同構(gòu)法在2020年高考中的應(yīng)用研究

李昌成 張 珍

(1.新疆烏魯木齊市第八中學(xué) 830002；2.新疆奎屯市第六中學(xué) 833200)

一、同構(gòu)法簡介

數(shù)學(xué)中很多式子的結(jié)構(gòu)就反映了本質(zhì)，具備了結(jié)構(gòu)才具有其性質(zhì).同構(gòu)法就是利用同構(gòu)式解題的方法.同構(gòu)式是結(jié)構(gòu)相似，架構(gòu)相同的式子.利用同構(gòu)法解題的基本步驟有：(1)構(gòu)造合理正確的同構(gòu)式；(2)利用相關(guān)性質(zhì)解題；(3)回歸題目，完成解答.

二、應(yīng)用舉例

解答指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、平面向量、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)以及不等式等模塊的試題時，經(jīng)常會用到同構(gòu)法.下面以2020年高考數(shù)學(xué)試題為例，談?wù)勍瑯?gòu)法的應(yīng)用.

例1 (全國Ⅱ卷理科第11題，文科第12題)若2x-2y<3-x-3-y，則( ).

A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

分析以指數(shù)式的指數(shù)為研究對象，將原不等式變?yōu)?x-3-x<2y-3-y，構(gòu)造函數(shù)f(t)=2t-3-t，易判斷f(t)在R上單調(diào)遞增.由單調(diào)性的定義知x

解由2x-2y<3-x-3-y移項得：2x-3-x<2y-3-y.

令f(t)=2t-3-t，則f(x)

因為y=2x為R上的增函數(shù)，y=3-x為R上的減函數(shù)，所以f(t)為R上的增函數(shù)，所以x0，所以y-x+1>1，所以ln(y-x+1)>ln1=0，因此，A正確，B錯誤；而|x-y|與1的大小沒有信息能確定，故C，D無法確定.

綜上，選A.

評析本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)式的大小的判斷，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)f(t)=2t-3-t，構(gòu)造的依據(jù)是函數(shù)的概念，解析式的相同結(jié)構(gòu).利用該復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性得到x,y的大小關(guān)系，解題過程滲透了轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

分析從指數(shù)式、對數(shù)式的底數(shù)入手，結(jié)合指數(shù)式、對數(shù)式運算性質(zhì)，構(gòu)造函數(shù)f(x)=2x+log2x，利用放縮技巧，根據(jù)f(x)的單調(diào)性可得到正確答案.

解設(shè)f(x)=2x+log2x，易知f(x)為增函數(shù)，因為2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b，而22b+log2b<22b+log22b，所以2a+log2a<22b+log22b.

即f(a)

綜上，選B.

評析本題以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及指數(shù)、對數(shù)的運算為基礎(chǔ)，主要考查函數(shù)、方程、不等式的關(guān)系，突破口是同構(gòu)法的應(yīng)用.恰當(dāng)放縮才能利用函數(shù)f(x)=2x+log2x的單調(diào)性比較大小，也是本題壓軸的原因所在.

A.a

綜上，選A.

例4 (江蘇卷第11題)設(shè){an}是公差為d的等差數(shù)列，{bn}是公比為q的等比數(shù)列.已知數(shù)列{an+bn}的前n項和Sn=n2-n+2n-1(n∈N+)，則d+q的值是____.

分析等差數(shù)列和等比數(shù)列前n項和公式都有獨特的形式，已知的前n項和Sn可分成等差數(shù)列的前n項和與等差數(shù)列的前n項和，依據(jù)形式特征分別求得{an},{bn}的公差和公比，最后求得d+q的值.

解設(shè)等差數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d；等比數(shù)列{bn}的首項為b1，公比為q，依據(jù)題意知q≠1.

{an}的前n項和公式為

評析本題依據(jù)已知Sn=n2-n+2n-1=(n2-n)+(2n-1)的特點，恰當(dāng)?shù)乩昧说炔顢?shù)列和等比數(shù)列前n和的公式結(jié)構(gòu)，利用同構(gòu)法準確建立出四元方程組，思路簡潔，預(yù)算量小，充分展示了同構(gòu)法的優(yōu)越性.

例5 (全國Ⅰ卷文科第16題)數(shù)列{an}滿足an+2+(-1)nan=3n-1，前16項和為540，則a1=____.

分析已知中存在(-1)n，所以必須對n為奇偶數(shù)分類討論，進而得出奇數(shù)項、偶數(shù)項各自的遞推關(guān)系.根據(jù)奇數(shù)項遞推關(guān)系將各奇數(shù)項用a1表示出來，根據(jù)偶數(shù)項遞推關(guān)系將相鄰偶數(shù)項和用數(shù)值表示出來，從而建立關(guān)于a1方程，即可解出a1.

解an+2+(-1)nan=3n-1，當(dāng)n=2k-1,k∈N*時，an+2=an+3n-1

①

當(dāng)n=2k,k∈N*時，an+an+2=3n-1

②

設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，依據(jù)①②的結(jié)構(gòu)特征得

S16=a1+a2+a3+a4+…+a16=(a1+a3+a5…+a15)+[(a2+a4)+…(a14+a16)]=[a1+(a1+2)+(a1+10)+(a1+24)+(a1+44)+(a1+70)+(a1+102)+(a1+140)]+(5+17+29+41)

=8a1+484=540.

解得a1=7.

評析本題表象上考查數(shù)列的遞推公式，實際上巧妙地考查了同構(gòu)法，對①②兩式的結(jié)構(gòu)必須深刻理解，否則難以應(yīng)用，這屬于信息題的范疇.對于①還有等差數(shù)列的印跡，通過遞推能實現(xiàn)各項向a1的轉(zhuǎn)化.對于②學(xué)生不曾接觸，是一個新鮮模式，必須理解到：相鄰偶數(shù)項和是與a1無關(guān)的一個實數(shù)，否則無法推進解答.整個解題過程都離不開遞推關(guān)系的結(jié)構(gòu)引領(lǐng).

三、練習(xí)鏈接

A.0 B.mC.2mD.4m

參考答案：B.(提示：利用中心對稱的結(jié)構(gòu)特征解答.)

2.設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f(-1)=0，當(dāng)x>0時，xf′(x)-f(x)<0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是____.

參考答案：x<-1或0

有些式子的結(jié)構(gòu)很明顯，可以直接使用同構(gòu)法解題，如例1、例4；有的式子結(jié)構(gòu)不明顯，需要重構(gòu)，重構(gòu)的關(guān)鍵在于對問題本質(zhì)的把握，湊足條件，如例2、例3；有的式子的含義是臨時賦予的，需要在當(dāng)時的情景中比對應(yīng)用，如例5.同構(gòu)法解題相對靈活，既需要扎實的基本功，又有相當(dāng)?shù)撵`活性.它往往是突破難題的有力武器.