韓平

【摘 要】以一節(jié)類比推理數(shù)學課為例，講解“先行組織者”在數(shù)學教學中的應用方法。

【關鍵詞】高中數(shù)學 類比推理 課例分析

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2016）11B-0097-02

“先行組織者”是美國教育心理學家奧蘇貝爾在1960年提出的一個教育心理學的重要概念，“先行組織者”就是為同化當前知識與原有的認知結構而先于學習任務本身呈現(xiàn)的一種引導性的材料，它在教學中起到相當重要的橋梁作用。2003年教育部制訂的《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》明確指出，倡導積極主動、勇于探究的學習方式。將“先行組織者”教學策略應用于數(shù)學教學中，適合學生認知結構的特點，有助于教師設計教學內(nèi)容、安排教學順序，有助于學生的自主學習、記憶保持、遷移運用。這一種教學策略，能夠提高學生分析問題的能力和解決問題的能力，從而形成高效課堂。本課例是將“先行組織者”教學策略應用于課堂教學的實踐，現(xiàn)將具體的教學過程呈現(xiàn)如下。

【學習目標】

1.了解類比推理的數(shù)學方法含義，以及這種思維方法的過程和特點；

2.運用類比方法進行簡單推理，做出數(shù)學猜想；

3.培養(yǎng)學生的數(shù)學歸納能力，提高學生的創(chuàng)新探索意識；

4.培養(yǎng)學生嚴謹、創(chuàng)新的數(shù)學思維習慣和鍥而不舍的鉆研精神。

【重點難點】

重點：了解類比推理的含義以及數(shù)學中類比思維的過程、特點，能利用類比進行簡單的數(shù)學推理。

難點：運用“觀察—類比—猜想—證明”探求數(shù)學結論。

【課堂片段實錄】

任務1：問題導思

閱讀教材（普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學》選修1-2），P25—27，在理解的基礎上，完成下列知識點的填空。

1.魯班由帶齒的草發(fā)明鋸；人們從蜻蜓的飛行過程發(fā)現(xiàn)直升飛機的飛行原理，仿照魚類外形及沉浮原理發(fā)明潛水艇，在教學中由指數(shù)函數(shù)性質探索發(fā)現(xiàn)對數(shù)函數(shù)的性質。以上都是類比思維，即類比推理。

由兩類對象具有某些________和其中一類對象的某些________，推出另一類對象也具有這些特征的推理稱為類比推理（簡稱類比）。簡言之，類比推理是________的推理。

2.初中在平面幾何中學習的勾股定理：如圖 1 所示，在Rt△ABC 中，a，b，c 為角 A，B，C 所對的邊，則用勾股定理表示為________。

任務 2：合作探究

例1 觀察下列等式：

大家觀察這組式子，他們有什么不同之處？從中可以發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？由此，你能歸納出 Rt△ABC 中三個內(nèi)角的一個性質嗎？這個性質是不是與勾股定理有幾分相似呢？你進而能證明所得到的結論嗎？

【設計意圖】以學生熟悉的兩個式子為“先行組織者”，引入課題，通過探索和發(fā)現(xiàn)，激發(fā)學生學習的興趣。創(chuàng)設一個以學生為主體，師生互動，共同探索的教與學情境，讓學生帶著問題通過自主學習、課堂討論、相互合作等方式，使學生在解決問題的過程中不知不覺地實現(xiàn)知識的傳遞、遷移和融合。

學生小組討論、展示。

A 組的觀點是：由誘導公式得，從而得到在 Rt△ABC 中有；

B 組的觀點是：因為，進而得到在 Rt△ABC 中有。

教師：上面得到的結論與勾股定理在形式上是否相似？你能運用勾股定理來證明這個結論嗎？

【設計意圖】從歸納推理過渡到類比推理。

進入小組討論。

C 組展示做法：由平面內(nèi)直角三角形的勾股定理：，得，從而得到。

教師小結：大家能從勾股定理出發(fā)，用歸納、類比的方法找到相關的性質。其實與勾股定理類似的還有許多數(shù)學性質，例如設 a 邊上的高為 ha ，b 邊上的高為 hb ，c 邊上的高為 hc ， 是否成立？

小組討論后，用特例說明，令 a=3，b=4，c=5，則 ha=4，hb=3，，故結論 明顯不成立。

D 小組認為：通過實驗，等式可能成立，大家可以嘗試利用勾股定理作出說明。

于是，又進入討論環(huán)節(jié)，最終給出了這個性質的證明。

【設計意圖】教師將“先行組織者”設計為勾股定理，設問采用漸進分化策略，降低思維難度，讓學生體會歸納推理的一般步驟，進而讓學生知道歸納推理能夠起到提供研究方向的作用，給出探索的路徑。學生積極主動地參與課堂活動（例如小組討論的形式），體驗歸納推理獲得數(shù)學結論的過程，了解歸納推理的含義，明確歸納推理的一般步驟。

【平行訓練】

（1）如圖 2 左圖所示，設長方形的長和寬分別為 x 和 y，則其對角線 l 的長為：l = ________。

（2）如圖 2 右圖所示，設長方體的長、寬、高分別為 x，y，z，則其體對角線 l 的長為：l =________ 。

【設計意圖】基礎訓練，檢查教學效果。練習題由淺入深，螺旋上升，逐步提高學生的思維能力。

通過討論得到答案（1）；（2）。

由平行練習得到啟發(fā)，我們可以將勾股定理從平面幾何圖形拓展到立體幾何圖形。

例2 （普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學》選修 1-2，P26 例 4 改編）如圖 3 ，在正方形中用直線截得一個 Rt△ABC，同樣在正方體中用平面截得一個三個側面兩兩垂直的四面體。類比平面內(nèi)直角三角形的勾股定理，試給出空間中四面體性質的猜想。

【設計意圖】讓學生通過觀察、感知、分析和歸納，完成由易到難、由淺入深、由已知到未知、由特殊到一般的思維飛躍。思維提示：直角三角形中，∠C=90°，3 條邊的長度為 a，b，c，其中 2 條直角邊 a，b 和 1 條斜邊 c →在 3 個側面兩兩垂直的四面體中，∠ADB=∠ADC=∠BDC=90°，4 個面的面積 ，， 和 ，其中 3 個“直角面”，， 和 1 個“斜面”→ 拓展：三角形到四面體的類比。

E 小組用類比的思想方法得到猜想：

教師：這個結論正確嗎？請同學們證明。

通過學習討論，學生展示了這個性質的證明方法。

【課后評析】

在《普通高中數(shù)學課程標準》中，課程基本理念倡導自主學習、探索學習，指出“高中數(shù)學課程應返璞歸真，努力揭示數(shù)學概念、法則、結論的發(fā)展背景、過程和本質，使學生理解數(shù)學概念產(chǎn)生的背景和逐步形成的過程，體會其中的思想，體驗尋找真理和發(fā)展真理的方法”。數(shù)學既是演繹的科學，也是歸納的科學，因此，數(shù)學已形成一整套結論的體系，而且結論的發(fā)現(xiàn)過程也成為我們教學的主要內(nèi)容。歸納推理是“推理與證明”一章中的重要組成部分，具有探索、發(fā)現(xiàn)和猜測部分數(shù)學結論的作用，有利于學生創(chuàng)新意識的培養(yǎng)，在實際生活中用途很大。類比推理這節(jié)課是以新課標為依據(jù)，結合學?？蒲姓n題“在新課改背景下高中數(shù)學教學中先行組織者策略的實踐與探索”進行課堂教學設計。

在中學數(shù)學教學過程中，我們常常會遇到似曾相識的問題，如果把似曾相識的問題進行對比和比較，或許會發(fā)現(xiàn)許多意外的結果和方法。這種“把類似進行比較、聯(lián)想，由一個數(shù)學對象已知的特殊性質遷移到另一個數(shù)學對象上去，從而獲得另一個數(shù)學對象的性質”的思維方法就是類比法。本節(jié)課通過歸納的方法引出問題，用類比的方法去發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學性質，再用演繹的方法去證明。所提供的問題情境，需要探索性思維和整體性思維。通過學生的觀察和類比，尋找論證方法，給學生提供施展才華、發(fā)展智慧的機會。

教學設計是以學生認知結構中“原有觀念”——勾股定理作為“先行組織者”，用類比的方法去同化和遷移，學習類似的新的數(shù)學知識。例如，在同一平面內(nèi)的類比，通過勾股定理的形式“”，類比得到內(nèi)角的關系“”以及三邊上高的關系“”。又如，從平面到空間的類比，利用長方形的對角線的長“”，推廣到長方體對角線的長“”；由直角三角形三邊的性質“”，拓展到四面體四個面的性質“”。每一次類比或推廣，都是通過學生認知結構中已有的有關觀念去同化和發(fā)現(xiàn)新知。

在課堂教學中突出思維過程，在例題的配置方面，以探索性問題為主；在邏輯思維方面，注意解決問題的方向，充分體現(xiàn)數(shù)學猜想和類比推理在數(shù)學思維中的應用。在教學中運用了小組討論的方法，彰顯學生學習主體地位，充分發(fā)揮學生參與活動的主動性。在課堂上，給學生充分的思維活動空間，盡可能多地依靠學生自己去發(fā)現(xiàn)解題思路和動手作答。這是將“先行組織者”理論運用于課堂教學的一次有益的嘗試。

（責編 盧建龍）