒. 后續(xù)利用運(yùn)動(dòng)公式可得BP=2t，MD= t.

環(huán)節(jié)（二）——?jiǎng)屿o結(jié)合，分段討論

在環(huán)節(jié)（一）的基礎(chǔ)上添加如下條件：連結(jié)PM和MN，構(gòu)建△PMN，過(guò)點(diǎn)M作BD的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)H.

設(shè)問(wèn)①：將△PMN視為是以點(diǎn)M為頂點(diǎn)，PN為底的三角形，則如何表示其面積，MH為PN上的高，試求其長(zhǎng)度.

設(shè)問(wèn)②：點(diǎn)P在BD上運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)以點(diǎn)N為臨界點(diǎn)，分別計(jì)算其運(yùn)動(dòng)時(shí)刻及PN的長(zhǎng)度.

教學(xué)引導(dǎo)：①引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)設(shè)問(wèn)構(gòu)建合理的面積模型，即S= PN·MH，后續(xù)只需要分別求PN和MH的長(zhǎng)即可表示面積. 在Rt△MDH中，已知MD= t，∠MDH=30°，則MH=MD·sin∠MDH= t.

②求△PMN面積的難點(diǎn)主要集中在求PN上，結(jié)合點(diǎn)P移動(dòng)位置分段求解. 引導(dǎo)學(xué)生分BN、點(diǎn)N、DN三段，計(jì)算出點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N的時(shí)刻：t= = ，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)刻：t= =6. 然后在此基礎(chǔ)上求解PN的長(zhǎng)，即當(dāng)0

解后探討

上述是關(guān)于雙動(dòng)點(diǎn)的幾何探究題，考題共分三小問(wèn)，分別解析線段長(zhǎng)，求面積函數(shù)，討論等腰三角形特性，問(wèn)題難度由淺入深. 首先引導(dǎo)學(xué)生處理動(dòng)點(diǎn)條件，然后聯(lián)系動(dòng)點(diǎn)構(gòu)建面積模型，最后深入結(jié)合幾何特性討論動(dòng)點(diǎn)位置. 考題的分層設(shè)問(wèn)旨在引導(dǎo)學(xué)生合理處理動(dòng)點(diǎn)條件，靈活利用動(dòng)點(diǎn)條件構(gòu)建模型，聯(lián)系特殊圖形性質(zhì). 上述考題的解析過(guò)程有如下幾點(diǎn)啟示.

啟示一：把握點(diǎn)動(dòng)要素，構(gòu)建與線段關(guān)系

點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程必然涉及三大要素：速度、時(shí)間、方向，結(jié)合三要素可將其轉(zhuǎn)化為線段長(zhǎng)，即根據(jù)物理上利用點(diǎn)動(dòng)的速度和時(shí)間推導(dǎo)路程. 因此在已知點(diǎn)動(dòng)速度的前提下，可將線段長(zhǎng)表示為關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)，這也是幾何動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的常見處理方法. 教學(xué)中建議引導(dǎo)學(xué)生回顧運(yùn)動(dòng)公式，聯(lián)系動(dòng)點(diǎn)條件建立與線段長(zhǎng)的關(guān)系，掌握動(dòng)點(diǎn)條件的轉(zhuǎn)化方法.

啟示二：考慮動(dòng)點(diǎn)位置，分段構(gòu)建模型

點(diǎn)動(dòng)過(guò)程必然會(huì)影響到圖形的形狀，在分析幾何特性時(shí)需要充分考慮動(dòng)點(diǎn)位置，尤其是求解雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題. 如上述討論三角形面積，考慮動(dòng)點(diǎn)位置的影響，分段構(gòu)建模型;解析等腰三角形，結(jié)合等腰特性來(lái)分情形討論. 問(wèn)題解析通常結(jié)合動(dòng)點(diǎn)對(duì)圖形的影響進(jìn)行位置分段，一般考慮兩點(diǎn)：一是對(duì)線段函數(shù)的影響;二是對(duì)圖形形狀的影響，適用于面積類問(wèn)題. 教學(xué)中建議引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注動(dòng)點(diǎn)軌跡，探究點(diǎn)動(dòng)對(duì)線段的影響，采用分段的策略構(gòu)建模型.

啟示三：重視解題策略，利用思想方法

動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題是幾何動(dòng)態(tài)問(wèn)題類型之一，問(wèn)題的難點(diǎn)有兩個(gè)：一是轉(zhuǎn)化動(dòng)態(tài)條件，二是構(gòu)建幾何模型. 動(dòng)態(tài)問(wèn)題與常規(guī)問(wèn)題的區(qū)別體現(xiàn)在“動(dòng)”，因此需要采用合理的解題方法實(shí)現(xiàn)化“動(dòng)”為“靜”. 上述解析時(shí)圍繞點(diǎn)動(dòng)的特殊位置，分段求解線段長(zhǎng)，采用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法構(gòu)建幾何模型，該解題策略在解析動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題時(shí)十分有效. 因此，教學(xué)中建議重點(diǎn)放在解題策略的探究上，引導(dǎo)學(xué)生把握動(dòng)靜結(jié)合的臨界點(diǎn)，將動(dòng)態(tài)模型具體化，同時(shí)注重思想方法滲透，讓學(xué)生逐步感悟方法的思想內(nèi)涵，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).