大學(xué)數(shù)學(xué)課堂活躍度的PID調(diào)節(jié)分析

陳森　李菲

[摘 要]課堂活躍度調(diào)節(jié)是課堂管理的重要環(huán)節(jié)，對(duì)教學(xué)效果具有關(guān)鍵性影響。本文將實(shí)際控制工程中最經(jīng)典的PID控制理念應(yīng)用于大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)情境改善，討論如何利用PID控制來(lái)實(shí)現(xiàn)大學(xué)數(shù)學(xué)課堂活躍度的主動(dòng)調(diào)節(jié)。該調(diào)節(jié)方法基于教師的主動(dòng)觀察，綜合評(píng)估當(dāng)前、過(guò)去和未來(lái)的活躍度跟蹤誤差信息，通過(guò)保守型、增長(zhǎng)型和衰弱型三類具體調(diào)節(jié)手段，實(shí)現(xiàn)課堂活躍度的實(shí)時(shí)調(diào)控。

[關(guān)鍵詞]課堂活躍度;大學(xué)數(shù)學(xué);PID控制;控制理論

[中圖分類號(hào)] G642.421 [文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A [文章編號(hào)] 2095-3437（2021）08-0068-05

一、研究背景

課堂活躍度調(diào)節(jié)是課堂管理中的重要環(huán)節(jié)[1-3]。適宜的課堂活躍度是輕松愉快課堂氣氛的前提，是提高學(xué)生學(xué)習(xí)熱情的環(huán)境基礎(chǔ)。超過(guò)適宜度的課堂活躍度會(huì)影響課堂教學(xué)效率，甚至破壞課堂教學(xué)的基本流程。同時(shí)，低迷的課堂活躍度極大地影響學(xué)生自主思考與自主學(xué)習(xí)的動(dòng)力，形成教師單向輸出的情景，甚至導(dǎo)致長(zhǎng)時(shí)間課堂沉默[4-5]。

大學(xué)課堂教學(xué)的受眾是已初步具備獨(dú)立思考能力、自主意識(shí)較強(qiáng)的大學(xué)生[6]。同時(shí)，大學(xué)課堂講授的知識(shí)具有專業(yè)性，知識(shí)體系龐大，知識(shí)內(nèi)容具有諸多細(xì)致且嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治鐾评磉^(guò)程。大學(xué)課程具有比中小學(xué)課程更大的學(xué)習(xí)難度。因此，大學(xué)課堂活躍度往往表現(xiàn)出兩極分化的情景：在講授學(xué)科專業(yè)知識(shí)時(shí)，學(xué)生情緒低迷，注意力分散，呈現(xiàn)集體沉默情景;在討論非教學(xué)內(nèi)容話題或引導(dǎo)性內(nèi)容時(shí)，學(xué)生興趣高漲，注意力集中，課堂活躍度極高，甚至?xí)霈F(xiàn)課堂紀(jì)律失控、影響教學(xué)課程安排的情況。

在眾多的學(xué)科門(mén)類中，數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)體系性強(qiáng)并且體系結(jié)構(gòu)分支繁多。數(shù)學(xué)學(xué)科的知識(shí)點(diǎn)具有強(qiáng)抽象性特點(diǎn)，在講授過(guò)程中無(wú)法避免冗長(zhǎng)的邏輯推演與縝密的符號(hào)計(jì)算[7]。由于數(shù)學(xué)學(xué)科的抽象性特點(diǎn)，數(shù)學(xué)課堂活躍度的兩極分化現(xiàn)象顯著。如何提供一套理論方法，系統(tǒng)科學(xué)地調(diào)節(jié)課堂活躍度，是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要問(wèn)題。

控制理論與反饋思想在教學(xué)系統(tǒng)中的研究已有初步的方法論結(jié)果[8]。然而，針對(duì)具體的教學(xué)系統(tǒng)調(diào)控問(wèn)題，例如課堂活躍度調(diào)節(jié)，沒(méi)有細(xì)致具體的反饋設(shè)計(jì)方法與控制執(zhí)行手段。本文將立足于實(shí)際控制工程中最經(jīng)典的PID控制理念，設(shè)計(jì)課堂活躍度的主動(dòng)調(diào)節(jié)方法。

二、PID控制簡(jiǎn)介

自Watt發(fā)明蒸汽機(jī)以來(lái)，人類改造世界的技術(shù)手段不斷革新，并將這一類技術(shù)方法抽象化為控制理論。在諸多高深的控制理論中，基于跟蹤誤差的比例-積分-微分（Proportionalintegralderivative， PID）控制具有原理清晰、結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、便于實(shí)現(xiàn)的特點(diǎn)。由于PID控制的設(shè)計(jì)便捷性與實(shí)際有效性，現(xiàn)今的諸多實(shí)際控制領(lǐng)域均采用PID控制結(jié)構(gòu)，2017年調(diào)研結(jié)果表示目前過(guò)程控制中95%的控制器為PID類型[9]。

經(jīng)過(guò)蒸汽機(jī)控制等一系列實(shí)際問(wèn)題驅(qū)動(dòng)與新技術(shù)變革，Elmer Sperry于1911年提出PID控制結(jié)構(gòu)，并應(yīng)用于船舶的航跡與航向控制[10-11]。PID控制的基本思想是利用系統(tǒng)輸出與參考信號(hào)的誤差值信號(hào)，由其比例值、積分值與微分值的線性組合，形成負(fù)反饋的控制輸入信號(hào)，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)輸出信號(hào)跟蹤參考信號(hào)的目的。PID控制的基本結(jié)構(gòu)參見(jiàn)圖1。

PID控制具有設(shè)計(jì)思路直觀、控制器結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、待調(diào)節(jié)參數(shù)少、易于工程實(shí)現(xiàn)等優(yōu)勢(shì)。同時(shí)，近年來(lái)PID控制理論基礎(chǔ)進(jìn)一步完善，證明了PID控制對(duì)于未知非線性動(dòng)態(tài)的強(qiáng)魯棒性[12]，從理論角度解釋了PID控制廣泛的適用性。

三、大學(xué)數(shù)學(xué)課堂活躍度的兩個(gè)縮影

大學(xué)數(shù)學(xué)課堂活躍度呈現(xiàn)兩極分化現(xiàn)象，具體表現(xiàn)在對(duì)專業(yè)理論知識(shí)的興趣低迷以及對(duì)非教學(xué)內(nèi)容話題或引導(dǎo)式內(nèi)容的異?；钴S。

（一）對(duì)專業(yè)理論知識(shí)的欠活躍現(xiàn)象

大學(xué)數(shù)學(xué)課程內(nèi)容專業(yè)性強(qiáng)，抽象化程度高。同時(shí)，教學(xué)內(nèi)容中具有較多的邏輯推演與細(xì)致的符號(hào)計(jì)算。由于大學(xué)數(shù)學(xué)課程的這類內(nèi)在特點(diǎn)，學(xué)生對(duì)專業(yè)理論知識(shí)的理解速度慢、知識(shí)點(diǎn)消化時(shí)間長(zhǎng)，學(xué)生集體容易對(duì)專業(yè)理論知識(shí)進(jìn)入沉默狀態(tài)。

下面，以連續(xù)函數(shù)定義與樣例分析為例，說(shuō)明數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的抽象化程度以及學(xué)生欠活躍現(xiàn)象。

老師：下面介紹連續(xù)函數(shù)的基本定義?？紤]函數(shù)[f（x）]與[x0∈R]，若對(duì)任意給定的[a>0]，都存在[b>0]，使得對(duì)任意[x∈[x0-b， x0+b]]，均有[fx-f（x0）

學(xué)生：（緩慢消化連續(xù)函數(shù)定義知識(shí)點(diǎn)）。

老師：我們用一個(gè)連續(xù)函數(shù)的例子來(lái)說(shuō)明該定義。下面證明二次函數(shù)[fx=x2]是逐點(diǎn)連續(xù)的?？紤]任意給定的[a>0]，我們?cè)O(shè)[b=mina6|x0|，3a3]，進(jìn)而計(jì)算[fx-f（x0）=2x0x-x0+x-x02≤2x0x-x0+x-x02≤2x0b+b2≤2a3

學(xué)生：（消化符號(hào)計(jì)算過(guò)程，理解[b]的選取，緩慢理解連續(xù)函數(shù)定義與該例證說(shuō)明過(guò)程）。

上述大學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)片段反映了數(shù)學(xué)專業(yè)知識(shí)的抽象性以及學(xué)生以持續(xù)思考與吸收講授內(nèi)容為主的課堂狀態(tài)。這導(dǎo)致課堂活躍度低，學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)積極性下降，注意力極易分散到與教學(xué)無(wú)關(guān)的內(nèi)容上，例如電子游戲。

（二）對(duì)非教學(xué)內(nèi)容話題或引導(dǎo)式內(nèi)容的過(guò)活躍現(xiàn)象

由于數(shù)學(xué)課程本身的專業(yè)性與抽象性，導(dǎo)致數(shù)學(xué)課堂教學(xué)呈現(xiàn)欠活躍現(xiàn)象。同時(shí)，在持續(xù)欠活躍狀態(tài)下，若授課講師以實(shí)例遷移類比、課程思政升華、跨學(xué)科知識(shí)點(diǎn)聯(lián)動(dòng)等方式，進(jìn)行對(duì)教學(xué)內(nèi)容的進(jìn)行非正式教學(xué)解釋或引導(dǎo)式教學(xué)，此時(shí)，學(xué)生往往表現(xiàn)出較高的活躍性，內(nèi)在興趣被極大激發(fā)，開(kāi)啟自主獨(dú)立思考，進(jìn)入團(tuán)體討論模式。然而，數(shù)學(xué)課堂活躍度的突發(fā)式增長(zhǎng)，往往造成課堂可控性下降，課堂紀(jì)律紊亂，甚至破壞正常教學(xué)流程。

下面仍以上一小節(jié)中的連續(xù)函數(shù)定義與樣例分析為例，來(lái)說(shuō)明學(xué)生對(duì)非教學(xué)內(nèi)容話題或引導(dǎo)式內(nèi)容的過(guò)活躍現(xiàn)象。

老師：下面介紹連續(xù)函數(shù)的基本定義。首先，同學(xué)們看老師手上的這條細(xì)繩，整條細(xì)繩是連接著的，如果把它平鋪到二維平面上，形成的圖形是連續(xù)變化的。連續(xù)函數(shù)具有一個(gè)重要特征，每一段都可以用這條連續(xù)繩子代替。

學(xué)生：（被道具輔助式教學(xué)行為所吸引，注意力集中）。

老師：我們具體給出連續(xù)函數(shù)的定義。考慮函數(shù)[f（x）]與[x0∈R]，若對(duì)任意給定的[a>0]，都存在[b>0]，使得對(duì)任意[x∈[x0-b， x0+b]]，均有[fx-f（x0）

學(xué)生：（緩慢消化連續(xù)函數(shù)定義知識(shí)點(diǎn)，進(jìn)入沉默狀態(tài)）。

老師：我們用一個(gè)連續(xù)函數(shù)的例子來(lái)說(shuō)明該定義。下面證明二次函數(shù)[fx=x2]是逐點(diǎn)連續(xù)的?？紤]任意給定的[a>0]，我們?cè)O(shè)[b=mina6|x0|，3a3]，進(jìn)而計(jì)算[fx-f（x0）=2x0x-x0+x-x02≤2x0x-x0+x-x02≤2x0b+b2≤2a3

學(xué)生：（單向接受的邏輯推演與符號(hào)計(jì)算過(guò)程，緩慢理解連續(xù)函數(shù)定義與該例子）。

老師：同學(xué)們?cè)賮?lái)看我手中的連續(xù)繩子，請(qǐng)兩位同學(xué)上臺(tái)，將其擺成二次函數(shù)[fx=x2]的圖像。

學(xué)生：（再次被道具輔助式教學(xué)方式吸引，躍躍欲試，兩位同學(xué)上臺(tái)）。

老師：請(qǐng)兩位同學(xué)將這條連續(xù)繩子擺成二次函數(shù)的形狀，下面的同學(xué)請(qǐng)注意看該連續(xù)繩子的變化。

學(xué)生：（非常興奮活躍，課堂活躍度增長(zhǎng);兩位同學(xué)順利完成連續(xù)繩子的道具演示環(huán)節(jié)）。

老師：好的，謝謝兩位同學(xué)的幫助，請(qǐng)兩位同學(xué)歸座。下面，我們繼續(xù)介紹連續(xù)函數(shù)的幾個(gè)重要例子以及連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)。

學(xué)生：（仍然沉浸在剛才的道具演示環(huán)節(jié)，互相竊竊私語(yǔ)，注意力難以集中到課堂專業(yè)理論知識(shí)）。

上述的教學(xué)情境表現(xiàn)出：在講授專業(yè)理論知識(shí)時(shí)，非正式教學(xué)解釋環(huán)節(jié)（道具輔助教學(xué)）具有增加課堂活躍度、吸引學(xué)生課堂注意力的正面作用。同時(shí)，過(guò)度的引導(dǎo)式教學(xué)（學(xué)生親身上臺(tái)實(shí)踐）可能引起學(xué)生們的注意力分散，導(dǎo)致學(xué)生陷入非正式教學(xué)解釋或引導(dǎo)式教學(xué)環(huán)節(jié)的過(guò)度吸引狀態(tài)，私下相互討論與教學(xué)內(nèi)容無(wú)關(guān)的話題。這極大影響課堂教學(xué)紀(jì)律，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)待講授專業(yè)理論知識(shí)的興趣下降，甚至出現(xiàn)無(wú)視教師的課程安排，致使課堂教學(xué)無(wú)法照常進(jìn)行。

四、課堂活躍度的PID調(diào)節(jié)

應(yīng)用于工程系統(tǒng)的PID控制有如下幾個(gè)特點(diǎn)：被控系統(tǒng)為連續(xù)系統(tǒng)并且可建模、控制器輸入值具有物理意義、控制參數(shù)可數(shù)值化、系統(tǒng)輸出可實(shí)時(shí)量測(cè)。然而，在課堂活躍度系統(tǒng)中，課堂活躍度變化動(dòng)態(tài)無(wú)法建模、無(wú)法采用設(shè)備儀器實(shí)時(shí)測(cè)量活躍度、活躍度調(diào)節(jié)手段無(wú)法連續(xù)化與數(shù)值化等特點(diǎn)均導(dǎo)致了活躍度調(diào)節(jié)的困難性。本節(jié)將從上述的困難點(diǎn)切入，討論基于PID控制的大學(xué)數(shù)學(xué)課堂活躍度調(diào)節(jié)方法。

（一）課堂活躍度實(shí)時(shí)量測(cè)

課堂活躍度的實(shí)時(shí)測(cè)量是反饋控制設(shè)計(jì)的前提條件。盡管目前已有采用視頻分析技術(shù)研究問(wèn)答互動(dòng)等課堂行為的方法[13]，但仍停留在離線處理階段，無(wú)法做到實(shí)時(shí)監(jiān)測(cè)與分析。目前市場(chǎng)上還缺少成熟的課堂活躍度檢測(cè)設(shè)備，無(wú)法實(shí)時(shí)獲得課堂活躍度的數(shù)值化評(píng)估值。實(shí)時(shí)量測(cè)量的缺失對(duì)設(shè)計(jì)活躍度調(diào)節(jié)方法帶來(lái)了挑戰(zhàn)。

目前，在授課過(guò)程中，課堂活躍度的量測(cè)工作由授課教師發(fā)揮主觀能動(dòng)性，基于眼、耳等人體基本傳感器，利用對(duì)話、提問(wèn)、觀察等方式，最后借助個(gè)人經(jīng)驗(yàn)來(lái)判斷目前的課堂活躍程度。

從控制理論角度，這種測(cè)量方式是帶有量測(cè)噪聲、量測(cè)時(shí)延的。本文不再進(jìn)一步探討量測(cè)的有效性以及量測(cè)濾波等問(wèn)題。下文將在教師自主量測(cè)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步討論活躍度的PID控制設(shè)計(jì)。

（二）課堂活躍度誤差以及微分項(xiàng)、積分項(xiàng)分析

跟蹤誤差信號(hào)是PID控制的核心概念。同時(shí)，針對(duì)誤差信號(hào)的微分運(yùn)算與積分運(yùn)算是PID實(shí)現(xiàn)中的兩個(gè)重要計(jì)算過(guò)程。下面就針對(duì)課堂活躍度動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，具體討論上述概念。

在課堂活躍度動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中，定義活躍度誤差信號(hào)為[E（t）?Y（t）-R（t）]，其中[t]為當(dāng)前時(shí)刻，[Y（t）]為教師自主量測(cè)的課堂活躍度，[R（t）]為課堂活躍度的最佳值。由于不同教學(xué)主題的課堂最佳活躍度不同，甚至同一節(jié)課的不同環(huán)節(jié)也會(huì)有不同的最佳活躍度，因此[R（t）]為一個(gè)隨課程主題、課程內(nèi)容和課程進(jìn)度變化的時(shí)變值。與課堂活躍度的測(cè)量值類似，目前僅能依靠教師自主判斷當(dāng)前課堂的最佳活躍度，無(wú)法采用設(shè)備儀器自動(dòng)測(cè)算其具體數(shù)值。

基于活躍度誤差信號(hào)的定義，可得其微分值[E（t）]與積分值[0tE（s）ds]。由于目前無(wú)法采用設(shè)備量化課堂活躍度動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中的活躍度誤差，因此其微分值與積分值也無(wú)法具體量化。但是從微分與積分的數(shù)學(xué)內(nèi)涵出發(fā)，可定性地分析活躍度誤差微分信號(hào)與積分信號(hào)的意義：

1）活躍度誤差微分信號(hào)表示當(dāng)前活躍度誤差的變化情況，這個(gè)值與活躍度誤差的具體取值無(wú)關(guān)。微分值可預(yù)測(cè)下一步的課堂活躍度變化走勢(shì)。例如：學(xué)生群體由于非正式教學(xué)話題處于活躍狀態(tài)，但是其活躍度隨時(shí)間下降，活躍度誤差的微分值為負(fù)數(shù)，并且課堂活躍度曲線的走勢(shì)為逐漸降低。

2）活躍度誤差積分信號(hào)表示活躍度誤差隨時(shí)間的累積值，表現(xiàn)了已過(guò)去時(shí)間中的課堂活躍度。例如：在前幾次課堂教學(xué)中或本次教學(xué)的前幾部分中，某班級(jí)學(xué)生群體體現(xiàn)出活躍度低下，注意力渙散的情況，那么活躍度誤差積分信號(hào)為多次負(fù)值誤差信號(hào)的累積。

根據(jù)活躍度誤差微分值與積分值的基本意義討論，教師可自主結(jié)合課程內(nèi)容、課堂環(huán)境等因素，推斷目前的微分值與積分值信號(hào)大小。

（三）課堂活躍度的PID控制量

基于上述的課堂活躍度誤差信號(hào)及其微分值與積分值，根據(jù)PID控制的基本原理可設(shè)計(jì)課堂活躍度調(diào)控輸入[Ut=-kpEt-kdEt-ki0tE（s）ds]，其中[Ut]表示當(dāng)前時(shí)刻教師需要主動(dòng)制造的課堂活躍度要素大小，正數(shù)[kp]，[kd]和[ki]分別為比例、微分、積分反饋增益系數(shù)。注意到，當(dāng)[Ut<0]時(shí)，表示教師應(yīng)當(dāng)減少目前課堂中的活躍度要素，從而降低當(dāng)前課堂的活躍度;當(dāng)[Ut>0]時(shí)，表示教師應(yīng)當(dāng)增加目前課堂中的活躍度要素，增加當(dāng)前課堂的活躍度。課堂活躍度的PID調(diào)節(jié)利用了當(dāng)前課堂活躍度信息（[Et]）、未來(lái)課堂活躍度預(yù)測(cè)信息（[Et]）和過(guò)去課堂活躍度信息（[0tE（s）ds]）。比例、微分、積分反饋增益系數(shù)表示教師對(duì)三種信號(hào)的組合加權(quán)與綜合評(píng)估過(guò)程。

所設(shè)計(jì)的PID調(diào)節(jié)控制量是連續(xù)取值的，然而目前難以量化控制值與實(shí)際教學(xué)方式的關(guān)聯(lián)，并且在課堂教學(xué)中實(shí)現(xiàn)連續(xù)地控制是十分困難的。因此，該理論方法在當(dāng)下的實(shí)踐中，僅能靠切換教學(xué)手段與方式，在離散意義下實(shí)現(xiàn)PID控制調(diào)節(jié)。下一小節(jié)將討論三類能夠改變課堂活躍度的具體方法。

（四）課堂活躍度PID調(diào)節(jié)的具體方法

針對(duì)不同學(xué)科的教學(xué)內(nèi)容與不同專業(yè)背景的學(xué)生群體，增加或減少課堂活躍度的教學(xué)手段與方法會(huì)有差異。在不同學(xué)科的教學(xué)過(guò)程中，同一個(gè)教學(xué)方式甚至?xí)l(fā)截然相反的課堂活躍度變化。下面，針對(duì)大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，討論調(diào)節(jié)課堂活躍度的三類方法：保持型、增長(zhǎng)型和衰弱型。

1）保持型：保持當(dāng)前課堂活躍度的方法類型，包括但不限于舉例說(shuō)明、輔助畫(huà)圖說(shuō)明、推論說(shuō)明。

2）增長(zhǎng)型：增加當(dāng)前課堂活躍度的方法類型，包括但不限于道具輔助教學(xué)、實(shí)事聯(lián)動(dòng)教學(xué)、跨學(xué)科聯(lián)動(dòng)教學(xué)、主動(dòng)問(wèn)答。

3）衰弱型：減少當(dāng)前課堂活躍度的方法類型，包括但不限于長(zhǎng)篇的邏輯推演、艱深專業(yè)知識(shí)點(diǎn)講解、紀(jì)律整肅、敘事式說(shuō)理。

結(jié)合上一小節(jié)所述的課堂活躍度PID調(diào)節(jié)控制量，教師在授課過(guò)程中可根據(jù)本節(jié)中討論的具體方法來(lái)調(diào)節(jié)課堂活躍度。

綜上，課堂活躍度的PID調(diào)節(jié)方法結(jié)構(gòu)如圖2所示。利用教師自主觀測(cè)的當(dāng)前活躍度信息以及目前的最佳活躍度參考值，計(jì)算活躍度誤差信號(hào);進(jìn)一步，然后根據(jù)以往的誤差信息，獲得其微分值與積分值，從而綜合分析當(dāng)前、過(guò)去與未來(lái)的誤差信號(hào)信息，得到PID控制量;最終利用三類主動(dòng)調(diào)節(jié)手段，實(shí)現(xiàn)活躍度系統(tǒng)的PID控制輸入。

五、案例分析

下面，以第3節(jié)中討論的連續(xù)函數(shù)定義與樣例分析的教學(xué)過(guò)程為例，說(shuō)明課堂活躍度PID調(diào)節(jié)的具體實(shí)施過(guò)程。

初始課堂活躍度在最佳值附近，老師開(kāi)始授課。

老師：連續(xù)函數(shù)，顧名思義，表示函數(shù)值隨著自變量變化不會(huì)產(chǎn)生跳躍性或者間斷性的改變。（概念性簡(jiǎn)介——保持型）

學(xué)生：（吸收連續(xù)函數(shù)的概念性介紹）。

老師主動(dòng)觀察課堂活躍度：活躍度保持在參考最佳值附近;經(jīng)過(guò)綜合評(píng)估，可順利進(jìn)行下一步教學(xué)內(nèi)容。

老師：我們給出連續(xù)函數(shù)的具體定義：考慮函數(shù)[f（x）]與[x0∈R]，若對(duì)任意給定的[a>0]，都存在[b>0]，使得對(duì)任意[x∈[x0-b， x0+b]]，均有[fx-f（x0）

學(xué)生：（緩慢消化連續(xù)函數(shù)定義知識(shí)點(diǎn)，部分學(xué)生興趣度下降）。

老師主動(dòng)觀察課堂活躍度：活躍度開(kāi)始下降;經(jīng)過(guò)綜合評(píng)估，采用增強(qiáng)型方法提升課堂活躍度。

老師：我們用一個(gè)連續(xù)函數(shù)的例子來(lái)說(shuō)明該定義。最簡(jiǎn)單的二次函數(shù)[fx=x2]是連續(xù)函數(shù)，這是符合直觀感受的。那么如何從定義出發(fā)來(lái)證明這個(gè)二次函數(shù)是連續(xù)的？（主動(dòng)問(wèn)答——增強(qiáng)型）

學(xué)生：（開(kāi)始把注意力轉(zhuǎn)向思考該問(wèn)題;課堂活躍度開(kāi)始回升）。

老師主動(dòng)觀察課堂活躍度：活躍度開(kāi)始回升。雖然活躍度誤差為負(fù)值，但其微分值為正值，經(jīng)過(guò)綜合評(píng)估，可進(jìn)行下一步教學(xué)內(nèi)容，采用思路介紹的方法，逐步引入。

老師：從連續(xù)函數(shù)的定義中可以看出[b]的存在性是一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題。由于函數(shù)形式已知，我們嘗試用計(jì)算的辦法來(lái)給出[b]的具體取值。（思路介紹——保持型;將衰弱型的邏輯推演過(guò)程轉(zhuǎn)化為多個(gè)保持型過(guò)程，利于課堂活躍度的調(diào)節(jié)）

學(xué)生：（理解選取[b]的意義，開(kāi)始思考如何計(jì)算[b]）。

老師主動(dòng)觀察課堂活躍度：活躍度保持在最佳參考值附近;經(jīng)過(guò)綜合評(píng)估，采用拆分法分解冗長(zhǎng)的邏輯推演過(guò)程，利于學(xué)生逐步理解知識(shí)內(nèi)容。

老師：首先我們計(jì)算當(dāng)[x∈[x0-b， x0+b]]時(shí)，[fx-f（x0）]的上界。結(jié)合三角不等式，可得[fx-f（x0）=2x0x-x0+x-x02≤2x0x-x0+x-x02≤2x0b+b2。]（邏輯推演——衰弱型;由于將冗長(zhǎng)的推演過(guò)程拆分，減少了課堂活躍度的衰減程度）

學(xué)生：（理解該不等式的推理過(guò)程）。

老師主動(dòng)觀察課堂活躍度：活躍度開(kāi)始下降。此時(shí)，活躍度誤差及其微分、積分值均為負(fù)值，經(jīng)過(guò)綜合評(píng)估，需要進(jìn)一步具體分解邏輯推演過(guò)程，防止課堂活躍度過(guò)低。

老師：我們想要不等式的右端小于[a]，一個(gè)簡(jiǎn)單的想法就是不等式右端的每一項(xiàng)都小于等于[a3]。因此，我們得到一種的[b]選取方法[b=mina6|x0|，3a3]。（邏輯推演——衰退型）

學(xué)生：（理解接受[b]值的由來(lái)，并且明白[b]值選取的基本要求）。

老師主動(dòng)觀察課堂活躍度：活躍度進(jìn)一步下降。此時(shí)，課堂活躍度有過(guò)低的風(fēng)險(xiǎn)，經(jīng)過(guò)綜合評(píng)估，采用主動(dòng)問(wèn)答方法，進(jìn)一步確認(rèn)課堂活躍度，并激發(fā)課堂互動(dòng)。

老師：基于上面的討論，考慮任意給定的[a>0]，我們?cè)O(shè)[b=mina6|x0|，3a3]，此時(shí)是不是有[fx-f（x0）≤2a3

學(xué)生：對(duì)（消化了整體推演與計(jì)算邏輯，主動(dòng)回答教師提問(wèn);課堂活躍度回升）。

在上述課堂教學(xué)過(guò)程，要求教師實(shí)時(shí)自主評(píng)估當(dāng)前課堂活躍度與最佳參考值之間的差距，通過(guò)保持型、增長(zhǎng)型和衰弱型三類調(diào)節(jié)方法，實(shí)現(xiàn)課堂活躍度的實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)，同時(shí)完成既定的教學(xué)任務(wù)與目標(biāo)。

六、結(jié)語(yǔ)

本文從工程控制中的經(jīng)典方法PID控制出發(fā)，討論了大學(xué)數(shù)學(xué)課堂活躍度PID調(diào)節(jié)。通過(guò)具體地分析課堂活躍度誤差信號(hào)及其微分值與積分值，建立活躍度PID調(diào)節(jié)控制規(guī)律。進(jìn)一步，簡(jiǎn)述了三類調(diào)節(jié)課堂活躍度的方法，并且以連續(xù)函數(shù)教學(xué)為例，分析活躍度的PID調(diào)節(jié)方法。

由于目前科學(xué)測(cè)量與標(biāo)定課堂活躍度的手段欠缺，本文僅從基本概念、方法論的角度給出了課堂活躍度PID調(diào)節(jié)的設(shè)計(jì)與實(shí)施過(guò)程。下一步的研究工作將聚焦到課堂活躍度動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的量化分析以及控制器的數(shù)值性處理。

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[責(zé)任編輯：林志恒]