【摘 要】 “折紙”是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)常見的體驗活動，讓學(xué)生參與“折紙”活動，經(jīng)歷操作過程，去體驗數(shù)學(xué)對象，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問題，領(lǐng)悟思想方法.學(xué)生借助原有的知識經(jīng)驗，通過外在的操作，使得思維在大腦中發(fā)生變化，加深對數(shù)學(xué)知識的理解，領(lǐng)悟折紙中所蘊含的數(shù)學(xué)本質(zhì)，通過體驗活動培養(yǎng)其數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模和邏輯推理能力等核心素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】 折紙;體驗;等腰三角形;等邊三角形

1 研究背景

由于平時教學(xué)中關(guān)于折紙的體驗活動很少，對于有關(guān)折紙的教學(xué)，如何探究，起點是什么，要經(jīng)歷什么過程，去往何處，很多學(xué)生沒有很好的基本活動經(jīng)驗的積累，很多教師也沒有清晰的研究范式.學(xué)生對折紙有所了解，也對這種活動形式比較感興趣，不過，學(xué)生對通過折紙活動去體驗數(shù)學(xué)了解得還不夠深刻，故筆者以“折等腰三角形”為例，和大家交流折紙體驗活動的實踐與思考.

2 折紙的基本理論

折紙是我國一種傳統(tǒng)的手工藝術(shù)，它是培養(yǎng)學(xué)生手腦靈活和智力開發(fā)的一種手段，折紙的過程蘊含了大量的數(shù)學(xué)知識，從數(shù)學(xué)知識的角度思考，折紙?zhí)N含著很多相等的量，這些相等的量是進行計算和推理的隱含條件.

我國數(shù)學(xué)認知研究所黃燕蘋所長和李秉彝教授在《折紙與數(shù)學(xué)》一書中，介紹了折紙的七個基本理論[1]：

（1）兩點折線——過已知兩點能且只能折一條直線.已知A、B兩點，可以折出一條經(jīng)過A、B的折痕;

（2）兩點對折——兩點可以重合對折且只有一條折痕.已知A、B兩點，可以把點A折到點B上去;

（3）兩線對折——兩條線可以重合對折且只有一條折痕.已知a、b兩條直線，可以把直線a折到直線b上去;

（4）過點對折——過直線上（或外）一點可以將該直線自身重合對折且只有一條折痕.已知點A和直線a，可以沿著一條過點A的折痕，把a折到自身上;

（5）點折到線——已知兩點和一條直線，可以將其中一個點折到已知直線上，同時讓折痕通過另一個已知點.已知A、B兩點和直線a，可以沿著一條過點B的折痕，把點A折到a上;

（6）雙點到線——已知兩點和兩條相交線，可以將其中一點折到一條直線上且同時讓另一點落在另一條直線上.已知A、B兩點和直線a、b兩條相交直線，可以把點A、點B分別折到a、b上;

（7）點線線點——已知兩點和兩條線，可以將其中一點折到一條直線上，同時讓另一條直線通過另一已知點.

3 折等腰三角形的分析

章建躍博士曾說過：“對于一個概念和有關(guān)性質(zhì)，要找出其組成要素，以及要素的形狀和位置關(guān)系，教學(xué)設(shè)計時，要在充分理解數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)上，設(shè)計激發(fā)學(xué)生思考的問題，要理解學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū).”

中國的數(shù)學(xué)教育大師傅種孫先生曾說過：“知其然，知其所以然，知何由以知其所以然——啟發(fā)學(xué)生，示以思維之道耳！”.教學(xué)應(yīng)在“何由以知其所以然”上下功夫，這樣才有可能在“如何使學(xué)生想得到”上有所突破，從而把數(shù)學(xué)基本思想、基本活動經(jīng)驗、發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力等落實到位，這是發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)的最關(guān)鍵所在。

八年級的學(xué)生剛學(xué)完軸對稱圖形，對線段、角和等腰三角形的軸對稱性已經(jīng)掌握，學(xué)生對等腰三角形的知識已經(jīng)理解，知道等腰三角形是一個軸對稱圖形，兩腰相等，兩底角相等，三線合一，教師從學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，利用折紙理論，思考如何折中點，如何折相等的邊，如何折相等的角，如何折垂直平分線等等.通過折等腰三角形的活動，引導(dǎo)學(xué)生觀察折痕所形成的邊角關(guān)系，幫助學(xué)生建立折紙操作與數(shù)學(xué)內(nèi)容的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生思考，培養(yǎng)學(xué)生的動手能力、觀察能力、想象能力和創(chuàng)造性思維能力！

4 教學(xué)設(shè)計構(gòu)思

活動一 同學(xué)們，大家能利用桌子上的A4紙，折一折嗎？你能想出幾種折法？

（1）過兩點的線段;（2）垂直平分線（或中點）;（3）角平分線和兩對邊的平行線;

（4）任意銳角三角形的高;（5）折一條線段等于A4紙的寬;（6）折30°角（或折一個直角三角形，使得一直角邊是斜邊的一半）.

設(shè)計意圖 通過折簡單的基本圖形，積累基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，讓學(xué)生體驗折紙的基本理論.對于（1）折過兩點的線段，對應(yīng)著折紙的基本理論（1）：過已知兩點能且只能折一條直線.對于（2）折垂直平分線，對應(yīng)著折紙的基本理論（2）：將已知兩點重合對折，折痕是兩點連線的垂直平分線，其交點為兩點連線的中點.對于（3）折角平分線，對應(yīng)著折紙的基本理論（3）：將兩線重合對折，當兩線相交時，折痕是兩線交角的平分線;當兩線平行時，折痕與之平行，且三條平行線之間的距離相等.對于（4）折任意三角形的高，對應(yīng)著折紙的基本理論（4）：過直線上（或外）一點將該直線自身重合對折，所得折痕與該直線垂直;對于（5）折一條線段等于A4紙的寬，也對應(yīng)著折紙的基本理論（3）.對于（6）折30°角，對應(yīng)著折紙的基本理論（5）：已知兩點和一條直線，可以將其中一個點折到已知直線上，同時讓折痕通過另一個已知點;對于折紙的基本理論（6）和（7）在折等腰三角形中，沒有具體涉及，故在此對學(xué)生不做要求.

通過對折基本圖形的操作活動，讓學(xué)生體驗到，數(shù)學(xué)圖形都是由一些簡單的基本圖形得到的，折紙的基本理論為折等腰三角形奠定了基礎(chǔ)，也為學(xué)生提供了折等腰三角形的基本活動經(jīng)驗.

活動二 如果用A4紙折一個等腰三角形，你打算怎么折？說說你這樣折的依據(jù).

設(shè)計意圖 如果沒有活動一做鋪墊，學(xué)生沒有折紙的基本活動經(jīng)驗，讓學(xué)生直接體驗活動二，如圖1，學(xué)生的直觀感知就是把A4紙的寬AB進行折疊，使點B落在AD上的點E處，然后把點B和點E對折，就能得到一個等腰直角三角形ABE.

相比之下，如果學(xué)生通過活動一得到折紙的基本理論和折基本圖形的基本活動經(jīng)驗，讓學(xué)生思考折等腰三角形的方法，學(xué)生自然會想到：（1）折兩邊相等;（2）折兩角相等;（3）折垂直平分線;（4）折角平分線等等.學(xué)生在大腦中的思考，也可能僅限于折邊相等，或者折角相等，或者折垂直平分線等等，有了折紙的基本活動經(jīng)驗，在這種初始的思維認知下，學(xué)生的思維會發(fā)生變化，這種變化促使學(xué)生思考所積累的折紙經(jīng)驗，以及等腰三角形的性質(zhì)和判定，從而把原有的知識經(jīng)驗轉(zhuǎn)化為內(nèi)在的思維：怎樣操作才能折出等腰三角形，學(xué)生會想出一些折疊的方法.

方法1：如圖2，把AB進行折疊，使得點B落在B′處，然后把點B和點B′進行折疊，根據(jù)兩邊相等，得到等腰△ABB′.

方法2：如圖3，把A4紙沿著點A和點C進行折疊，得到折痕AC，接著，沿點B和點D進行折疊，得到折痕BD，由于AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=CB.得到△ABC≌△DCB，所以∠DBC=∠ACB，根據(jù)等角對等邊，得到等腰△OBC.同理，也得到等腰三角形OBA，等腰三角形OAD和等腰三角形OCD.

方法3：如圖4，把A4紙的邊AB折疊，使AB和DC重合，得到折痕EF，則EF為BC的垂直平分線，沿著點E和點B進行折疊，得到折痕EB，再沿著點E和點C進行折疊，得到折痕EC，根據(jù)線段垂直平分線上的任意一點到線段兩端的距離相等，得到等腰三角形EBC.

方法4：如圖5，把△CBD沿著對角線BD進行翻折，使點C落在C′處，因為翻折，∠DBC=∠DBC′，又因為AD∥BC，所以∠DBC=∠BDA.所以，∠BDA=∠DBC′，根據(jù)等角對等邊，得到等腰三角形EBD.

方法5：如圖6，把點C進行對折，使點C和點A重合，折痕為EF，因為翻折，∠EFC=∠EFA，又因為AD∥BC，所以∠AEF=∠EFC.所以∠AEF=∠EFA，根據(jù)等角對等邊，得到等腰△AEF.

活動三 如果用A4紙折一個等邊三角形，你又打算怎么折？

設(shè)計意圖 這個體驗活動的設(shè)計體現(xiàn)知識生長的過程，是在前兩個體驗活動基礎(chǔ)上設(shè)計的一次提升，也是學(xué)生深入思考折等腰三角形的一個體驗，學(xué)生自然會想到三邊相等，但是，如何折才能實現(xiàn)三邊相等呢？很多學(xué)生會覺得操作起來很困難，原因是因為這些學(xué)生沒有把等腰三角形和等邊三角形之間的關(guān)系進行類比，沒有把折等腰三角形的基本活動經(jīng)驗運用到折等邊三角形的過程中去，此時，學(xué)生大腦中的思維是具有知識的局限性和片面性的.

筆者曾經(jīng)讓兩個語文老師用A4紙折等邊三角形，這兩個老師缺乏對等邊三角形的數(shù)學(xué)知識的思考和對折紙活動的體驗，她們的困惑就是怎么折才能得到60°，如果在等腰三角形的基礎(chǔ)上，再出現(xiàn)一個60°，就可以得到等邊三角形.其實，這也是學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)的困惑，如果有了折30°角的體驗或者有了折一個直角三角形，使得一直角邊是斜邊的一半，也可以得到等邊三角形.顯然這兩位語文老師對折30°角的體驗還不足.然后，筆者告知折紙的基本方法：如何折垂直平分線，如何折角平分線，如何折30°角后，這兩個語文老師很快就知道該如何折了.可見她們的頭腦中對折基本圖形已經(jīng)有了很熟悉的了解.從不會到會，其實就在于教師是否了解學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，如果問題高于最近發(fā)展區(qū)，學(xué)生是想不到的，這就不容易折出來，如果問題低于最近發(fā)展區(qū)，學(xué)生的思維就得不到發(fā)展，所以，教學(xué)尤其是體驗教學(xué)，一定要基于學(xué)生的認知基礎(chǔ)，一定要熟悉學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，這樣去實施教學(xué)才更加有效.

在折紙的體驗過程中，問題又出現(xiàn)了，一個老師先將寬對折，得到折痕，然后發(fā)現(xiàn)折30°角時，把長翻折時，卻超出了邊界，（如圖7）在這種情況下，這位老師很靈活的轉(zhuǎn)化思路，先將邊AD和BC重合對折（理論3），折痕為EF，將點B折到EF上，且讓折痕過點A（理論5），點B對應(yīng)的點為點O，折痕為AG，過O、B兩點折疊（理論1），則△ABO為等邊三角形，解決了折等邊三角形時，超出邊界的問題（如圖8）.

活動四 如果用A4紙，想折一個最大的等邊三角形，你打算怎么折？

設(shè)計意圖 這個體驗活動的設(shè)計，會讓學(xué)生聯(lián)想到活動三所折的等邊三角形不是面積最大的，因為圖8所折的等邊三角形的邊長為AB，如果把△ABO繞點B或點A旋轉(zhuǎn)，會發(fā)現(xiàn)這個等邊三角形的邊長在逐漸變大，當把△ABO中的邊BO旋轉(zhuǎn)到BC上或者把邊AO旋轉(zhuǎn)到AD上時，才是最大的，如圖9，只需將GO折疊，折痕GH交AD于點H，△AHG才是最大的等邊三角形！

活動五 如果將A4紙，改成一張正方形紙，想折一個最大的等邊三角形，怎么折？

設(shè)計意圖 這個體驗活動的設(shè)計，會讓學(xué)生聯(lián)想到如果直接按照活動三來折疊，并不是最大的，因為如果將這個等邊三角形繞頂點旋轉(zhuǎn)，這個等邊三角形的邊長在逐漸變大，由于正方形和等邊三角形都具有軸對稱性，如圖10，只需要將等邊三角形OBC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)15°或者繞點C順時針旋轉(zhuǎn)15°，才能得到最大的等邊三角形BMN.如圖11，將正方形ABCD的兩組對邊分別重合對折（理論3），折痕分別為EF和GH，將點C折到GH上且讓折痕過點B（理論5），點C的對應(yīng)點為R，折痕為BM，將點A折到EF上且讓折痕過點B（理論5），點A的對應(yīng)點為S，折痕為BN，過點M、N兩點折疊（理論1），折痕為MN，則△BMN為正方形ABCD內(nèi)面積最大的等邊三角形.

活動六 基于以上的基本活動經(jīng)驗，你有什么體驗？你還能折什么數(shù)學(xué)圖形，折折看.

5 體驗活動的思考

5.1 理解數(shù)學(xué)

物理和化學(xué)都是實驗性的學(xué)科，學(xué)生也希望通過數(shù)學(xué)操作活動，得到真正經(jīng)歷和體驗.數(shù)學(xué)是一門思維性的科學(xué)，思維的形成離不開體驗，借助一種實物工具，通過觀察，動手，動腦相結(jié)合的方式去體驗，引發(fā)學(xué)生思考，促進學(xué)生對知識的理解和掌握，這才是真正的數(shù)學(xué)教學(xué).

本節(jié)課在形式上注重以“做”為支架，引領(lǐng)學(xué)生經(jīng)歷過程，并且觀察思考，手腦并用，充分體驗，啟思明理，借助學(xué)具幫助學(xué)生直觀形象的理解知識，整個教學(xué)過程基本上都是學(xué)生在操作，通過操作來體驗并感受原理，真正推動了數(shù)學(xué)課堂學(xué)習(xí)方式和教學(xué)方法的變革.

5.2 理解教學(xué)

教學(xué)主要是為學(xué)生搭建適合學(xué)生的“腳手架”，教師可通過不同的教學(xué)方式進行教學(xué)，目的是讓學(xué)生對知識真正理解，做到靈活運用.學(xué)生比較容易接受具體、直觀、形象的事物，初中數(shù)學(xué)教學(xué)要引領(lǐng)學(xué)生逐漸過渡到一般、抽象的數(shù)學(xué).教學(xué)的理念是讓學(xué)生通過“做”數(shù)學(xué)，享受完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，讓學(xué)生不僅知道知識從哪里來，還要知道知識要往哪里去.教學(xué)主張是手腦協(xié)同，啟思明理.同時，教學(xué)要給學(xué)生帶來學(xué)習(xí)方式的創(chuàng)新，為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供資源.

本節(jié)課，筆者設(shè)計的“折等腰三角形”體驗活動，一層一層，逐級上升，思維層次不斷加深，邏輯思維能力逐漸上升.培養(yǎng)了學(xué)生的動手操作能力，讓學(xué)生全身心參與課堂，真正做到經(jīng)歷每一個過程，充分體驗并理解折等腰三角形的每一個細節(jié).

5.3 理解學(xué)生

上課的學(xué)生是初二的學(xué)生，他們具有一定的推理能力，課堂上為學(xué)生創(chuàng)設(shè)動手操作的環(huán)節(jié)，學(xué)生只有通過體驗，去感悟，去發(fā)現(xiàn)，去歸納，去總結(jié)，經(jīng)歷知識的形成和發(fā)展過程，才能真正去理解知識，這樣的課堂才是學(xué)生喜歡的課堂，我們的課堂要始終做到以生為本，處處為學(xué)生著想，做到真正理解學(xué)生.

本節(jié)課，改變以往的傳統(tǒng)授課模式，把主動權(quán)教給學(xué)生，讓學(xué)生一步步思考，當學(xué)生遇到困難，筆者一步一步引領(lǐng)學(xué)生去思考.當然所有的啟發(fā)性問題，由學(xué)生通過操作體驗，再由學(xué)生來分析問題并解決問題.

5.4 感悟經(jīng)歷

初為父母時，筆者曾經(jīng)給1歲多女兒講，桌子上的水太熱，不能摸，她好像不理解，有一次她的手被熱水燙了，從這次經(jīng)歷中，她體驗到，并深刻地理解，熱的東西不能摸，會燙手.

初為教師時，筆者也曾因為一節(jié)課，不斷的試講，不斷的總結(jié);也曾因為一節(jié)課上的不好，而多方面去尋找原因，也曾去聽一些名師的課，尋找教學(xué)的方法，獲取教學(xué)的真諦;也曾因為學(xué)生不理解而悶悶不樂.筆者經(jīng)歷了將近10年的教學(xué)磨練，體驗了每節(jié)課的收獲與困惑，也逐漸明白了，教師要從學(xué)生的角度出發(fā)去思考，找準學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，從生活中去尋找教學(xué)素材，深挖教材，精心設(shè)計每節(jié)課的活動，讓學(xué)生經(jīng)歷知識的獲取過程，體驗獲取知識的“酸甜苦辣”.

回顧這節(jié)課，在教師循序漸進的引導(dǎo)下，學(xué)生從操作層面的直觀經(jīng)驗到理性層面的邏輯思考，讓操作與數(shù)學(xué)思維有機融為一體，使抽象的數(shù)學(xué)知識具體化，復(fù)雜的問題簡單化，表象的問題深刻化，學(xué)生在操作過程中不僅知其然，更知其所以然[2].

通過教學(xué)活動的設(shè)計，學(xué)生在操作的過程中，數(shù)學(xué)思維也在逐漸深入，在一系列操作體驗活動下，學(xué)生領(lǐng)悟到其中的道理，培養(yǎng)了學(xué)生的動手能力、空間想象和邏輯思維能力，激發(fā)了學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，促進學(xué)生真正理解和掌握知識，數(shù)學(xué)素養(yǎng)也得到了提升.

一節(jié)好的教學(xué)活動設(shè)計，需要教師設(shè)法為學(xué)生搭建促使學(xué)生參與課堂的平臺，讓學(xué)生主動去動手操作，去思考，去發(fā)現(xiàn)，去經(jīng)歷探索過程，只有經(jīng)歷了，體驗了，對知識的理解才更透徹.經(jīng)歷探索過程，在操作中去體驗，激發(fā)學(xué)生探究的興趣，培養(yǎng)學(xué)生思考的熱情，有利于學(xué)生調(diào)動多種感官，促進有效學(xué)習(xí)，有利于學(xué)生潛能的開發(fā)，有利于學(xué)生創(chuàng)新精神和實踐能力的培養(yǎng)，有利于學(xué)生思維的生長，有利于知識、能力和方法有機地融合，有利于教師對課程資源進行深度挖掘，有利于教師水平的有效提升.同時也促進了學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升，促進了教師教學(xué)方法的轉(zhuǎn)變，促進數(shù)學(xué)教學(xué)進一步發(fā)展.

參考文獻

[1]黃燕蘋，李秉彝.折紙與數(shù)學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2018.

[2]黃玉華.畫其圖變其形明其理探其用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2019（4）：19—23.

作者簡介 萬濤，中學(xué)高級教師，南京市鼓樓區(qū)數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人.