楊柳 喻平

摘要：兒童思維發(fā)展一直是心理學(xué)關(guān)注的重要課題。其主要探討兒童思維發(fā)展的階段性規(guī)律和思維發(fā)展的訓(xùn)練方式;在數(shù)學(xué)思維方面，開展了數(shù)概念發(fā)展、空間觀念發(fā)展、推理思維發(fā)展等多方面的研究。梳理相關(guān)研究成果，能給小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)帶來一些啟示：把握年齡關(guān)鍵時(shí)期，有目標(biāo)地培養(yǎng);開展數(shù)學(xué)閱讀訓(xùn)練，有根基地培養(yǎng);強(qiáng)調(diào)自我監(jiān)控內(nèi)化，有策略地培養(yǎng);突出合情演繹并重，有方向地培養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：思維發(fā)展;關(guān)鍵時(shí)期;數(shù)學(xué)閱讀;自我監(jiān)控;邏輯推理

兒童思維發(fā)展一直是心理學(xué)關(guān)注的重要課題。自從皮亞杰提出兒童認(rèn)知發(fā)展階段理論以來，關(guān)于這個(gè)問題的研究得到了許多結(jié)果。盡管諸多研究的結(jié)果并不完全一致，但是不同的研究從不同的側(cè)面揭示了兒童思維發(fā)展的一些基本規(guī)律。顯然，認(rèn)識(shí)這些兒童思維發(fā)展的規(guī)律，對(duì)于教學(xué)具有重大的指導(dǎo)意義。本文對(duì)小學(xué)生思維發(fā)展的一些研究成果做簡(jiǎn)單介紹，并基于這些研究成果提出相應(yīng)的教學(xué)策略。

一、心理學(xué)關(guān)于兒童思維發(fā)展的研究

（一）思維發(fā)展的階段性

1.皮亞杰的兒童思維發(fā)展階段理論。

皮亞杰的基本假設(shè)是，認(rèn)知發(fā)展的過程是一個(gè)內(nèi)在結(jié)構(gòu)連續(xù)的組織和再組織過程，過程的進(jìn)行是連續(xù)和經(jīng)常的，但它造成的結(jié)果是不連續(xù)的，因此發(fā)展具有階段性。在此基礎(chǔ)上，他把兒童的思維發(fā)展分為四個(gè)階段。（1）感知運(yùn)動(dòng)階段（0—2歲）。主要通過感覺動(dòng)作圖式與外界取得平衡，處理主客體關(guān)系。（2）前思維運(yùn)算階段（2—7歲）。認(rèn)知活動(dòng)的特點(diǎn)是相對(duì)具體、不可逆、不守恒、以自我為中心、刻板。（3）具體思維運(yùn)算階段（7—11歲）。出現(xiàn)了可逆性和守恒性，可以進(jìn)行群集運(yùn)算。（4）形式運(yùn)算思維階段（11歲以后）。具體運(yùn)算思維經(jīng)過不斷同化、順應(yīng)、平衡，逐步形成形式運(yùn)算結(jié)構(gòu)，即形成命題運(yùn)算思維，與成人思維接近，達(dá)到成熟的思維形式。

皮亞杰的理論說明，一個(gè)人的思維發(fā)展有階段性，每個(gè)階段有自身的規(guī)律，發(fā)展階段是按照固定的連續(xù)性順序進(jìn)行的。因此，對(duì)學(xué)生思維的培養(yǎng)應(yīng)當(dāng)遵循這些規(guī)律，明確每個(gè)階段應(yīng)當(dāng)發(fā)展學(xué)生的哪些思維要素。

2.朱智賢、林崇德的兒童思維發(fā)展理論。

我國(guó)學(xué)者朱智賢和林崇德帶領(lǐng)的團(tuán)隊(duì)，對(duì)兒童思維發(fā)展開展了長(zhǎng)期的研究。他們的研究成果，可以主要概括為：（1）5—6歲是思維發(fā)展的第一個(gè)飛躍期，是從具體形象思維向抽象邏輯思維發(fā)展的過渡期;（2）整個(gè)小學(xué)階段逐步從以具體形象思維為主過渡到以抽象邏輯思維為主的形式;（3）小學(xué)四年級(jí)（約10—11歲）是數(shù)學(xué)概括能力發(fā)展的一個(gè)轉(zhuǎn)折期，也是思維發(fā)展的關(guān)鍵期;（4）小學(xué)生從具體形象思維向抽象邏輯思維的發(fā)展存在著不平衡性。

這項(xiàng)研究表明，小學(xué)生的思維發(fā)展存在關(guān)鍵期，如果在關(guān)鍵期得不到有效的培養(yǎng)，那么他們的思維發(fā)展就會(huì)受到損害，從而影響他們?cè)谶@個(gè)年齡階段之后的思維發(fā)展。

（二）數(shù)學(xué)思維的發(fā)展

1.數(shù)概念的發(fā)展。

劉范等對(duì)我國(guó)10個(gè)地區(qū)959名7—12歲兒童數(shù)學(xué)概念的發(fā)展情況做了系統(tǒng)研究，選擇了認(rèn)數(shù)、數(shù)序和系列、數(shù)的組成、運(yùn)算和應(yīng)用等四個(gè)方面的研究材料。結(jié)果顯示：（1）7—8歲階段，兒童初步形成三位以內(nèi)整數(shù)的概念系統(tǒng)，基本掌握三、四位數(shù)范圍內(nèi)的“相鄰數(shù)”“認(rèn)寫”“比大小”“圖與數(shù)”等項(xiàng)目，一般只能從二維空間認(rèn)知圖形;（2）9—11歲階段，兒童關(guān)于整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的概念系統(tǒng)處于鞏固和形成的過程中，基本掌握萬以上的整數(shù)，小數(shù)和分?jǐn)?shù)的概念開始形成，逐步由在二維空間認(rèn)識(shí)圖形向在三維空間認(rèn)識(shí)圖形過渡;（3）11—12歲階段，兒童整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的概念系統(tǒng)逐步趨向統(tǒng)一，一般都能較好地掌握整數(shù)、小數(shù)概念，基本掌握分?jǐn)?shù)概念，逐步形成三維空間觀念。

林崇德對(duì)小學(xué)生數(shù)概念及運(yùn)算能力的發(fā)展做了研究。首先，確定小學(xué)生的數(shù)概括能力為五個(gè)水平等級(jí)。（1）直觀概括水平：依靠實(shí)物、教具或配合手指來掌握10以內(nèi)的數(shù)概念。（2）具體形象概括的運(yùn)算水平：掌握一定整數(shù)的實(shí)際意義、數(shù)的順序和數(shù)的組成。（3）形象抽象概括的運(yùn)算水平：掌握整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)的實(shí)際意義、大小、順序和組成，掌握一些幾何體的定義和有關(guān)計(jì)算公式。（4）初步代數(shù)概括的運(yùn)算水平：能用字母的抽象代替數(shù)字的抽象，能初步列方程解應(yīng)用題，開始掌握算術(shù)范圍內(nèi)的交集與并集思想。（5）代數(shù)命題概括的運(yùn)算水平：能根據(jù)假設(shè)進(jìn)行概括。

在此基礎(chǔ)上的研究結(jié)果表明：小學(xué)兒童的數(shù)概括能力發(fā)展水平，既表現(xiàn)出比較顯著的年齡特征，又存在著個(gè)體差異。具體而言，7—8歲兒童基本上屬于具體形象概括;8—10歲兒童從具體形象概括向形象抽象概括過渡，且大部分兒童在三年級(jí)就完成了這個(gè)過渡;10—12歲兒童大多數(shù)進(jìn)入初步本質(zhì)抽象的概括水平。其中，10—11歲兒童在數(shù)概括能力發(fā)展中有顯著的變化，這是小學(xué)生掌握數(shù)概念中，從以具體形象概括為主要形式過渡到以抽象邏輯概括為主要形式的一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)。

2.空間觀念的發(fā)展。

呂靜等研究了兒童面積等分概念的發(fā)展。結(jié)果表明：（1）兒童7歲以前基本上沒有面積等分概念，8歲才出現(xiàn)面積等分概念的萌芽，9—10歲介于萌芽和過渡階段，11歲才達(dá)到基本掌握階段;（2）兒童面積等分概念的認(rèn)知水平發(fā)展是形與數(shù)的矛盾統(tǒng)一過程;（3）兒童認(rèn)知水平的發(fā)展是由直接感知占主導(dǎo)地位逐步向抽象推理的間接認(rèn)知占主導(dǎo)地位的轉(zhuǎn)化過程，但不論哪種認(rèn)知成分占主導(dǎo)地位，常有其他許多種認(rèn)知成分同時(shí)起作用;（4）同種認(rèn)知成分在不同年齡階段所起的作用有不同質(zhì)的變化;（5）在面積等分概念中，7歲后的教育有效性才顯著增加。

趙淑文等對(duì)學(xué)生容積概念的發(fā)展做了研究。結(jié)果顯示：（1）8—15歲學(xué)生對(duì)容積變化的認(rèn)知隨年齡而增長(zhǎng)，12—15歲是迅速發(fā)展時(shí)期;（2）從認(rèn)知水平看，可以依次分為任意性回答、憑直接感知進(jìn)行推理、靠表象概括和推理、運(yùn)用概念進(jìn)行邏輯推理四種;（3）8—15歲兒童對(duì)容積變化的認(rèn)知錯(cuò)誤表現(xiàn)有，混淆面積與體積，分不清體積與高度，分不清容積變化的數(shù)量與空間的相應(yīng)位置;（4）8—15歲兒童描述某些物理現(xiàn)象或以數(shù)量表示某些物理現(xiàn)象的變化時(shí)，可能答案是正確的，但對(duì)其的解釋卻是錯(cuò)誤的，表現(xiàn)出認(rèn)知水平的若干差異。因此，在教學(xué)活動(dòng)中，教師不應(yīng)滿足于兒童卷面答案的正確，而應(yīng)進(jìn)一步了解兒童理解的深度以及思維的方式等。沈家鮮等的研究結(jié)果與上述結(jié)果類似。

3.其他數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

劉范等的研究表明，在交集概念的發(fā)展方面，小學(xué)生已經(jīng)具有掌握簡(jiǎn)單交集概念的心理基礎(chǔ)，對(duì)交集的認(rèn)知結(jié)構(gòu)包括直接認(rèn)知（感知和操作）、間接認(rèn)知（表象推理和邏輯推理）等成分的動(dòng)力系統(tǒng)。

張?jiān)鼋艿鹊难芯勘砻?，兒童的概率概念隨年齡而發(fā)展，10歲左右起，簡(jiǎn)單概率概念的發(fā)展加速，這是易于傳授概率知識(shí)的時(shí)期;對(duì)概率的認(rèn)識(shí)可按次分為三步：認(rèn)識(shí)事件的可能性和隨機(jī)分布，認(rèn)識(shí)可能性的相對(duì)大小，以數(shù)量表示概率。

思維的發(fā)展很大程度上表現(xiàn)在推理方面，這方面有許多研究。比如，孫紅梅等的研究表明，小學(xué)五年級(jí)學(xué)生在進(jìn)行歸納推理時(shí)與成人的表現(xiàn)相一致，小學(xué)一年級(jí)和三年級(jí)學(xué)生在基于概念的歸納推理方面還處于過渡期。

（三）思維發(fā)展的訓(xùn)練

1.思維品質(zhì)訓(xùn)練。

思維品質(zhì)是反映思維質(zhì)量高低的重要指標(biāo)。要使思維得到發(fā)展，思維品質(zhì)起著舉足輕重的作用，也就是說，思維是否得到發(fā)展應(yīng)當(dāng)以思維質(zhì)量的高低來判斷。例如，思維的深刻性不高，就不能認(rèn)為邏輯思維得到了有效的發(fā)展。因此，許多學(xué)者都十分注重對(duì)思維品質(zhì)的培養(yǎng)。

林崇德采用一系列干預(yù)手段來訓(xùn)練學(xué)生，以提升他們的思維品質(zhì)。如：通過提高運(yùn)算速度的訓(xùn)練，培養(yǎng)思維的敏捷性;通過“一題多解”和“一題多變”，培養(yǎng)思維的靈活性;通過概括能力和推理能力的訓(xùn)練，培養(yǎng)思維的深刻性;通過自編題目的方式，培養(yǎng)思維的獨(dú)創(chuàng)性。這些方式對(duì)學(xué)生思維的發(fā)展產(chǎn)生了積極的推進(jìn)作用。

2.推理思維訓(xùn)練。

孫紅梅等的研究表明，在低年級(jí)學(xué)生進(jìn)行歸納推理時(shí)呈現(xiàn)具體實(shí)物，有助于他們對(duì)呈現(xiàn)材料的記憶;幫助小學(xué)生理解規(guī)則并運(yùn)用規(guī)則，有助于他們深層次的歸納推理能力的提高。

胡衛(wèi)平開發(fā)了面向所有學(xué)科的“學(xué)思維”活動(dòng)課程，其中的每個(gè)活動(dòng)都包括四個(gè)環(huán)節(jié)：（1）活動(dòng)導(dǎo)入，即創(chuàng)設(shè)情境，引起學(xué)生認(rèn)知沖突，激起學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的環(huán)節(jié);（2）活動(dòng)過程，即按照活動(dòng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，組織學(xué)生觀察、思考、討論、實(shí)驗(yàn)的環(huán)節(jié);（3）活動(dòng)心得，即引導(dǎo)學(xué)生回顧整個(gè)活動(dòng)，總結(jié)心得，引起反思的環(huán)節(jié);（4）活動(dòng)拓展。研究表明，學(xué)生在歸納推理、演繹推理、空間認(rèn)知、類比推理和抽象概括能力上都得到了顯著提高。

3.系統(tǒng)思維訓(xùn)練。

陳德煜等對(duì)小學(xué)三年級(jí)學(xué)生開展了數(shù)學(xué)思維能力訓(xùn)練的實(shí)驗(yàn)研究：結(jié)合數(shù)學(xué)教材內(nèi)容編寫訓(xùn)練題，用一定的時(shí)間安排邏輯思維方法教學(xué)。內(nèi)容分為七個(gè)單元：概念的理解與數(shù)量關(guān)系;概念的聯(lián)系與判斷;比較、抽象、概括和推理;分析和綜合訓(xùn)練;認(rèn)清條件，分析和解決問題;一題多變、一題多解訓(xùn)練思維的靈活性;解決難題訓(xùn)練。例如，比較和概括能力的訓(xùn)練要求如下：使學(xué)生通過比較條件類似或提法略有不同的應(yīng)用題，概括出它們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，加強(qiáng)對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解，提高解答應(yīng)用題的能力。方法如下：按照“學(xué)生獨(dú)立審題—按問題完成作業(yè)—共同討論答案—師生合作概括結(jié)論”的步驟教學(xué)。研究結(jié)果表明，實(shí)驗(yàn)班學(xué)生的邏輯思維能力得到了明顯的提升。

4.元認(rèn)知訓(xùn)練。

郭成研究了元認(rèn)知訓(xùn)練對(duì)小學(xué)生數(shù)學(xué)解題能力的影響：以元認(rèn)知外顯訓(xùn)練、元認(rèn)知內(nèi)隱訓(xùn)練和一般思維策略訓(xùn)練三種方式，對(duì)小學(xué)五年級(jí)學(xué)生做了實(shí)驗(yàn)。元認(rèn)知內(nèi)隱訓(xùn)練是通過教學(xué)示范讓學(xué)生自己體會(huì)、感受元認(rèn)知策略的有效性，并不特意地以一些明顯的外顯操作活動(dòng)和要求來告誡學(xué)生。元認(rèn)知外顯訓(xùn)練是以一些明顯的外在操作活動(dòng)和要求來指導(dǎo)學(xué)生怎樣學(xué)習(xí)、怎樣掌握，其操作程序如下：（1）結(jié)合例題向?qū)W生講解關(guān)于元認(rèn)知的知識(shí);（2）以展示元認(rèn)知監(jiān)控的教學(xué)思路向?qū)W生講解應(yīng)用題的解題策略，并告訴學(xué)生這種策略的使用對(duì)成功地解決應(yīng)用題的有效性;（3）設(shè)計(jì)并使用專門的“元認(rèn)知監(jiān)控單”對(duì)學(xué)生進(jìn)行提示性練習(xí);（4）要求學(xué)生運(yùn)用出聲思維（說出理由）進(jìn)行自我指導(dǎo)，監(jiān)控思維活動(dòng)。研究結(jié)果顯示，小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題解題的元認(rèn)知外顯訓(xùn)練和內(nèi)隱訓(xùn)練的效果明顯優(yōu)于一般思維策略訓(xùn)練的效果，能更有效地促進(jìn)小學(xué)生應(yīng)用題解題能力的提高，但總體上，元認(rèn)知外顯訓(xùn)練和內(nèi)隱訓(xùn)練的效果沒有顯著差異。

5.思維訓(xùn)練融入教學(xué)。

張梅玲開展了十年的“現(xiàn)代小學(xué)數(shù)學(xué)”教學(xué)實(shí)驗(yàn)，在總體設(shè)計(jì)上，把對(duì)主體認(rèn)識(shí)對(duì)象的客體的建構(gòu)（小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容）和對(duì)主體對(duì)客體認(rèn)識(shí)的發(fā)展規(guī)律的研究有機(jī)地結(jié)合起來。（1）建構(gòu)知識(shí)的主線。例如，以“1”為基礎(chǔ)標(biāo)準(zhǔn)，揭示小學(xué)數(shù)學(xué)中部分與整體的關(guān)系。實(shí)驗(yàn)教材循著“1”這條發(fā)展線索把整數(shù)、分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比值等概念基本上構(gòu)建在一個(gè)系統(tǒng)中， 并用“1”說明它們之間的內(nèi)在聯(lián)系和層次之間的過程。（2）提出建構(gòu)知識(shí)的原則。包括：抓基礎(chǔ)，促遷移，使學(xué)生從學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化到會(huì)學(xué);寓辯證法于教材，萌發(fā)小學(xué)生的辯證思維;寓教法于教材，增加學(xué)生在教學(xué)過程中的參與度;抓訓(xùn)練，促發(fā)展，使學(xué)生在掌握知識(shí)的同時(shí)發(fā)展智能。（3）提出許多具體的教學(xué)策略。例如應(yīng)用題教學(xué)的一些策略：口頭表述訓(xùn)練、設(shè)景激活表象、圖形表征幫助理解、變式訓(xùn)練、完善知識(shí)結(jié)構(gòu)等。實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維得到大幅度提升。

二、對(duì)小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示

數(shù)學(xué)教學(xué)的任務(wù)不僅是幫助學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)、形成基本技能，更重要的是發(fā)展學(xué)生的思維。小學(xué)階段是人的一生中思維發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期，如果在這一時(shí)期不注意發(fā)展學(xué)生的思維，那么對(duì)他們后續(xù)的思維發(fā)展是極為不利的。對(duì)此，小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該做好以下幾個(gè)方面的工作。

（一）把握年齡關(guān)鍵時(shí)期，有目標(biāo)地培養(yǎng)

從上面對(duì)心理學(xué)研究的概述中可以看到，兒童的思維發(fā)展是存在年齡規(guī)律的。因此，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)根據(jù)這些規(guī)律，在兒童思維發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期進(jìn)行有針對(duì)性的培養(yǎng)。具體地，不同時(shí)期的主要培養(yǎng)目標(biāo)如下：在9—11歲，注意發(fā)展學(xué)生的小數(shù)、分?jǐn)?shù)概念，培養(yǎng)學(xué)生的空間能力;在10—11歲，著力培養(yǎng)學(xué)生的空間觀念和空間想象能力;在8—10歲，注意發(fā)展學(xué)生的形象抽象能力;在10—11歲，注意培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力。

比如，對(duì)推理能力的訓(xùn)練可分為三個(gè)層次。（1）直觀形象推理訓(xùn)練，多安排在低年級(jí)。學(xué)生可以從已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)作出判斷推理。訓(xùn)練題目多以直觀圖形顯示數(shù)量關(guān)系以及事物的邏輯關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察圖形、比較分析作出判斷，逐步使用“因?yàn)椤浴钡木涫接袟l理地表達(dá)思維過程。（2）抽象概括思維訓(xùn)練，多安排在中年級(jí)。抽象概括是通過案例找出一類事物的共同屬性或本質(zhì)特征的思維形式，抽象概括思維的水平直接影響邏輯推理思維的水平。抽象概括思維的訓(xùn)練可采用找規(guī)律、尋共性的方式，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和歸納能力。（3）三段論式推理訓(xùn)練，多安排在中年級(jí)和高年級(jí)?？梢灾鸩揭肴握撏评矸绞剑箤W(xué)生循序漸進(jìn)地接受形式邏輯推理，從而養(yǎng)成相對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S習(xí)慣，形成初步的邏輯思維能力。

在學(xué)生思維發(fā)展的關(guān)鍵時(shí)期進(jìn)行有針對(duì)性的訓(xùn)練，可以考慮以下兩種方式：

其一，組織材料進(jìn)行專題訓(xùn)練，即選取與思維發(fā)展相關(guān)的學(xué)習(xí)材料，讓學(xué)生學(xué)習(xí)。這些材料并不囿于教材內(nèi)容。

例1（1）請(qǐng)從所給的四個(gè)選項(xiàng)中，選擇最合適的一個(gè)填入圖1中問號(hào)處，使之呈現(xiàn)一定的規(guī)律性（）

（2）請(qǐng)從所給的四個(gè)選項(xiàng)中，選擇最合適的一個(gè)，使之符合圖2的規(guī)律性（）

這里，圖1中圖形的變化規(guī)律為圖形順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，圓內(nèi)增加一個(gè)小方塊，依此規(guī)律，只有D選項(xiàng)符合;圖2中圖形的變化規(guī)律為長(zhǎng)線段順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，短線段順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，依此規(guī)律，只有B選項(xiàng)符合。本題的材料是教材外的內(nèi)容，但可以訓(xùn)練學(xué)生的圖形推理能力，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的直觀想象能力。

其二，融思維訓(xùn)練于日常教學(xué)。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)學(xué)生的思維訓(xùn)練應(yīng)當(dāng)做到：不僅要知道怎么做，而且要知道為什么這樣做（比如，不僅要掌握算法，而且要理解算理）;不僅要理解知識(shí)的內(nèi)涵，而且要體悟深藏于知識(shí)中的思想方法;不僅要注重演繹推理的訓(xùn)練，而且要強(qiáng)調(diào)歸納與類比推理的訓(xùn)練;不僅要感知數(shù)學(xué)的科學(xué)特質(zhì)，而且要體會(huì)數(shù)學(xué)的文化特征。在解答問題的過程中，要遵循形式邏輯的基本規(guī)則，言必有據(jù)。

（二）開展數(shù)學(xué)閱讀訓(xùn)練，有根基地培養(yǎng)

數(shù)學(xué)閱讀的心理過程一般包括以下四個(gè)方面：

第一，內(nèi)化。內(nèi)化是指?jìng)€(gè)體將外部信息轉(zhuǎn)化為內(nèi)部信息的過程，包括選擇性編碼和語言互譯兩個(gè)環(huán)節(jié)。

選擇性編碼是指?jìng)€(gè)體從所給的信息中選擇有用信息、排除無關(guān)信息的加工過程。選擇性編碼的另一層含義是將一些比較隱蔽的信息從信息源中選擇出來。

例21952年的一天，蘇珊正在翻弄一個(gè)小本子，查找著什么。

“這是過去的日記?！彼f，“我想看看某年某月最后的那一天都記了些什么，那是我們初次相遇的日子。”

“我認(rèn)為那一天是很有意義的。”薩姆特地關(guān)掉收音機(jī)，對(duì)蘇珊說，“如果你把那個(gè)月份最后一天以前的日數(shù)加到那一年其余月份中大月超小月的數(shù)值上，你就可以得出我們初次相見以后那個(gè)月份的天數(shù)了?！?/p>

薩姆想了一會(huì)兒，又說：“而且那一天的日期等于那一年年代數(shù)的前兩位數(shù)字與后兩位數(shù)字之和。”

蘇珊對(duì)她丈夫的難題習(xí)以為常。不過，她日記中記載的那個(gè)日子到底是哪年哪月的幾號(hào)呢？蘇珊一時(shí)難以回答。

你能否幫助蘇珊解答這個(gè)問題？

要解答這個(gè)問題，必須先閱讀上面的材料，對(duì)有關(guān)信息作出合理的選擇性編碼，找到解題所需的條件及隱含條件。只有沒有遺漏地選出以下有關(guān)信息，并作出正確的理解，同時(shí)除去其他冗余信息，才能為理解問題和解決問題奠定基礎(chǔ)。

（1）過去的日記（隱含著那是1952年以前的事情）。

（2）那是我們初次相遇的日子（隱含著蘇珊和薩姆當(dāng)時(shí)都是年輕人，而且這個(gè)日子是唯一的）。

（3）那一天是某年某月最后的一天。

（4）關(guān)掉收音機(jī)（1912年才有實(shí)用收音機(jī)問世，因此暗示了要求的年代是1912年以后）。

（5）那個(gè)月份最后一天以前的日數(shù)與那一年其余月份中大月超小月的數(shù)值之和等于初次相見以后那個(gè)月份的天數(shù)。

（6）那一天的日期等于那一年年代數(shù)的前兩位數(shù)字與后兩位數(shù)字之和。

數(shù)學(xué)語言包括文字語言、符號(hào)語言、圖形與圖表語言。在閱讀中，往往要對(duì)材料進(jìn)行語言之間的互譯。因?yàn)橐粋€(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象往往可以用不同的語言描述，所以閱讀者應(yīng)該采用多種語言描述該對(duì)象，從而全方位地認(rèn)識(shí)它;或者把該對(duì)象的描述從一種語言轉(zhuǎn)化為另一種語言，從而形成對(duì)它的最佳心理表征。

例如，對(duì)于例2中的閱讀材料，需要將選出的信息5、信息6所給出的文字語言轉(zhuǎn)化成符號(hào)語言，才方便利用數(shù)學(xué)工具解決相應(yīng)問題：

設(shè)一年中大月數(shù)為M，小月數(shù)為N，所求月的天數(shù)為x，所求月以后那個(gè)月的天數(shù)為y，然后根據(jù)具體情況，對(duì)方程y=（x-1）+[M-（N-1）]進(jìn)行討論。

第二，理解。對(duì)閱讀材料的理解，要經(jīng)過從局部到整體的加工過程。閱讀者首先內(nèi)化局部信息，然后逐步找出各信息之間的聯(lián)系，最后整體加工信息，建立新信息與自己認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有觀念的聯(lián)系，利用已有知識(shí)與新信息之間的作用來達(dá)到理解的目的。

第三，推理。數(shù)學(xué)閱讀材料通常由概念、命題、模型、例題及習(xí)題等組成，這些內(nèi)容都與推理有關(guān)。所以，數(shù)學(xué)閱讀過程就是一個(gè)推理的過程，需要閱讀者具備一定的數(shù)學(xué)知識(shí)，掌握基本的邏輯推理規(guī)則。

第四，反省。反省貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)閱讀過程中，主要表現(xiàn)為自我提問。這個(gè)過程是訓(xùn)練學(xué)生元認(rèn)知的過程。

上面四個(gè)方面反映出，數(shù)學(xué)閱讀對(duì)思維訓(xùn)練具有獨(dú)特的、不可替代的作用，而這種作用只有在實(shí)際閱讀的過程中方能顯示出來。蘇霍姆林斯基說過：讓學(xué)生變聰明的方法不是補(bǔ)課，不是增加作業(yè)量，而是閱讀，閱讀，再閱讀。一個(gè)閱讀能力不好的學(xué)生就是一個(gè)潛在的差生。如果在小學(xué)里沒有教會(huì)學(xué)生迅速地閱讀，那么在日后的學(xué)習(xí)中，學(xué)生就會(huì)遇到無法克服的困難?？梢哉f，數(shù)學(xué)閱讀是數(shù)學(xué)教學(xué)中思維訓(xùn)練的根基。

對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)閱讀訓(xùn)練，主要有以下兩種方式：

其一，課外閱讀訓(xùn)練。即教師給學(xué)生選擇課外閱讀材料，供學(xué)生課外閱讀。選擇的材料要適合學(xué)生的具體情況，內(nèi)容可包括數(shù)學(xué)發(fā)展史、數(shù)學(xué)家傳記、數(shù)學(xué)在生活中的應(yīng)用、趣味數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)文化等，而不是數(shù)學(xué)習(xí)題解答。通過數(shù)學(xué)閱讀，學(xué)生可以開闊視野，領(lǐng)略數(shù)學(xué)家科學(xué)研究的奮進(jìn)精神，體會(huì)數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)生活中的廣泛應(yīng)用性，欣賞數(shù)學(xué)美，更重要的是，可以訓(xùn)練用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)思維思考世界，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

其二，課堂教學(xué)滲透閱讀訓(xùn)練。其方式有很多，如：（1）問題導(dǎo)向閱讀，即在閱讀材料中適當(dāng)?shù)牡胤讲迦雴栴}讓學(xué)生討論，以引領(lǐng)學(xué)生閱讀;（2）提綱引領(lǐng)閱讀，即根據(jù)閱讀材料或設(shè)置的問題列出閱讀提綱，讓學(xué)生按照提綱閱讀，使學(xué)生在閱讀前了解讀什么、怎么讀，即對(duì)閱讀的內(nèi)容、目的、方法有基本的了解、嘗試和期待。教學(xué)中，還可以通過指導(dǎo)和交流，讓學(xué)生嘗試提出閱讀問題，編寫閱讀提綱。

（三）強(qiáng)調(diào)自我監(jiān)控內(nèi)化，有策略地培養(yǎng)

元認(rèn)知包括元認(rèn)知知識(shí)、元認(rèn)知體驗(yàn)和元認(rèn)知監(jiān)控三個(gè)維度。其中，元認(rèn)知監(jiān)控也稱自我監(jiān)控，是指?jìng)€(gè)體對(duì)自己思維過程的監(jiān)視、控制和調(diào)節(jié)。顯然，自我監(jiān)控與思維的發(fā)展密切相關(guān)。在教學(xué)過程中，教師要有意識(shí)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行元認(rèn)知監(jiān)控的訓(xùn)練。

使用“元認(rèn)知監(jiān)控自我提問單”是訓(xùn)練元認(rèn)知監(jiān)控的一種有效策略。“元認(rèn)知監(jiān)控自我提問單”一般由一系列問題組成，主要用在問題解決的過程中。

一開始，可以由教師設(shè)計(jì)提問單，引導(dǎo)學(xué)生就提問單上的問題進(jìn)行思考，并以出聲思維的方式進(jìn)行練習(xí)，逐步養(yǎng)成自我提問的意識(shí)和習(xí)慣，即由教師的外部監(jiān)控逐步過渡到學(xué)生的自我監(jiān)控。

例3有一批零件，按4∶9的比例分配給師徒兩人同時(shí)加工。師傅每小時(shí)加工25個(gè)，徒弟每小時(shí)加工的個(gè)數(shù)比師傅少25。徒弟完成任務(wù)后，繼續(xù)幫助師傅共同加工了3.5小時(shí)，才完成任務(wù)。這批零件共有多少個(gè)？

像這樣結(jié)合了比例和未知數(shù)的題目，需要學(xué)生先對(duì)復(fù)雜的條件進(jìn)行簡(jiǎn)化，將師徒二人的速度計(jì)算清楚，隨后根據(jù)分配零件的比例關(guān)系列出等量關(guān)系方程進(jìn)行解答。對(duì)此，教師可以列出如下提問單：

（1）理解題意階段：題目中包含了我們學(xué)過的哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？題目的條件是什么？題目的目標(biāo)是什么？以前見過類似的題目嗎？題目的條件有沒有轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言？復(fù)雜的條件能不能細(xì)化分解？

（2）嘗試解答階段：能不能畫一張圖幫助理解問題？再次讀題后，我準(zhǔn)備怎么解決問題？能否利用以前解答過的問題的思路解決當(dāng)前的問題？能否找到題目中的等量關(guān)系？題目的條件能否全部用上？列出的等式左右兩邊是否相等？

（3）實(shí)施計(jì)劃階段：如何實(shí)現(xiàn)我的求解計(jì)劃？每一個(gè)步驟都是正確的嗎？

（4）檢驗(yàn)總結(jié)階段：解答后，我檢驗(yàn)了嗎？解決這個(gè)問題還有沒有更好的方法？能不能把這個(gè)結(jié)果或方法用于解決其他問題？

在教學(xué)過程中，教師要對(duì)學(xué)生的回答及時(shí)作出評(píng)價(jià)反饋，糾正其錯(cuò)誤的想法，引導(dǎo)其正確的思維。

學(xué)生熟悉了“元認(rèn)知監(jiān)控自我提問單”的使用方法后，可以根據(jù)遇到的不同類型的題目改變提問單的具體內(nèi)容，漸漸地將這種書面化的訓(xùn)練方式內(nèi)化為自覺的思維過程。

（四）突出合情演繹并重，有方向地培養(yǎng)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》將邏輯推理定義為：“從一些事實(shí)和命題出發(fā)，依據(jù)規(guī)則推出其他命題的素養(yǎng)。主要包括兩類：一類是從特殊到一般的推理，推理形式主要有歸納、類比;一類是從一般到特殊的推理，推理形式主要有演繹。”其實(shí)，第一類就是波利亞所說的合情推理。因此，對(duì)于發(fā)展學(xué)生的思維而言，合情推理和演繹推理是同等重要的兩個(gè)方向。

邏輯推理的教育價(jià)值表現(xiàn)在三個(gè)方面。（1）通過邏輯推理的訓(xùn)練可以培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。演繹推理必須依據(jù)已有的命題，嚴(yán)格遵循邏輯的規(guī)則來進(jìn)行，因此，這種思維是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹Ｍㄟ^學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)培養(yǎng)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，是其他學(xué)科所無法替代的。（2）通過邏輯推理的訓(xùn)練可以培養(yǎng)學(xué)生提出問題的能力，因?yàn)樘岢鰡栴}更多地依賴于合情推理。（3）通過邏輯推理的訓(xùn)練可以培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性和獨(dú)創(chuàng)性，因?yàn)樗季S的批判性主要表現(xiàn)為善于獨(dú)立思考、提出質(zhì)疑，能及時(shí)發(fā)現(xiàn)、糾正錯(cuò)誤，能對(duì)自己解決問題的過程進(jìn)行評(píng)價(jià)，而思維的獨(dú)創(chuàng)性主要表現(xiàn)為思維結(jié)果的新穎和獨(dú)特。

在小學(xué)階段，對(duì)演繹推理的要求不太高，但演繹推理又滲透到了許多內(nèi)容中。比如，小學(xué)中關(guān)于數(shù)的運(yùn)算，本質(zhì)上就是運(yùn)算律的直接應(yīng)用，即典型的演繹推理。因此，事實(shí)上，從一年級(jí)開始，學(xué)生的演繹推理能力就在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中被訓(xùn)練了。

相對(duì)而言，在小學(xué)階段，對(duì)合情推理的要求比較高，但合情推理出現(xiàn)得還不夠多。這需要教師適當(dāng)補(bǔ)充歸納推理或類比推理的材料，有意識(shí)地訓(xùn)練學(xué)生的合情推理能力。

例4（1）圖3是一塊長(zhǎng)方體木料（單位：厘米），求它的體積;

（2）利用圖4中的長(zhǎng)方體圖形，想一想長(zhǎng)方體的體積為什么這樣計(jì)算。

第一問讓學(xué)生簡(jiǎn)單運(yùn)用長(zhǎng)方體體積公式，而第二問則讓學(xué)生思考長(zhǎng)方體體積公式的由來，是訓(xùn)練學(xué)生合情推理的好材料。對(duì)此，可以引導(dǎo)學(xué)生按照下列過程思考：長(zhǎng)是5，說明一行有個(gè)同樣的體積單位;寬是4，說明一層有行這樣的體積單位;高是3，說明有層這樣的體積單位。計(jì)算這個(gè)長(zhǎng)方體一共有多少個(gè)這樣的體積單位，算式是，所以，長(zhǎng)方體體積的計(jì)算方法是。

*本文系喻平教授團(tuán)隊(duì)的“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)研究及其教學(xué)啟示”（小學(xué)）系列文章之七。

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