姚晉秋

摘 要：新課程要求在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮學(xué)生的主體地位。數(shù)學(xué)課堂以問題為導(dǎo)向，充分發(fā)揮學(xué)生的自主作用，強化數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)過程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。在教學(xué)過程中，將提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)、養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣、發(fā)展自主學(xué)習(xí)的能力等設(shè)為基本目標(biāo)，逐步形成“自學(xué)-探究-導(dǎo)學(xué)-拓展”的“自能課堂”有效教學(xué)模式，提高教學(xué)效率，在教學(xué)實踐中踐行葉圣陶先生“教是為了不教”的教育思想。

關(guān)鍵詞：課例分析;問題導(dǎo)向;自能課堂

一、背景分析

2017版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確指出：高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，落實立德樹人的根本任務(wù)，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。在教學(xué)活動中，教師應(yīng)準(zhǔn)確把握課程目標(biāo)、課程內(nèi)容、學(xué)業(yè)質(zhì)量的要求，合理設(shè)計教學(xué)目標(biāo)，并通過相應(yīng)的教學(xué)實施，在學(xué)生掌握知識技能的同時，促進數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的提升及水平的達成。

我校數(shù)學(xué)教研組努力踐行葉圣陶先生“教是為了不教”的教育思想，積極探索適合學(xué)生實際的有效教學(xué)模式。我們堅持在數(shù)學(xué)教學(xué)中發(fā)揮學(xué)生的主體作用，強化數(shù)學(xué)知識的建構(gòu)過程以增強學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗，努力提升學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力和數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，逐步形成了“自學(xué)-探究-導(dǎo)學(xué)-拓展”的“自能課堂”有效教學(xué)模式，提高教學(xué)效率。

眾所周知，上好一堂觀摩課或展示課很不容易，它是授課者潛心鉆研、反復(fù)改進的智力成果，而上好每一堂日常課就更不容易了，因為日常教學(xué)工作量大，不可能每個教學(xué)環(huán)節(jié)都細細推敲琢磨，也不可能反復(fù)試教改進，只能一次成型。日常課構(gòu)成了我們教學(xué)主題，直接影響著教學(xué)質(zhì)量的高低。下面筆者以普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書蘇教版必修一2.2.1分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為例，分析如何在日常課中優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，以問題為導(dǎo)向，發(fā)揮學(xué)生的主體作用，打造高效的“自能課堂”。

二、教學(xué)任務(wù)分析

1.教學(xué)目標(biāo)

知識目標(biāo)：理解根式的概念，n次方根的概念及二者的關(guān)系，掌握根式的性質(zhì)，能利用根式的性質(zhì)對根式進行運算。理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義，掌握根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化。掌握實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，并能對代數(shù)式進行化簡或求值。了解無理數(shù)指數(shù)冪的意義。

能力目標(biāo)：通過對分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的基本性質(zhì)的探究和應(yīng)用，幫助學(xué)生通過問題解決并獲得數(shù)學(xué)知識。在學(xué)習(xí)過程中，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

情感目標(biāo)：通過課程的學(xué)習(xí)，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，發(fā)展自主學(xué)習(xí)的能力。

2.教學(xué)重點與難點

根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念及其性質(zhì)。

3.教學(xué)方法

通過對具體問題的探究過程，感知應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的方法，理解類比與轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

三、學(xué)情與教材分析

學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了數(shù)的開平方、開立方以及二次根式的概念，又學(xué)習(xí)了正整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪的概念，以及整數(shù)指數(shù)冪的運算法則。我校是普通中學(xué)三星級高中，學(xué)生的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)習(xí)慣較差。

分?jǐn)?shù)指數(shù)冪這一部分內(nèi)容是指數(shù)函數(shù)的序幕部分。承接指數(shù)部分內(nèi)容，引導(dǎo)指數(shù)函數(shù)的開始。指數(shù)函數(shù)是應(yīng)用廣泛的基本函數(shù)，是進一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。如果能深刻理解根式的概念和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的含義，熟練掌握指數(shù)冪的運算性質(zhì)，那么就可以為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下扎實的基礎(chǔ)。

教材以細胞分裂為引例：某細胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，4個分裂成8個，……如果分裂一次需要10 min，那么，一個細胞1 h后分裂成多少個細胞？這個引例與本節(jié)教學(xué)聯(lián)系不大，尤其是根式，更是沒有什么關(guān)系，筆者認為，把這個引例移至2.2.2指數(shù)函數(shù)一節(jié)，與“古蓮子半衰期問題”一同開啟指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)將更為妥帖些。本節(jié)內(nèi)容以學(xué)生熟悉的指數(shù)與正整數(shù)指數(shù)冪運算引入。

四、教學(xué)過程分析

1.根式

[自學(xué)]

從這些熟悉的等式可知，2和-2是4的平方根，其中2叫做算術(shù)平方根;2是8的立方根;-2是-88的立方根……

歸納總結(jié)：如果，那么稱為的平方根;如果，那么稱為的立方根。根據(jù)定義，正實數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)，如4的平方根為±2，負數(shù)沒有平方根，一個數(shù)的立方根只有一個，如-8的立方根為-2;零的平方根、立方根均為零。

[探究1]

問題1：有沒有四次方根、五次方根……n次方根呢？

問題2：若，這樣的x有幾個？它們叫做3的什么？怎么表示？

問題3：若，這樣的x有幾個？它們叫做3的什么？怎么表示？

問題4：類比a的平方根及立方根的定義，如何定義a的n次方根？

通過剛才的導(dǎo)入，學(xué)生感覺新知識并沒有什么神秘感，是在已有認知基礎(chǔ)上的推廣。問題1至問題4均讓學(xué)生討論之后回答，不僅能培養(yǎng)學(xué)生用類比思想解決問題的能力，也能培養(yǎng)他們團結(jié)協(xié)作、與人溝通的能力。其中在定義的n次方根時，學(xué)生往往會遺漏“n>1，且n∈N*”這個條件，老師要做好引導(dǎo)工作，并且及時歸納總結(jié)如下：

（1）a的n次方根的定義

一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*.

（2）a的n次方根的表示

n的奇偶性 a的n次方根的表示符號 a的取值范圍

n為奇數(shù) a∈R

n為偶數(shù) [0，+∞）

一個數(shù)到底有沒有n次方根，我們一定先考慮被開方數(shù)到底是正數(shù)還是負數(shù)，還要分清n為奇數(shù)或偶數(shù)這兩種情況.負數(shù)沒有偶次方根，0的任何次方根都是0.

（3）根式

式子叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).

[導(dǎo)學(xué)]

例1 求下列各式的值：

[探究2]

問題5：根據(jù)n次方根的意義，可知肯定成立，那么等式一定成立嗎？

通過實例，使學(xué)生感受到“次方根”實際上就是平方根與立方根的推廣，這里引導(dǎo)學(xué)生由平方根與立方根的運算性質(zhì)類比得到n次方根的性質(zhì)，注意對n分奇偶數(shù)討論。

根式的運算性質(zhì)：

（1）當(dāng)n 為任意正整數(shù)時，

（2）當(dāng)n為奇數(shù)時，

當(dāng)n為偶數(shù)時，

2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

[探究3]

問題6：根據(jù)n次方根的定義和數(shù)的運算，得出以上式子，你能從中總結(jié)出怎樣的規(guī)律？

當(dāng)a>0時，根式可以表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，其分?jǐn)?shù)指數(shù)

等于根式的被開方數(shù)的指數(shù)除以根指數(shù).我們常用的就等于。

分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義：

（1）規(guī)定正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：

;

（2）規(guī)定正數(shù)的負分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：

;

（3）0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.

[探究4]

問題7：規(guī)定了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)對于有理數(shù)指數(shù)冪是否還適用？

提示：由于整數(shù)指數(shù)冪、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪都有意義，因此有理數(shù)指數(shù)冪是有意義的，整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪，即：

[導(dǎo)學(xué)]

例2 用根式的形式表示下列各式（x>0）：

通過實例可知，實數(shù)指數(shù)冪的化簡與計算中，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式在應(yīng)用上比較方便。而在求函數(shù)的定義域中，根式形式較容易觀察出各式的取值范圍，故分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與根式的互化是學(xué)習(xí)的重點內(nèi)容，要切實掌握。

例3 求下列各式的值：

分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是根式的另一種表示形式，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪可以進行互化。在進行指數(shù)冪的運算時，一般地，化指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)進行運算，便于進行乘除、乘方、開方運算，以達到化繁為簡的目的，對含有指數(shù)式或根式的乘除運算，還要善于利用冪的運算法則。更多的運算練習(xí)將在下一節(jié)課中展開。

[拓展]

問題8：為什么教科書上寫“在本書中，若無特殊說明，底數(shù)中的字母均為正數(shù)”？

指數(shù)的概念從整數(shù)指數(shù)擴充到實數(shù)指數(shù)后，當(dāng)a≤0時，

有時有意義，有時無意義。如但就不是實數(shù)了。又例如，而由 = 可得

，但后者卻無意義了。為了保證在取任何實數(shù)

時，都有意義，所以規(guī)定a>0。當(dāng)被開方數(shù)中有負數(shù)時，冪指數(shù)不能隨意約分。

問題9：是否表示一個確定的實數(shù)？

當(dāng)?shù)牟蛔憬浦祻男∮诘姆较虮平鼤r，的近似值從小于的方向逼近;當(dāng)?shù)倪^剩近似值從大于的方向逼近時，的近似值從大于的方向逼近。所以是一個確定的實數(shù)。在教學(xué)過程中，我們利用計算機操作，感受逼近過程。這部分閱讀材料是為引入指數(shù)函數(shù)做準(zhǔn)備的。

問題10：無理數(shù)指數(shù)冪（a>0，α是一個無理數(shù)）有何意義？有怎樣的運算性質(zhì)？

無理數(shù)指數(shù)冪的意義，是用有理數(shù)指數(shù)冪的不足近似值和過剩近似值無限地逼近以確定大小。一般來說，無理數(shù)指數(shù)冪（a>0，α是一個無理數(shù)）是一個確定的實數(shù)，有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)同樣適用于無理數(shù)指數(shù)冪。

五、教學(xué)反思

以上就是2.2.1分?jǐn)?shù)指數(shù)冪新課的完整教學(xué)內(nèi)容。本課例以問題為導(dǎo)向，處處注意與初中所學(xué)知識作類比，如根式與平方根、立方根的類比，分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與整數(shù)指數(shù)冪的類比，使知識的形成水到渠成，學(xué)生在原有認知的基礎(chǔ)上進行有益的推廣，其學(xué)習(xí)是主動的、積極的，知識形成是自然的，沒有強加之嫌。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生始終處于“我要學(xué)”的狀態(tài)，并自覺去探究新的教學(xué)任務(wù)。整節(jié)課緊緊圍繞“自學(xué)-探究-導(dǎo)學(xué)-拓展”模式展開，很好地體現(xiàn)了“高中數(shù)學(xué)課程以學(xué)生發(fā)展為本，落實立德樹人根本任務(wù)，培育科學(xué)精神和創(chuàng)新意識，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)”的基本理念。

葉圣陶先生曾經(jīng)說過：教是為了不教。這就是說，教師要解決學(xué)生如何去學(xué)習(xí)的問題。這就要求我們的教學(xué)要有針對性，針對性地設(shè)計問題、提出問題及引導(dǎo)學(xué)生解決問題，從而達到有效教學(xué)的目的。由于本節(jié)課是一堂日常課，缺少時間打磨，十個問題的設(shè)計是否最合理，能否優(yōu)化，還有待于備課組同仁的商討及實踐檢驗。在教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的參與度參差不齊，有些學(xué)生已經(jīng)適應(yīng)了“填鴨式”的教學(xué)模式，只專注于記筆記，缺少主動思考與探究，對這部分學(xué)生我們要格外關(guān)注。在今后的教學(xué)實踐中，我們要一如既往踐行葉老的教學(xué)理念，朝著“人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”方向堅定地走下去。