一、單項(xiàng)選擇題

1.在長(zhǎng)方體ABCD A1B1C1D1中,M,N分別為C1D1,AB中點(diǎn),AB＝4,則MN與平面ADD1A1的距離為( )

2.在正方體ABCD-A1B1C1D1各個(gè)表面的對(duì)角線中,與AD1所成角為60°的有( )

A.4條 B.6條

C.8條 D.10條

A.30° B.60°

C.45° D.90°

4.棱長(zhǎng)為1 的正方體ABCDA1B1C1D1中,M為BC中點(diǎn),則直線D1M與平面ABCD所成角的正切值為( )

(第4題)

5.三棱柱ABC-A1B1C1的底面是正三角形,側(cè)棱與底面垂直,若AB＝2,AA1＝1,則點(diǎn)A到平面A1BC的距離為( )

6.已知A,B,C為球O的球面上的三個(gè)點(diǎn),且AB＝BC＝AC,⊙O1為△ABC的外接圓,若⊙O1的面積為4π,球O的表面積為64π,則O到平面ABC的距離為( )

7.已知四面體ABCD中,AB,BC,BD兩兩垂直,BC＝BD＝,AB與平面ACD所成角的正切值為,則點(diǎn)B到平面ACD的距離為( )

8.將正方形ABCD沿對(duì)角線BD對(duì)折,使得平面ABD⊥平面BCD,有以下命題:①AC⊥BD,②△ADC為等邊三角形,③AB,CD所成角為60°,④AB與平面BCD所成角為60°,則下列正確的選項(xiàng)為( )

A.②③④ B.①②③

C.①②④ D.①③④

9.已知直四棱柱ABCD A1B1C1D1的棱長(zhǎng)均為2,∠BAD＝60°,那么以D1為球心，為半徑的球面與側(cè)面BCC1B1的交線長(zhǎng)為( )

10.(多選題)如圖,設(shè)正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2,E為A1D1的中點(diǎn),F為CC1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),設(shè)由點(diǎn)A,E,F構(gòu)成的平面為α,則( )

(第10題)

A.平面α截正方體的截面可能是三角形

B.當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C1重合時(shí),平面α截正方體的截面面積為

C.點(diǎn)D到平面α的距離的最大值為

D.當(dāng)F為CC1的中點(diǎn)時(shí),平面α截正方體的截面為五邊形

11.(多選題)點(diǎn)C,D是平面α內(nèi)的兩個(gè)定點(diǎn),CD＝2,點(diǎn)A,B在平面α的同一側(cè),且AC＝2BC＝4.若AC,BC與平面α所成的角分別為則下列關(guān)于四面體ABCD的說法中,正確的是( )

A.點(diǎn)A在空間中的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)圓

B.△ABC面積的最小值為2

C.四面體ABCD體積的最大值為

D.當(dāng)四面體ABCD的體積達(dá)最大時(shí),其外接球的表面積為20π

二、填空題

12.如圖,正四面體ABCD中,異面直線AB與CD所成的角為________,直線AB與底面BCD所成角的余弦值為________.

(第12題)

13.正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB＝2,AA1＝,D為棱A1B1的中點(diǎn),則異面直線AD與CB1所成角的大小為________.

14.如圖,平行六面體ABCDA1B1C1D1中,AB＝5,AD＝3,AA1＝7,∠BAD＝∠BAA1＝∠DAA1＝,則AC1的長(zhǎng)為________.

(第14題)

15.如圖,在棱長(zhǎng)為1的正方體AC1中,點(diǎn)E,F分別是棱BC,CC1的中點(diǎn),P是底面ABCD上(含邊界)一動(dòng)點(diǎn),滿足A1P⊥EF,則線段A1P長(zhǎng)度的最小值為________.

(第15題)

三、解答題

16.如圖,已知A,C是以BD為直徑的球O表面上兩點(diǎn),二面角A-BD-C大小為120°,BA＝BC＝2,AC＝3.

(1)證明:BD⊥AC；

(2)求直線AD與平面AOC所成角的正弦值.

(第16題)

17.如圖,四邊形ABCD是正方形,PA⊥平面ABCD,PA＝AD＝2,M,N分別是AB,PC的中點(diǎn).

(1)求證:平面MND⊥平面PCD；

(2)求點(diǎn)P到平面MND的距離.

(第17題)

18.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,P,O分別為AC,A1C1的中點(diǎn),PA1＝PC1＝

(1)求證:PO⊥平面A1B1C1；

(2)求二面角B1-PA1-C1的余弦值.

(第18題)

19.如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD是等邊三角形,四邊形ABCD是矩形,F為棱PA上一點(diǎn),且AF＝λAP(0＜λ＜1),M為AD的中點(diǎn),四棱錐P-ABCD的體積為

(1)若λ＝,N是PB的中點(diǎn),求證:平面MNF∥平面PCD；

(2)是否存在λ,使得平面FMB與平面PAD所成的二面角余弦的絕對(duì)值為如果存在,求出λ的值；如果不存在,說明理由.

(第19題)

20.如圖是矩形ABCD和以邊AB為直徑的半圓組成的平面圖形,AB＝2AD＝2a.將此圖形沿AB折疊,使平面ABCD垂直于半圓所在的平面.若點(diǎn)E是折后圖形中半圓O上異于A,B的點(diǎn).

(1)證明:EA⊥EC；

(2)若異面直線AE和DC所成的角為,求三棱錐D-ACE的體積.

(第20題)

21.如圖1,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠BAD＝90°,AD＝CD＝AB,E為AB中點(diǎn),以DE為折痕把△ADE折起,使點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)P的位置,如圖2所示.

(1)證明:DE⊥PC；

(2)若PC＝PD,求平面PBE與平面PCD所成銳二面角的正弦值.

(第21題)

22.如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面為菱形,M,N,P分別為BB1,AA1,B1C1的中點(diǎn).

(1)證明:直線PN∥平面AMD；

(2)若AA1⊥平面ABCD,AB＝2,AA1＝4,∠BAD＝60°,求平面AND與平面PND1所成的銳二面角的余弦值.

(第22題)

23.如圖,正方形ABCD的中心為O,四邊形OBEF為矩形,平面OBEF⊥平面ABCD,點(diǎn)G為AB的中點(diǎn),且AB＝BE＝4.

(1)求證:EG∥平面ADF；

(2)求二面角O-EF-C的正弦值；

(3)設(shè)H為線段AF上的點(diǎn),且AH＝HF,求直線BH和平面CEF所成角的正弦值.

(第23題)