顧聰 張建林

摘? 要：本文通過歸納總結(jié)近年來全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽和中國研究生數(shù)學(xué)建模競賽的賽題和方法，結(jié)合筆者多年的數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)與競賽指導(dǎo)經(jīng)驗，探索出了一條將建模競賽案例融入到課堂教學(xué)與實驗，引導(dǎo)學(xué)生開拓思維，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的實踐道路，形成了以課程為基礎(chǔ)、實驗為訓(xùn)練手段、競賽為實踐平臺的三位一體的工程教育創(chuàng)新能力培養(yǎng)模式。

關(guān)鍵詞：工程教育? 數(shù)學(xué)建模? 創(chuàng)新能力? 案例教學(xué)

中圖分類號：G64 ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：1674-098X（2021）02（c）-0223-04

Research and Practice of Mathematical Modeling Case Teaching on the Cultivation of Students' Innovation Ability Based on Engineering Education Concept

GU Cong? ZHANG Jianlin

（College of Science， Zhongyuan University of Technology， Zhengzhou， Henan Province， 450007 China）

Abstract：This paper summarizes the contest questions and methods of Chinese College Students Mathematical Modeling Competition and the National Graduate Mathematical Modeling Competition in recent years. Combined with many years of teaching experience in mathematical modeling course and training in mathematical modeling competition， this paper explores the practical way of integrating modeling competition cases into classroom teaching experiments， guiding students to develop their thinking， so as to achieve the goal of applying mathematical modeling case teaching to the cultivation of students' innovation ability and engineering education innovation cultivation.

Key Word： Engineering education; Mathematical modeling; Innovation capability; Case teaching

1? 引言

基于高校傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)類公共課和專業(yè)課的教學(xué)內(nèi)容和目標(biāo)，教師常?；ù罅康臅r間和精力在理論知識的傳授上，而在實際應(yīng)用和對學(xué)生實踐能力的培養(yǎng)上著墨不夠。而數(shù)學(xué)建模本身就是應(yīng)用數(shù)學(xué)的語言和方法形成明確的數(shù)學(xué)問題，并用數(shù)學(xué)的方法進(jìn)行求解并檢驗結(jié)果能否說明實際問題、能否進(jìn)行預(yù)測[1]。因此，在數(shù)學(xué)建模課程的教學(xué)過程中，照著現(xiàn)成的教材照本宣科，或是以傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課的教學(xué)模式，老師一人對著全班數(shù)十人滔滔不絕，顯然是無法適應(yīng)建模課程的特點的。

社會和企業(yè)發(fā)展需要技術(shù)強(qiáng)、綜合素質(zhì)高的應(yīng)用型人才，而我國高校應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式尚處于研究時期[2]。工程教育理念要求培養(yǎng)的學(xué)生富有創(chuàng)新精神和實踐能力，同時有團(tuán)隊合作與溝通交流能力，能夠在跨學(xué)科團(tuán)隊中承擔(dān)團(tuán)隊成員及負(fù)責(zé)任的角色，更加強(qiáng)化創(chuàng)新能力培養(yǎng)，努力培育工程科技領(lǐng)域的創(chuàng)新人才[3]。在這一目標(biāo)上，工程教育理念與數(shù)學(xué)建模實踐活動完全契合，數(shù)學(xué)建模競賽不僅要求學(xué)生具有理論聯(lián)系實際的創(chuàng)新實踐能力，更講求團(tuán)隊合作精神。

本文筆者在總結(jié)多年的數(shù)學(xué)建模課程教學(xué)與數(shù)學(xué)建模競賽輔導(dǎo)的經(jīng)驗之下，探索出了將建模競賽案例融入課堂教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生開拓思維，從而達(dá)到將數(shù)學(xué)建模案例教學(xué)用于學(xué)生創(chuàng)新能力培養(yǎng)并實現(xiàn)工程教育創(chuàng)新培養(yǎng)目標(biāo)的實踐道路。

2? 近年數(shù)學(xué)建模競賽的題目和方法

數(shù)學(xué)建模競賽的全程式和漸進(jìn)性開展，可以有效開拓大學(xué)生的專業(yè)視野，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)主動性，培養(yǎng)創(chuàng)新意識，提高解決實際問題的能力，全面提升高等教育教學(xué)質(zhì)量[4]。全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽始辦于1992年，迄今已有近30年歷史，已成為全國高校規(guī)模最大的基礎(chǔ)性學(xué)科競賽。

從近幾年的大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題目可以看出，A題基本上考察的是學(xué)生運用數(shù)學(xué)、物理和其他工程學(xué)工具建立模型和變成求解的能力;而B題一般來說會側(cè)重于考察學(xué)生對于數(shù)據(jù)的收集和統(tǒng)計，進(jìn)而用建立的模型結(jié)合統(tǒng)計方法加以分析的能力。從2019年起，更是將本科組的題目由兩個增加為3個，多出的C題是以人文、社科（包括經(jīng)管）為背景，以增加題目背景的覆蓋面。

相比本科生競賽而言，研究生競賽的題目則更加多元化，用到的方法也更為復(fù)雜，而且大多需要結(jié)合計算機(jī)編程甚至智能算法來解決。全國研究生數(shù)學(xué)建模競賽的賽題中包含了基因識別、無人機(jī)協(xié)同任務(wù)規(guī)劃、高速公路質(zhì)量、反導(dǎo)問題、全球變暖等多領(lǐng)域多學(xué)科的前沿問題，參加競賽的研究生3人組在4d之內(nèi)也可以做出一些富有價值的結(jié)果，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建?；顒訉W(xué)生的創(chuàng)造性的激發(fā)作用。

無論是大學(xué)生還是研究生數(shù)學(xué)建模競賽的賽題均呈現(xiàn)出以下特點：

（1）對學(xué)生的計算機(jī)能力提出了更高的要求，賽題的解決依賴計算機(jī)，題目的數(shù)據(jù)較多，模型復(fù)雜，手工計算不能完成，需要計算機(jī)編程、模擬和以算法形式給出最終結(jié)果;

（2）賽題的開放性增大，一道賽題可用多種解法，開放性還表現(xiàn)在對模型假設(shè)和對數(shù)據(jù)處理上;

（3）賽題向大規(guī)模數(shù)據(jù)處理方向發(fā)展，求解算法需要和各類現(xiàn)代算法相融合，越來越多地向大數(shù)據(jù)和人工智能相關(guān)領(lǐng)域延伸。

傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模教材多是以不同的建模方法作為章節(jié)，例如微分方程方法、插值擬合方法、線性規(guī)劃方法、回歸分析方法、圖論方法等。學(xué)生受到此類教材的影響，遇到問題更多的是套方法，而忽略了方法之間的內(nèi)在聯(lián)系，限制了創(chuàng)造性的發(fā)散思維。

3? 以數(shù)學(xué)建模競賽案例應(yīng)用于實踐教學(xué)

一個典型的數(shù)學(xué)建模問題可以分解為如下步驟：（1）根據(jù)問題選擇合適的數(shù)學(xué)模型;（2）數(shù)據(jù)的收集與分析;（3）模型的建立與求解;（4）模型的評價與推廣。其中第一步最為關(guān)鍵往往也最困難，如何判斷這類問題究竟該選擇怎樣的數(shù)學(xué)模型，除了考察學(xué)生對模型的掌握廣度，更是需要研讀大量的案例加以歸納總結(jié);數(shù)據(jù)的收集和分析，常常需要借助專業(yè)網(wǎng)站和統(tǒng)計軟件來完成，不僅需要數(shù)據(jù)和文獻(xiàn)的檢索能力，還要掌握一定的統(tǒng)計分析方法;模型的建立是建立在選擇了合適的數(shù)學(xué)模型，并掌握了所需要的數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上的，而模型的求解需要通過計算機(jī)編程實現(xiàn);最后一步模型的評價與推廣，是最容易被忽略的環(huán)節(jié)，但又必不可少，實際上再好的模型都有可待改進(jìn)的空間，同一類方法也有其他適用來解決的問題。

下面，我們選取幾個典型的數(shù)學(xué)建模競賽題目為例，來看如何將競賽案例應(yīng)用于實踐教學(xué)，從而激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

3.1 “互聯(lián)網(wǎng)+”時代的出租車資源配置

搜集相關(guān)數(shù)據(jù)，建立數(shù)學(xué)模型，研究以下問題：

（1）建立合理的指標(biāo)，并分析不同時空出租車資源的“供求匹配”程度;

（2）分析各公司的出租車補貼方案是否對“緩解打車難”有幫助;

（3）如果要創(chuàng)建一個新的打車軟件服務(wù)平臺，我們應(yīng)該設(shè)計什么樣的補貼方案，并論證其合理性。

在該題目表述中，從關(guān)鍵詞“指標(biāo)”入手，尋找合適的數(shù)學(xué)模型。在常用的數(shù)學(xué)模型中，涉及到指標(biāo)選取的包括回歸分析、主成分分析、聚類分析等方法，根據(jù)數(shù)據(jù)特征可做進(jìn)一步的篩選;其次，補貼方案是否有幫助，這其實也是一個需要選取合適的參數(shù)進(jìn)行研判的問題，與第一問緊密相連;最后一問則是需要建立在前面兩個問題解決的基礎(chǔ)上，帶有一定的開放性。

在案例教學(xué)中，首先通過上述方向?qū)W(xué)生加以引導(dǎo)，并采取分小組討論的方式讓學(xué)生們展開頭腦風(fēng)暴，盡可能多的提出該問題可能用到的模型方法和算法;再按照不同的模型方法，學(xué)生進(jìn)行自愿分組，利用周末的時間拿出大綱式的解決方案;然后各組學(xué)生各自講解不同的模型方法對于該問題的解決方案，互相交流打分，選出其中最適合解決該問題的模型;其他小組也在此過程中，總結(jié)他們選的模型方法為什么對該問題不適用或者效果不好;最后，由教師向?qū)W生分享與講解優(yōu)秀獲獎建模論文的方式完成該問題的完整實訓(xùn)過程。

最終被票選出的方案對這個問題得出的結(jié)論是：主要是解決“互聯(lián)網(wǎng)+”時代的出租車資源配置問題，通過主成分分析對不同時空出租車資源的供求匹配進(jìn)行分類;利用模糊綜合評價說明補貼方案對緩解打車難有幫助;建立多目標(biāo)優(yōu)化模型，得出新的補貼方案。他們主要用到了3種模型，即主成分分析、模糊綜合評價和多目標(biāo)優(yōu)化模型。

3.2 小區(qū)開放對道路通行的影響

應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的思想與方法解決以下問題：

（1）應(yīng)用所學(xué)知識，選取合適的評價體系，評價開放式的小區(qū)對周邊道路通行的影響;

（2）建立關(guān)于車輛通行的數(shù)學(xué)模型，來討論研究一下小區(qū)的開放政策對周邊道路通行能力的影響;

（3）小區(qū)開放產(chǎn)生的效果，可能會與小區(qū)的結(jié)構(gòu)以及周邊的道路結(jié)構(gòu)、車流量有關(guān)。應(yīng)用建立的模型，定量比較各類型小區(qū)開放前后對道路通行的影響;

（4）根據(jù)研究的結(jié)果，從交通通行的角度，向城市規(guī)劃和交通管理部門提出你們關(guān)于小區(qū)開放的合理化建議。

在題目表述中提取“評價體系”作為關(guān)鍵詞，尋找數(shù)學(xué)模型，容易想到的模型包括模糊綜合評價、層次分析法、主成分分析等;第二問是在第一問的基礎(chǔ)上，將選取的指標(biāo)放進(jìn)建立的模型中，并評估影響;第三問又進(jìn)一步考察學(xué)生收集數(shù)據(jù)和應(yīng)用模型的能力;最后還要給出政策建議，這種方式在美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽中更為常見。

在此例的練習(xí)中，重點訓(xùn)練學(xué)生的收集數(shù)據(jù)和分析數(shù)據(jù)的能力，尤其是在選擇了數(shù)學(xué)模型并求解之后，如何對模型的效果進(jìn)行分析，以及如何在結(jié)果的基礎(chǔ)上給出建議，這實際上是對模型的評價與推廣的進(jìn)一步延伸。由于小區(qū)的內(nèi)部交通情況數(shù)據(jù)很難獲取，學(xué)生們開闊思路想了很多的解決辦法。其中一組優(yōu)秀的學(xué)生，利用了元胞自動機(jī)模型加上VISSIM仿真軟件來進(jìn)行仿真，通過模擬數(shù)據(jù)來分析小區(qū)開放的效果。這都是平時理論教學(xué)中從未涉及過的方法和軟件，體現(xiàn)了學(xué)生在練習(xí)中的創(chuàng)新能力。

3.3 “拍照賺錢”任務(wù)定價模式的分析

“拍照賺錢”是移動互聯(lián)網(wǎng)下的一種自助式服務(wù)模式。用戶下載APP，注冊成為APP的會員，然后從APP上領(lǐng)取需要拍照的任務(wù)（比如上超市去檢查某種商品的上架情況），賺取APP對任務(wù)所標(biāo)定的酬金。

根據(jù)題目中給出的已結(jié)束項目的任務(wù)數(shù)據(jù)、會員信息數(shù)據(jù)以及一個新的檢查項目任務(wù)數(shù)據(jù)，通過分析和建立數(shù)學(xué)模型解決以下問題：

（1）研究項目的任務(wù)定價規(guī)律，分析任務(wù)未完成的原因。

（2）為項目設(shè)計新的任務(wù)定價方案，并和原方案進(jìn)行比較。

（3）考慮將一些位置相近的任務(wù)聯(lián)合在一起打包發(fā)布，可能因為位置比較集中，導(dǎo)致用戶會爭相選擇。因此對此方案進(jìn)行相應(yīng)的修改，使得方案更加合理。

（4）對新項目給出新的任務(wù)定價方案，并評價該方案的實施效果。

移動互聯(lián)網(wǎng)下的新興事物，在近幾年的數(shù)學(xué)建模競賽中已多有體現(xiàn)，前有共享單車問題，后有滴滴打車問題。這道賽題相比前兩年的題目來說，則更加貼近學(xué)生的認(rèn)知。但此題對于數(shù)據(jù)分析的要求更高，數(shù)據(jù)量大、維度高，首先需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行降維，才可以得出規(guī)律。

在這個問題的練習(xí)求解過程中，著重引導(dǎo)學(xué)生避免思維定式，不要一看到需要降維，就只能想到主成分分析、因子分析，要積極開拓思維。所以在給學(xué)生布置任務(wù)時，特別提出要選擇不同的分析方法。最終，在學(xué)生完成的解決方案中，欣喜地看到了諸如K-means聚類、支持向量機(jī)、熵值法、物元可拓等新穎的方法出現(xiàn)[5-6]。

4? 結(jié)語

我們在基于大量類似上述數(shù)學(xué)建模案例教學(xué)和實訓(xùn)中，根據(jù)學(xué)生的實際情況，編寫了自己的特色講義，以案例為特色，體現(xiàn)出對案例的思考分析、規(guī)律尋找、模型建立和求解，從中提煉出所涉及的數(shù)學(xué)方法，讓學(xué)生不僅要了解常用的數(shù)學(xué)建模方法，更要掌握如何在實際問題中使用這些方法。

工程教育的培養(yǎng)大綱將工科類畢業(yè)生的能力分為工程基礎(chǔ)知識、個人能力、人際團(tuán)隊能力和工程系統(tǒng)能力四個層面，大綱要求以綜合的培養(yǎng)方式使學(xué)生在這四個層面達(dá)到預(yù)定目標(biāo)。為了實現(xiàn)工程教育創(chuàng)新培養(yǎng)目標(biāo)，針對工科數(shù)學(xué)建模課程和實驗體系，強(qiáng)化案例問題的工程性和專業(yè)性，突出實驗教學(xué)的設(shè)計性和創(chuàng)新性，結(jié)合數(shù)學(xué)建模競賽等科技實踐活動，已構(gòu)建形成了以課程為基礎(chǔ)、實驗為訓(xùn)練手段、競賽為實踐平臺的三位一體的數(shù)學(xué)建模創(chuàng)新能力培養(yǎng)模式。

參考文獻(xiàn)

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