潘立方

[摘? 要] 在幾何解題教學過程中，教師應從解決方案的多樣性上培養(yǎng)學生的發(fā)散性思維，在思路的多樣化情況下引導學生進行反思和感悟，一方面讓學生養(yǎng)成有序思考的習慣;另一方面也可以找到思維的出發(fā)點，直指數(shù)學的核心素養(yǎng)及其形成，在此基礎上進一步落實解決數(shù)學問題的方法，提升數(shù)學思維拓展性，凸顯數(shù)學教學的“教育目的”.

[關鍵詞] 一題多解;解題研究;數(shù)學素養(yǎng)

幾何題的 “一題多解”一直被人們津津樂道，讓人回味無窮. 筆者在一次試題講評課時，與學生們一起對一道幾何題進行了多種方法的解析和反思，以求在反思中感悟方法，明晰思路，提供解決問題的策略.

試題呈現(xiàn)

如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是邊BC和CD的中點，連結AE和BF，得交點P，連接DP，求證：DA=DP .

試題意圖

1. 試題背景

根據(jù)正方形這一課時的《課標》要求，既考查了學生對于正方形這一核心知識點的掌握情況，又有適當?shù)奶岣撸浩祁}口的尋找、思路的多樣、輔助線的選擇等，題意雖簡，思路難成.

2. 試題來源

題源1：人教版八年級下教師教學用書第152頁13題.

題源2：浙教版八年級下冊數(shù)學教科書.

3. 簡單分析

易證得△ABE≌△BCF，推得AE⊥BF，再由∠APF=∠ADF=90°得A、D、F、P四點共圓.

解法賞析

方法一 巧用倍長構斜中：如圖2，延長BF、AD交于G點，易得△BCF≌△GDF，利用Rt△APG斜邊上的中線等于斜邊一半這一性質得到DA=DP .

方法二 構造全等順旋轉：如圖3，連結AF，過D點作DK⊥DP交PF延長線于K點，得∠3=∠4;由得A、D、F、P四點共圓得∠1=∠2，再得∠AFD=∠K;由△ADF≌△BCF得∠AFD=∠3=∠4，所以∠4=∠K，得DF=DK，所以證得△ADF≌△PDK，所以DA=DP .

方法三 四點共圓判等角：如圖4，由A、D、F、P四點共圓得∠1=∠2，由對稱性得到∠3=∠1，所以∠3=∠2. 所以∠PAD=∠APD，所以DA=DP .

方法四 構造全等逆旋轉：如圖5，在AF上找一點Q，使得DQ=DF，則∠3=∠4;由△ADF≌△BCF得∠3=∠5，所以∠4=∠5，得到∠AQD=∠PFD. 再利用∠1=∠2和DQ=DF兩個條件，得到△ADQ≌△PDF，所以DA=DP .

方法五 垂直平分正逆推：如圖6，取AB中點M，連結DM交AP與點N，連結PM，利用Rt△APB斜邊上的中線等于斜邊一半這一性質得到AM=PM;再由線段BM平行且等于線段DF得？荀MBFD，所以DM∥BF. 所以DM⊥AP，所以AN=PN，即得DM是線段AP的中垂線，所以DA=DP.

方法六 余弦定理靈活用：如圖7，設正方形邊長為2，記∠BAE=α，∠DAE=β，則tanα= ，sinα= ，cosα= ，利用相似得AP= . 又因為α+β=90°，所以cosβ=sinα= = ，代入解得DP=2，所以DA=DP.

方法七 勾股相似配合強：如圖8，過P作PK⊥DC，垂足為K. 設正方形邊長為2，則BE=1，AE=BF= ，由面積法得到BP= ，則FP= ， 所以 = ，所以 = = = . 所以PK= ，F(xiàn)K= ，所以DK= . 在Rt△PDK中再由勾股定理得DP=2，所以DA=DP.

方法八 函數(shù)坐標數(shù)形合：如圖9，以D為直角坐標原點建立直角坐標系，則可得A（0，2），E（2，1），B（2，2），F(xiàn)（1，0），把P看成直線AE（一次函數(shù)表達式為：y= - x+2）和直線BF（一次函數(shù)表達式為：y=2x-2）的交點，計算解得P ， ，所以DP=2，所以DA=DP .

素養(yǎng)立意

正如章建躍先生所說，“中學數(shù)學核心素養(yǎng)體系的構建，需以理解中學數(shù)學內容本質為載體，而這個載體也需要深入回答‘問題的研究框架是怎么構建的‘為什么采用這樣的方法等觸及數(shù)學思想本質的、對數(shù)學思維發(fā)展有重要意義的本原性問題”，基于對此話的理解，我們也不妨回頭看一下我們的解法探析的素養(yǎng)本源.

1. 基于條件，在方法上發(fā)散

在幾何直觀的基礎上，學生易得出△ABE≌△BCF和AE⊥BF兩個結論，部分學生還可以得到四點共圓這一結論，此時可以適當引導：如何利用這些結論把問題進行轉化？要證明兩條線段相等這一數(shù)量關系我們已有幾種方法或者模型工具？通過適當引導，提醒學生利用方法的多樣性來嘗試解題：

①按題索驥，順勢破解：如方法三利用四點共圓得到角相等，繼而得到等角的余角相等，利用等腰三角形的等角對等邊即可得到結論.

②回歸模型，找到關聯(lián)：如方法一的類似倍長中線法得到全等，繼而用斜中線模型即可得解;方法二、四是構造順逆時針旋轉中的全等三角形;方法五是垂直平分線模型等.

③數(shù)形結合，解析幾何：如方法六的利用余弦定理、方法七的勾股和相似的配合使用、方法八的構建直角坐標系，利用函數(shù)求交點等解析法的應用，亦為幾何的數(shù)量研究找到了一條路徑.

2. 基于結論，在思路上拓展

本題的結論是兩條線段相等，回憶我們已學過的證明線段相等方法，大致一共有六種：一用“全等三角形的性質”;二用“等角對等邊”;三用“中垂線的性質”;四用“角平分線的性質”;五用“三線合一的性質”;六用“等量代換”. 本例中我們可以看到有利用全等三角形性質的（如方法二、四），有用等腰三角形角邊對應相等、中垂線等性質的（如方法三、五），有用代數(shù)方法證明數(shù)量關系的（如方法六、七、八），還有用構造法的（如方法一、二、四）. 基于結論的要求，去探尋、反思過程如何產(chǎn)生，也正是我們提升推理素養(yǎng)的常規(guī)方法.

3. 基于方法，在變式上提升

本例學生在“定則可求”的思想引導下可以嘗試幾何直觀畫一畫的方法來得到初步結論，但很多學生還想探討“當E、F不是中點時，這個線段是否還相等？”“若不相等，是否還存在著一定的數(shù)量關系？”等動態(tài)問題，筆者也和學生一起進行了“動圖”嘗試，如變式引申：

（1）若把E當作BC上的一個動點，保持BE=CF不變，連結DP，則DP=DA仍成立嗎？不相等的話，它們存在一定的數(shù)量關系嗎？

（2）當E點從B點運動到C點的過程中，P點的運動軌跡是怎樣的一個圖形？

解答：利用方法六的余弦定理，可以記正方形邊長為1，設BE=x，則AE= ，由三角形相似得 = ，所以AP= .

因為cosβ=sinα= = = ，

所以DP2= .

所以 = .

通過這個一般通式的比例，我們也可以看到圖形在變化過程中的許多特例：

當x= 時， =1（即原題E是BC中點時的情況）;

當x=0時， = （即E點與B點重合，DP是對角線時的情況）;

當x=1時， = （即E點與C點重合，P是正方形的中心時的情況）等.

利用這個通式，我們還可以探討當x>1時，即E、F在BC和CD延長線上時交點P的情況，也能探討P點運動軌跡的特征（如圖11）. 總之，把靜態(tài)的研究轉化成動態(tài)研究，使學生思維訓練大大加強，使探究充滿活力.

4. 基于思想，在本原上聚焦

我們明確幾何的探究歸根于辯證思想的應用;推理能力的形成，更需要主動去構建模型，讓學生把陌生的、復雜的問題化歸為熟悉的、簡單的問題. 如在運動過程中，AE⊥BF的關系始終存在，即在運動中A、D、F、P四點共圓一定成立，那DP就是以AF為直徑的圓中的一條弦，那如何求弦長？我們不妨指向圓中利用三角或者勾股的基本圖例（如圖12），讓變化中的“隱圓”凸顯（如圖13），得到如下問題解決思路：

簡略過程如下：記正方形邊長為1，設BE=CF=x，則半徑r=OP= AF= ;sinβ= =cosα= ，所以DP=2PM=2OP·sinβ=2· · = .

顯然，抓住了本源問題的核心，思路便異常順暢，結論的取得也勢如破竹.

結語

正如蘇步青老先生所說：“學習數(shù)學要多做習題，邊做邊思索，先知其然，然后知其所以然.”解題的背后，回歸本源的思考，才正是我們數(shù)學學習所需要的，“分離基本圖形”“旋轉后的全等”“解析幾何法”“三角函數(shù)法”這些解題經(jīng)驗的形成，正是我們探求問題的根本. 一旦解題教學跨入了更廣義的數(shù)學素養(yǎng)教育，學生的學習便不會僅停留在具體的解題方法上，而會更關注其背后的解題策略和方向，那時我們的解題教學便不再是解題本身，而是一次方法的拓展、一次思維的提升，更是一次成長的歷練.