郜舒竹

【摘? ?要】我國數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中將“比”視為除法運算，由此帶來的疑惑是：有了除法，為什么還要學(xué)比？通過古今中外文獻梳理，發(fā)現(xiàn)比具有“關(guān)系”和“運算”兩種意義，從這兩種意義得到比與比例和正比例的關(guān)系。進一步發(fā)現(xiàn)“比是關(guān)系”的意義與“比是除法”的意義的差別和聯(lián)系。進而提出在數(shù)學(xué)課程設(shè)計與實施中應(yīng)將“比是關(guān)系”與“比是除法”綜合對待，讓學(xué)生有機會經(jīng)歷“比是關(guān)系”的認知過程。

【關(guān)鍵詞】比;比例;正比例;除法

“比（Ratio）”作為小學(xué)數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容，在我國小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中通常安排在六年級分數(shù)乘、除運算之后。人教版教材六年級上冊中，對“比”的定義為“兩個數(shù)的比表示兩個數(shù)相除”。這樣的表述是將“比”視為運算，運算的對象指向“數(shù)”，運算的過程等同于“除”，這或許也是將比的認識安排在分數(shù)乘、除運算之后的原因。

按照這樣的認識，“12∶4”與“12[÷]4”只是符號和相關(guān)名稱進行了更改，除法算式中的“被除數(shù)”改為比的“前項”，除號“[÷]”改為比號“∶”，“除數(shù)”改為比的“后項”，除法的結(jié)果“商”改為“比值”，“12除以4”的讀法改為“12比4”。由此自然帶來教學(xué)中的疑惑：已經(jīng)有了除法，為什么還需要比？

一、“比”的歧義

從歷史的視角看，比最初的意義并不是算術(shù)中的除法運算，而是幾何中量之間的“關(guān)系（Relation）”。隨著算術(shù)與幾何的融通，比的想法逐漸從幾何進入算術(shù)，開始出現(xiàn)算術(shù)運算的意義。

“比”并不指向類似于高山、河流、石頭、動物、桌椅、水杯等客觀存在并且可以感知到的對象，因此比不是一個自外而內(nèi)，對客觀事物進行抽象所形成的“概念（Concept）”，而是人“心智（Mind）”中自內(nèi)而外的主觀“生成（Poietic）”。這種心智生成的對象在英文中通常用詞匯“Idea”表達，與中文“想法”或“主意”的意義接近。

比的想法與幾何中度量（Measurement）的活動密切相關(guān)，度量實際就是比較，比較自然會出現(xiàn)相同和不同的對象。幾何中的度量對象主要包括線、面、體、角，相應(yīng)的說法為長度、面積、體積和角的大小。比如兩條直線段，如果二者通過移動能夠重合，就說二者關(guān)系是相同或等價。如果不相同，就用短者重復(fù)度量長者，直到短者超過長者，此時就說二者存在可比性，也就是存在“比（Ratio）”，這里所說的“存在”，不是客觀世界中事物的存在，而是心智中生成的想法。

古希臘歐幾里得的《原本（Elements）》第五卷中，將比定義為“同類量之間的關(guān)系”[1]。其中的“同類量”，指的是長度和長度之間存在比，長度和面積屬于異類量，二者之間不可比，也即不存在比，同樣，長度與角之間也不存在比。

后人在對這一定義解讀的過程中，出現(xiàn)了許多不同的說法。17世紀英國數(shù)學(xué)家約翰·沃利斯（John Wallis，1616—1703），認為應(yīng)當(dāng)用算術(shù)的運算來認識這樣的關(guān)系，理由是幾何中的度量離不開算術(shù)的運算，比如將幾何中3英尺的長度和2英尺的長度合并，得到5英尺，就需要算術(shù)中的加法運算“3+2=5”。沃利斯反對將幾何視為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，認為算術(shù)是所有數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。當(dāng)然這一觀點當(dāng)時也有許多反對的意見。[2]

19世紀英國數(shù)學(xué)家德·摩根（Augustus de Morgan，1806—1871），認為歐幾里得《原本》中關(guān)于“比是關(guān)系”的說法過于籠統(tǒng)，是“無意義（Nonsense）”的定義，應(yīng)當(dāng)用“包含（Contain）”表述這樣的關(guān)系。兩條線段長度的比，實質(zhì)是看較長的線段包含多少次較短的線段，或較短線段含于較長線段多少次[3]。

諸如此類的認識，使得比從幾何領(lǐng)域逐漸進入了算術(shù)，而且與算術(shù)中除法運算的被除數(shù)包含除數(shù)的意義非常接近，因此在算術(shù)中往往把比與除法等同看待?？梢哉f，自古以來關(guān)于比的認識就存在爭議，因此其意義也存在歧義。主要表現(xiàn)為兩種，一種是“關(guān)系說（Doctrine of relation）”，即“比是關(guān)系”;另一種是“運算說（Doctrine of Operation）”，即“比是除法”。

這樣的歧義也反映在我國算術(shù)教科書中。清朝末期由日本數(shù)學(xué)家樺正董原著，周京翻譯，上海科學(xué)編譯書局于1908年印行的《算術(shù)教科書》，在當(dāng)時流行甚廣，其中是用實例的方式描述比的意義。

例如求12為4之幾倍或為幾分之幾則以4除12知為3。又例如求12為18之幾倍或為幾分之幾則以18除12知為[1218]即[23]。如斯表一數(shù)當(dāng)他數(shù)之幾倍，或當(dāng)幾分之幾之?dāng)?shù)，謂之一數(shù)對于他數(shù)之比。

其中將比的意義表述為算術(shù)中的除法運算，比等同于求一個數(shù)除以另一個數(shù)的運算結(jié)果。民國時期，由當(dāng)時民國教育部審定，商務(wù)印書館1922年印行，駱師曾編著的《新算術(shù)（第六冊）》中，將比定義為：

取甲數(shù)與乙數(shù)比較，而求其為乙數(shù)之幾倍或幾分之幾，此種關(guān)系曰甲數(shù)對于乙數(shù)之比。

這一定義是將“比”視為兩數(shù)之間的關(guān)系，而關(guān)系是用除法運算進行表達，綜合了對“比”的兩種認識，但仍偏重除法運算的意義。新中國成立后，人民教育出版社于1961年出版的十年制小學(xué)課本《算術(shù)（第十冊）》中，對“比的意義”是用長方形長與寬的關(guān)系引出的。

我們常常要比較兩個數(shù)量的倍數(shù)關(guān)系。例如，一面紅旗，長6分米，寬4分米，要比較長是寬的幾倍或者寬是長的幾分之幾，可以這樣算：

6分米[÷]4分米=[112]

4分米[÷]6分米=[23]

在此基礎(chǔ)上引出比的定義：

有時我們不說長是寬的幾倍或?qū)捠情L的幾分之幾，只說長和寬的比或?qū)捄烷L的比是多少，例如上面的例子，就說長和寬的比是6比4，記作6∶4，寬和長的比是4比6，記作4∶6。

同樣是將比的意義定位于關(guān)系，表達關(guān)系的方法是除法運算以及運算結(jié)果。2006年，人民教育出版社依據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（實驗稿）》，編輯出版的《義務(wù)教育課程標準實驗教科書數(shù)學(xué)（六年級上冊）》中，摒棄了“比是關(guān)系”的意義，明確指出“兩個數(shù)相除又叫作兩個數(shù)的比”，將比等同于算術(shù)中的除法運算，這樣的認識沿用至今。

綜上，比的意義經(jīng)歷了逐步進化的過程，最初的認識是幾何中同類量之間的關(guān)系，逐漸發(fā)展為與算術(shù)中的除法運算建立聯(lián)系，除法運算成為表達這種關(guān)系的方法。為了進一步理解“比是關(guān)系”的意義，再來看看同類量之間的比是如何進化為異類量之間的比的。

二、從“同類量”到“異類量”

先看一個實例：一條線段AB，其中E點是線段的中點，將線段AB平均分為兩個部分：AE和EB（如圖1）。

此時可以感知到這兩個部分線段的長度相等，即AE=EB。如果關(guān)注整體與局部的關(guān)系，那么就可以想到整體AB的長度是一個部分AE（或EB）長度的2倍。反過來看，其中一個部分的長度就是整體長度的一半（或[12]），用比的符號表達就是AB∶AE=2∶1;AB∶EB=2∶1;AE∶AB=1∶2;EB∶AB=1∶2。

如果改變看法，關(guān)注局部與局部的關(guān)系，就得到AE∶EB=1∶1。

這里出現(xiàn)的比都屬于線段“長度與長度”的比，是同類量之間的比。在此基礎(chǔ)上，可以進一步探討長度之間的比與面積之間的比的關(guān)系，也就是比與比的關(guān)系。將一張長方形紙ABCD對折，折痕是線段EF（如圖2）。

這時視覺中的長方形被折痕EF平均分為兩個部分，如果把長方形ABCD視為整體，那么長方形AEFD與EBCF就是構(gòu)成這一整體的兩個局部。此時相應(yīng)的面積與線段AB的長度之間出現(xiàn)了類似的關(guān)系。

局部與局部的關(guān)系：面積AEFD∶面積EBCF=1∶1

面積之間的比與圖1中線段AB的長度之間的比是一樣的，因此就得到長度之間的比與面積之間比的關(guān)系。

面積ABCD∶面積AEFD=長度AB∶長度AE

面積ABCD∶面積EBCF=長度AB∶長度EB

面積AEFD∶面積EBCF=長度AE∶長度EB

像這樣比與比之間的相等關(guān)系，也叫作“比例（Proportion）”1。因此可以說比例成為溝通兩個比之間關(guān)系的橋梁，進而也成為溝通像長度和面積這兩個異類量之間關(guān)系的橋梁，使得異類量之間的比成為可能。比如圖2中就出現(xiàn)了面積比與長度比的相等（等價）關(guān)系。

面積AEFD∶面積EBCF=長度AE∶長度EB

表達的是面積與面積的比等于長度與長度的比，這樣的關(guān)系也可以表示為面積與長度的比等于面積與長度的比。

面積AEFD∶長度AE=面積EBCF∶長度EB

“面積AEFD∶長度AE”的前項是面積，后項是長度，用整數(shù)除法包含或平分的意義，就難以解釋面積除以長度“[面積AEFD÷長度AE]”的意義。由此表明，“比是關(guān)系”的說法，不能用除法的意義完全取代。

兩個異類量之間比的出現(xiàn)，是在歐幾里得《原本》中同類量之間存在比的基礎(chǔ)上進化的，這樣的進化使得表達異類量之間關(guān)系成為可能，正是這樣異類量之間比的關(guān)系使得“率（Rate）”以及正比例的想法得以生成。

三、率與正比例

“率”是表達異類量之間關(guān)系的說法，也可以認為是異類量之間通過除法運算所得到的比值。一個典型的例子是運動的“速度（Velocity）”，速度是人的感覺器官無法感知的，如果把一個物體的運動視為是一個變化過程，人能夠感知到的是運動物體空間位置的變化以及距離遠近的異同，也能感知到同時以及先后的差異，也就是經(jīng)過時間長短的異同，但這些都不是速度，而是運動物體空間與時間意義的位置差異與先后順序的不同。

距離的差異無論遠近，變化前和變化后的屬性不會改變，仍然是距離;時間也是如此，無論長短如何變化，都是時間。因此距離和時間都是具有可加性的量，稱為“延展量（Extensive Quantity）”，延展量具有較強的客觀性，具有易于感知的特點。距離的遠近屬于空間中的量，先后或長短屬于時間的范疇，因此距離和時間不同類，是異類量。

運動與運動之間的一種關(guān)系是快與慢的比較，歷史上人們對快與慢最初的認識不是量，而是運動的屬性，屬于“質(zhì)（Quality）”的范疇。無論是快還是慢，是人通過空間意義的距離以及時間意義的先后進行比較而生成的想法。比如，如果看到相同時間運動相同距離，自然想到快慢程度相同，即速度相同;如果相同時間運動距離較遠（近）者，那么運動速度較快（慢）。

因此運動的快慢程度，是由運動距離遠近與運動時間長短之間的關(guān)系決定的。因為距離的遠近與時間的長短是異類量，如果把比視為同類量之間的關(guān)系，那么距離與時間之間不存在比。中世紀的歐洲，曾經(jīng)出現(xiàn)了“質(zhì)的量化（Quantification of Quality）”的思潮，將諸如冷與熱、快與慢、亮與暗等質(zhì)性進行量化[4]，這樣的量化自然需要運用比和比例的想法。

14世紀法國著名的哲學(xué)家、科學(xué)家尼克爾·奧里斯姆（Nicole Oresme，約1320—1382），用長方形模型（Configuration）表達勻速運動各個量之間比的關(guān)系（如圖3）。

圖3中“橫向線段（Longitude）”DC表示運動經(jīng)過時間，“縱向線段（Latitude）”EF表示運動的快慢程度，也就是速度。這樣一來，運動距離就可以用時間與速度所構(gòu)成的長方形AEFD的面積表示[5]。在這個長方形模型中，運動的距離、時間和速度之間的關(guān)系就轉(zhuǎn)化為幾何中量之間的關(guān)系了，這些關(guān)系就可以運用幾何中量之間的比和比例表達了。

利用長方形面積與邊長之間的關(guān)系“長[×]寬=面積”，就可以得到“速度[×]時間=距離”，同樣從“面積[÷]寬=長”可以得到“距離[÷]時間=速度”，實現(xiàn)了運動快慢屬性的量化。因而速度也成為一種量，是運動距離與運動時間這兩個異類量之間的比，這樣的比是通過除法運算得到的，表達的是運動快慢“程度（Degree）”的質(zhì)性特征。這種表達程度的比或比值，也叫作“率（Rate）”。區(qū)別于具有可加性的廣延量，這樣表達變化程度的量，具有自內(nèi)而外的生成性，因此稱之為“‘強度量或‘內(nèi)包量（Intensive Quantity）”。這一說法源于18世紀德國哲學(xué)家伊曼努爾·康德（Immanuel Kant，1724—1804）[6]。

19～20世紀英國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家、歷史學(xué)家、文學(xué)家羅素（Bertrand Arthur William Russell，1872—1970），在論及廣延量和強度量之間的區(qū)別時指出，人對廣延量的認知是依賴感官的“感覺（Sensation）”，對強度量的認識是依賴身體和心智的“感受（Feeling）”[7]。前者是自外而內(nèi)的認知過程，后者偏向于自內(nèi)而外的認知過程。

一個物體的勻速運動，距離和時間協(xié)同變化、可長可短，因此運動距離和時間都不能成為運動的本質(zhì)屬性。刻畫勻速運動本質(zhì)屬性的量自然應(yīng)當(dāng)是運動過程中保持不變的強度量，即速度。有了這個不變的速度，距離和時間二者的變化規(guī)律就得以確定，這樣的規(guī)律英文通常表達為“In Proportion” 或“Proportional”，是“成比例”的意思。這樣的說法在語境中是形容詞的意義，形容兩類變量協(xié)同變化過程中之間的比，也就是率是固定不變的。對于勻速運動就可以說，運動距離與運動時間是成比例的關(guān)系，意味著二者的比值（速度）是固定不變的，也叫“常量（Constant）”。

漢語中所說的“正比例”對應(yīng)的英文是“Direct Proportion”或“Direct Ratio”，意為“直接的比例”，同樣表達兩類變量協(xié)同變化過程中成比例的關(guān)系，與成比例的說法基本同義。比如商品交易中如果“單價”確定，那么購買數(shù)量與花費金額就是正比例關(guān)系。工程問題中如果“效率”確定，工作量與工作時間是正比例關(guān)系，等等。

異類量之間正比例關(guān)系的一個重要應(yīng)用，是將具有正比例關(guān)系的兩類量相互替代。比如對于“角”的度量，也就是如何對角張開的大小程度進行描述。

如果把圖4中的角AOB，視為線段OA圍繞O點按順時針方向旋轉(zhuǎn)到OB得到的，這時A點的運動軌跡就是一條圓弧[AOB]，其長度用L表示。直觀可以看出，角AOB張開程度的大小與弧線L的長度具有協(xié)變關(guān)系，而且不難發(fā)現(xiàn)這個協(xié)變關(guān)系是正比例關(guān)系。

如圖5所示，如果將90度角擴大4倍，成為圓周角360度，那么對應(yīng)的弧長就從圓周長的[14]同時擴大4倍變?yōu)閳A周長。也就是角擴大或縮小多少倍，弧線長度也隨之?dāng)U大或縮小多少倍。

因此在中學(xué)數(shù)學(xué)三角函數(shù)的內(nèi)容中，通常用“[2π]”表示圓周角，“[π]”表示平角。事實上，[2π]原本并不是度量角大小的，而是長度，是單位圓（半徑為1的圓）的周長，[π]是半徑為1的半圓的周長，是用單位圓的弧長替代角的大小的表達，其原因就是弧線長度與圓心角大小的正比例關(guān)系。

其中所出現(xiàn)的比和比例，比如“2[π]∶[360°=π]∶[180°]”或?qū)憺榉謹?shù)形式“[2π360°=π180°]”，只能通過“比是關(guān)系”進行解釋，而無法用“比是運算”進行理解，無論是“長度除以角度”還是“角度除以長度”，都是難以圓說的。

從比的關(guān)系說和運算說的關(guān)系來看，首先應(yīng)當(dāng)承認二者的不同。關(guān)系說強調(diào)自內(nèi)而外主觀的看法和想法，追求個性和多樣。運算說強調(diào)自外而內(nèi)的做法和寫法，追求過程的簡潔和結(jié)果的準確。當(dāng)然二者也不是非此即彼的排斥關(guān)系，而是相互補充、相互依賴的關(guān)系。

關(guān)于比的課程設(shè)計與實施，試圖用“比是除法”概括比的意義是不妥當(dāng)?shù)?，?yīng)當(dāng)更加全面地呈現(xiàn)比的意義，讓學(xué)生不僅體會比的運算意義，更有機會認識到“比是關(guān)系”。

美國加利福尼亞麥克勞出版社于2008年出版的數(shù)學(xué)教科書《加州數(shù)學(xué)》，其中對“比”的定義為“比是運用除法對兩個量的比較”。[8]這個定義綜合了比的關(guān)系說和運算說兩種意義，將比視為比較的認知活動，將除法運算視為比較的工具或手段。也就是說，比首先不是運算，是對事物之間量的比較的過程，比較過程中發(fā)現(xiàn)關(guān)系，而后對關(guān)系進行表達，運算是這一過程中可能使用的工具和方法。

參考文獻：

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（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院? ?100048）