基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的單元復(fù)習(xí)課設(shè)計(jì)

[摘? 要] 單元復(fù)習(xí)課的上法有多種，如結(jié)構(gòu)圖式的知識(shí)點(diǎn)梳理、以思想方法為主線(xiàn)的設(shè)計(jì). 文章基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的理念設(shè)計(jì)了一節(jié)“一元一次方程”的復(fù)習(xí)課，并淺析此節(jié)課中如何通過(guò)三個(gè)問(wèn)題體現(xiàn)對(duì)應(yīng)的核心素養(yǎng).

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng);一元一次方程;單元復(fù)習(xí)

近年來(lái)，“核心素養(yǎng)”成為教育領(lǐng)域探討的“熱詞”. 在教育部2014年印發(fā)的《關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》中，首次提出“核心素養(yǎng)體系”概念. 同時(shí)，普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)修訂，也將核心素養(yǎng)作為重要的育人目標(biāo). 那么，何為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)？高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)修訂組定義的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：是具有數(shù)學(xué)基本特征的、適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的、具有數(shù)學(xué)特征的關(guān)鍵能力和思維品質(zhì)[1] . 通俗地說(shuō)，就是把所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)都遺忘后還能留下來(lái)的東西，或者說(shuō)從數(shù)學(xué)的角度看問(wèn)題，用理性思維思考問(wèn)題，以及用清晰準(zhǔn)確的語(yǔ)言表述問(wèn)題.

高中階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)可抽象成六個(gè)關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀(guān)想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析[1] . 而《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中關(guān)于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)提到了八個(gè)詞：數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀(guān)念、幾何直觀(guān)、數(shù)據(jù)分析觀(guān)念、運(yùn)算能力、推理能力和模型思想[2] . 無(wú)論是高中階段的六個(gè)詞還是義務(wù)教育階段的八個(gè)詞，其本質(zhì)都是一樣的，而且義務(wù)教育階段的八個(gè)詞經(jīng)過(guò)適當(dāng)排序后也能和高中階段的六個(gè)詞完全對(duì)應(yīng)，這里就不再贅述了. 數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要靠教育者去落實(shí)，而最終與學(xué)生對(duì)接的是一線(xiàn)教師，所以，教師在常態(tài)課的設(shè)計(jì)中需要把數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)考慮進(jìn)去，尤其在復(fù)習(xí)課的設(shè)計(jì)上更應(yīng)該注重這一點(diǎn). 筆者基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)設(shè)計(jì)了一節(jié)“一元一次方程”的復(fù)習(xí)課，現(xiàn)將實(shí)錄的過(guò)程及幾點(diǎn)思考整理出來(lái)，不當(dāng)之處，請(qǐng)批評(píng)指正.

課堂實(shí)錄

師：什么是方程？什么是一元一次方程？

生1：含有未知數(shù)的等式叫方程.

生2：含有一個(gè)未知數(shù)并且未知數(shù)的次數(shù)是1的方程叫一元一次方程.

師：請(qǐng)你舉一個(gè)一元一次方程的例子.

生3：3x=5.

生4：x-6=1.

生5：1000x+200=-3.

師：這樣的例子能舉完嗎？

生（齊）：舉不完.

師：那能不能找一個(gè)一般的等式代表所有的一元一次方程？試試看！

生6：mx+n=a.

師：m，n，a有什么要求嗎？

生6：都是常數(shù).

師：很好. 還有補(bǔ)充的嗎？

生7：我覺(jué)得m≠0.

師：為什么？

生7：如果m=0，就不是一元一次方程了.

師：回答得非常好！這里老師再補(bǔ)充一點(diǎn)，既然n和a都是常數(shù)，那么就可以合并同類(lèi)項(xiàng)了，于是可以得到一元一次方程的一般形式——mx+n=0（m≠0）. （教師板書(shū)一般形式）

問(wèn)題1 ？搖解方程： =1- .

師：請(qǐng)同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)單上解“問(wèn)題1”的方程.

（教師來(lái)回巡視，試圖找那些解錯(cuò)的例子）

生8： =1- ，3（2x-1）=1-（4x-1）…

師：誰(shuí)來(lái)評(píng)價(jià)一下生8的解法？

生9：我覺(jué)得他的解法是錯(cuò)的，第一步常數(shù)項(xiàng)“1”漏乘6.

師：那你能給生8解釋一下為什么“1”要乘6嗎？

生9：第一步去分母的依據(jù)是等式的性質(zhì)——等式兩邊同時(shí)乘6，所以每一項(xiàng)都要乘6.

師：我想生8應(yīng)該明白了，非常好，請(qǐng)坐！下面我們來(lái)看一下下面這位同學(xué)的解法.

生10： =1- ，3（2x-1）=6-4x-1…

師：誰(shuí)來(lái)評(píng)價(jià)一下生10的解法？

生11：我覺(jué)得他的解法是錯(cuò)的，第一步中（4x-1）是一個(gè)整體，作為減數(shù)要加括號(hào).

師：分析得非常好！我們?cè)賮?lái)看下面這位同學(xué)的解法.

生12： =1- ，3（2x-1）=6-（4x-1），6x-3=6-4x+1，6x+4x=6-3+1…

生13：我覺(jué)得他的解法是錯(cuò)的，第三步等號(hào)左邊的-3移項(xiàng)后沒(méi)有變號(hào).

師：說(shuō)得很好. 大家從解決這個(gè)方程的過(guò)程中可以回憶出解一元一次方程的步驟，以及在解方程過(guò)程中哪些地方比較容易出錯(cuò).

（教師板書(shū)解一元一次方程的步驟）

師：本題的答案是x=1. 它是一元一次方程嗎？它與原方程有何關(guān)系？

生14：它和原方程都是一元一次方程.

師：回答正確！還有補(bǔ)充的嗎？

生15：x=1是原方程的解.

師：很好！其實(shí)，解一元一次方程就是將方程變成“x=a”的形式.

師：為什么要學(xué)習(xí)一元一次方程？

生16：因?yàn)樗軌驇椭覀兘鉀Q實(shí)際問(wèn)題.

師：是的，因?yàn)榉匠淌强坍?huà)現(xiàn)實(shí)世界的一種十分有效的模型.

問(wèn)題2？搖 請(qǐng)編寫(xiě)一個(gè)能用方程70x+50（120-x）=6300解決的實(shí)際問(wèn)題（不需要求解）.

師：大家獨(dú)立思考3分鐘后在學(xué)習(xí)單上寫(xiě)下來(lái)，然后小組交流.

（小組交流，教師巡視、旁聽(tīng)）

生17：小明買(mǎi)了兩種水果，共120千克，其中蘋(píng)果70元/千克，橘子50元/千克，總共花去6300元. 小明買(mǎi)了多少千克蘋(píng)果？

師：根據(jù)生17編寫(xiě)的問(wèn)題能夠列出此方程，但老師老覺(jué)得哪里不對(duì)勁，你們看出來(lái)了嗎？

（部分同學(xué)偷笑）

生18：蘋(píng)果和橘子沒(méi)有這么貴.

師：是的. 作為一名中學(xué)生，我們應(yīng)該學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀(guān)察世界，所以對(duì)于一些生活中的數(shù)據(jù)，我們要有一個(gè)大概的認(rèn)識(shí). 誰(shuí)能幫忙修改一下？

生19：小明買(mǎi)了兩種商品，共120個(gè)，其中A商品70元/個(gè)，B商品50元/個(gè)，總共花去6300元. 小明買(mǎi)了多少個(gè)A商品？

師：這下可以了. 還有小組有其他的情境嗎？

生20：甲、乙兩車(chē)從同一地點(diǎn)沿著相反的方向運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻兩車(chē)相距6300米. 已知甲車(chē)的速度是70米/秒，乙車(chē)的速度是50米/秒，兩車(chē)共用時(shí)120秒，求甲車(chē)用了多長(zhǎng)時(shí)間.

師：這個(gè)行程問(wèn)題描述得很好. 老師在巡視的時(shí)候還發(fā)現(xiàn)很多同學(xué)寫(xiě)了不一樣的情境，其實(shí)我們常見(jiàn)的實(shí)際問(wèn)題的情境就幾大類(lèi)——銷(xiāo)售、行程、工程、調(diào)配等，而每一類(lèi)問(wèn)題都有一些相應(yīng)的分析方法，如銷(xiāo)售問(wèn)題常通過(guò)表格進(jìn)行分析，行程問(wèn)題常通過(guò)線(xiàn)段圖進(jìn)行分析.

（教師板書(shū)表格、線(xiàn)段示意圖的大致框架）

師：接下來(lái)我們來(lái)看最后一個(gè)問(wèn)題.

問(wèn)題3 ？搖旅行社組織甲、乙兩個(gè)旅游團(tuán)到游樂(lè)場(chǎng)游玩. 已知兩個(gè)旅游團(tuán)的總?cè)藬?shù)為120，其中甲旅游團(tuán)的人數(shù)不超過(guò)60，游樂(lè)場(chǎng)規(guī)定一次性購(gòu)票60張以上可享受團(tuán)隊(duì)票. 門(mén)票價(jià)格如下：

旅行社計(jì)算后發(fā)現(xiàn)，如果甲、乙兩旅游團(tuán)分開(kāi)購(gòu)買(mǎi)，總共要花費(fèi)6300元. 求甲、乙兩旅游團(tuán)報(bào)名的人數(shù).

師：請(qǐng)同學(xué)們先獨(dú)立思考，有思路后再舉手.

（除了幾個(gè)同學(xué)有點(diǎn)想法而外，其余同學(xué)呈苦思冥想狀）

師：我們先根據(jù)條件逐步分析.

師：從“兩個(gè)旅游團(tuán)的總?cè)藬?shù)為120”中，你能得到什么？

生（齊）：甲旅游團(tuán)人數(shù)+乙旅游團(tuán)人數(shù)=120.

師：從“甲旅游團(tuán)的人數(shù)不超過(guò)60”中呢？

生21：甲旅游團(tuán)人數(shù)小于或等于60.

師：從“甲、乙兩旅游團(tuán)分開(kāi)購(gòu)買(mǎi)，總共要花費(fèi)6300元”中呢？

生21：甲旅游團(tuán)費(fèi)用+乙旅游團(tuán)費(fèi)用=6300元.

師：設(shè)甲旅游團(tuán)有x人，則乙旅游團(tuán)有（120-x）人. 下面請(qǐng)同學(xué)們繼續(xù)思考.

生22：70x+50（120-x）=6300.

師：有不同的意見(jiàn)嗎？

生23：70x+60（120-x）=6300.

師：這兩位同學(xué)的解法有何不同？

生24：若甲旅游團(tuán)的人數(shù)不少于20，則乙旅游團(tuán)的人數(shù)不多于100，此時(shí)為生23的方程;若甲旅游團(tuán)的人數(shù)少于20，則乙旅游團(tuán)的人數(shù)多于100，此時(shí)為生22的方程.

生25：上述說(shuō)法都不正確，我認(rèn)為第二個(gè)方程不需要考慮，因?yàn)榻獬龅拇鸢笧樨?fù)數(shù).

師：這種情況下解出的答案不合題意，但真的不需要考慮嗎？

生（齊）：要考慮.

師：是的，我們應(yīng)該按照生24的思路考慮兩種情況，分別列出方程，然后舍去不符合題意的解.

（教師板書(shū)例題正解，強(qiáng)調(diào)分類(lèi)討論思想）

最后，讓學(xué)生回憶本節(jié)課的要點(diǎn)，并由教師從知識(shí)與思想方法兩個(gè)方面做出總結(jié)，結(jié)束本節(jié)課.

幾點(diǎn)思考

1. 問(wèn)題1：“數(shù)學(xué)運(yùn)算”——“量”上求精簡(jiǎn)

運(yùn)算能力是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中提到的八個(gè)核心詞之一，有著非常重要的地位. 運(yùn)算能力也是知識(shí)與技能、過(guò)程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)等教學(xué)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)的基本條件. 近年來(lái)，初中生的運(yùn)算能力存在普遍下滑的趨勢(shì)，為了扭轉(zhuǎn)這一局面，各地中考開(kāi)始加強(qiáng)對(duì)運(yùn)算能力的考查，其目的是讓教師在平時(shí)的課堂上注重對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力的培養(yǎng).

對(duì)于“一元一次方程”的復(fù)習(xí)課，教師都能意識(shí)到這節(jié)課的重點(diǎn)之一是加強(qiáng)數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，于是不少人在本節(jié)復(fù)習(xí)課上設(shè)置了多個(gè)不同形式的一元一次方程作為例題，再配上多個(gè)形式相當(dāng)?shù)姆匠套鳛橥骄毩?xí). 表面上看，學(xué)生將一元一次方程的解法系統(tǒng)地復(fù)習(xí)了一遍，但這畢竟是復(fù)習(xí)課，這樣的“題海戰(zhàn)術(shù)”學(xué)生早已厭倦，效果堪憂(yōu). 而本節(jié)課只在“問(wèn)題1”中要求學(xué)生解一個(gè)方程，不是過(guò)去幻燈片上一下出現(xiàn)多個(gè)方程的形式，所以學(xué)生會(huì)用心地“呵護(hù)”這僅有的方程，于是發(fā)現(xiàn)犯低級(jí)錯(cuò)誤的情況減少了. 但在講評(píng)的時(shí)候筆者發(fā)現(xiàn)學(xué)生依然會(huì)出現(xiàn)“漏乘”“移項(xiàng)沒(méi)變號(hào)”等錯(cuò)誤. 出現(xiàn)這些錯(cuò)誤的同學(xué)并不是簡(jiǎn)單的粗心，而是算理模糊，所以這個(gè)環(huán)節(jié)要慢下來(lái)，要讓其他同學(xué)指出錯(cuò)誤的根源，讓出錯(cuò)的同學(xué)能夠在其他同學(xué)講解的過(guò)程中慢慢厘清算理，從而提高解方程的正確率.

2. 問(wèn)題2：“數(shù)學(xué)建?！薄皩?shí)”上求突破

數(shù)學(xué)建模就是對(duì)現(xiàn)實(shí)問(wèn)題進(jìn)行抽象，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)和解決問(wèn)題的過(guò)程. 數(shù)學(xué)建?？疾榈氖菍W(xué)生用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力. 整個(gè)建模過(guò)程有助于培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)的視角提出問(wèn)題、用數(shù)學(xué)的思維分析問(wèn)題，以及用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)問(wèn)題的能力.

“一元一次方程”復(fù)習(xí)課的第二道“大菜”是用方程解決實(shí)際問(wèn)題. 以往筆者都是從銷(xiāo)售、行程、工程及調(diào)配等類(lèi)型中挑選一題或者兩題作為例題來(lái)講解，這種用方程模型解決問(wèn)題的方式是發(fā)展學(xué)生“數(shù)學(xué)建?！蹦芰Φ囊环N有效方式. 而本節(jié)課是在此基礎(chǔ)上做了一個(gè)突破——給定一個(gè)一元一次方程，讓學(xué)生來(lái)補(bǔ)充相應(yīng)的情境. 這個(gè)突破不僅在于知識(shí)點(diǎn)的突破，還在于考查了學(xué)生對(duì)生活的觀(guān)察和思考. 比如，課堂上生17就舉了一個(gè)從數(shù)學(xué)角度計(jì)算沒(méi)有問(wèn)題，卻不符合實(shí)際生活的買(mǎi)水果例子. 再比如行程問(wèn)題，學(xué)生在做一般的行程問(wèn)題時(shí)通常都覺(jué)得不太容易，于是教師在講解的時(shí)候反復(fù)強(qiáng)調(diào)要通過(guò)線(xiàn)段示意圖來(lái)分析，不過(guò)還是有許多學(xué)生不會(huì)這樣做. 所以，在給定一個(gè)一元一次方程，讓學(xué)生補(bǔ)充行程情境的情況下，由于難度加大，便逼著學(xué)生通過(guò)畫(huà)線(xiàn)段圖進(jìn)行分析.

3. 問(wèn)題3：“綜合素養(yǎng)”——“新”上求發(fā)展

當(dāng)今社會(huì)，各行各業(yè)都在追求“創(chuàng)新”，教師教學(xué)同樣需要?jiǎng)?chuàng)新，課件設(shè)計(jì)更需要?jiǎng)?chuàng)新. 筆者在設(shè)計(jì)“一元一次方程”復(fù)習(xí)課時(shí)，總會(huì)思考一個(gè)問(wèn)題——為什么要學(xué)習(xí)一元一次方程？其中一個(gè)重要的答案就是課堂上學(xué)生的回答——為了解決實(shí)際問(wèn)題. 而這些實(shí)際問(wèn)題除了課本上、習(xí)題冊(cè)上出現(xiàn)的各類(lèi)情境問(wèn)題外，還包含真正的“實(shí)際問(wèn)題”. 如每逢“雙11”，商家都會(huì)推出一系列打折滿(mǎn)減活動(dòng);再比如“問(wèn)題3”給出的團(tuán)購(gòu)門(mén)票問(wèn)題等，這些都是日常生活中常見(jiàn)的可以利用方程解決的例子. 從這個(gè)意義上講，“問(wèn)題3”的設(shè)置是“新”，但并不止于此：表格的加入可以鍛煉學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力;解法的不唯一考查的是學(xué)生的分類(lèi)思想. 細(xì)心的同學(xué)還會(huì)發(fā)現(xiàn)，“問(wèn)題3”列出的方程似曾相識(shí)——就是“問(wèn)題2”中的方程，這樣的處理使得整節(jié)課的結(jié)構(gòu)更加完整.

參考文獻(xiàn)：

[1]史寧中，王尚志. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）解讀[M]. 北京：高等教育出版社，2018.

[2]中華人民共和國(guó)教育部. 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S]. 北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.