唐登超

【摘要】《雞兔同籠》是一個(gè)經(jīng)典的小學(xué)數(shù)學(xué)課例。《雞兔同籠》情景有趣，解題方法多，符合小學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)。從國(guó)家到地方，大大小小的小學(xué)數(shù)學(xué)教材基本都設(shè)置了這個(gè)教學(xué)內(nèi)容，不同教材的側(cè)重點(diǎn)也不盡相同。一線(xiàn)教師通過(guò)研讀教材、文本重構(gòu)和教學(xué)實(shí)踐，可以加深對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)的理解，提升教學(xué)設(shè)計(jì)能力，最大限度地實(shí)現(xiàn)小學(xué)數(shù)學(xué)課堂的深度學(xué)習(xí)。

【關(guān)鍵詞】小學(xué)數(shù)學(xué);教材整合;深度學(xué)習(xí);列表法;畫(huà)圖法

《小學(xué)數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》提出：人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。鑒于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有探究性、問(wèn)題性等特點(diǎn)，尤為適合采用深度學(xué)習(xí)教學(xué)理念，以便學(xué)生在深度學(xué)習(xí)中自主學(xué)習(xí)。因此，數(shù)學(xué)教師要加強(qiáng)深度學(xué)習(xí)的教學(xué)研究，探索出有益的教學(xué)要點(diǎn)和教學(xué)策略，借深度學(xué)習(xí)優(yōu)化小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)效果。

《雞兔同籠》一課，通常安排在四年級(jí)或者五年級(jí)。使用北師大教材的教師，大多慣用的做法是，新授課上，先教教材中的列表法，然后在練習(xí)課上補(bǔ)充教材以外的假設(shè)法或者抬腿法。大部分學(xué)生喜歡的方法是假設(shè)法或抬腿法，列表法太麻煩，遠(yuǎn)不及假設(shè)法和抬腿法巧妙。問(wèn)題是，感覺(jué)很妙，就意味著真的學(xué)會(huì)了嗎？如此一節(jié)思考性足、趣味性濃的數(shù)學(xué)課，留給學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)卻遠(yuǎn)遠(yuǎn)未達(dá)預(yù)期。在六年級(jí)的復(fù)習(xí)課上，面對(duì)“雞兔同籠”問(wèn)題，學(xué)生常常脫口而出，“假設(shè)全是雞……”但接下來(lái)的解題思路卻無(wú)法展開(kāi)。這就說(shuō)明，深度學(xué)習(xí)并沒(méi)有真正實(shí)現(xiàn)。

如何規(guī)劃學(xué)習(xí)路徑，怎樣才能實(shí)現(xiàn)這節(jié)課的深度學(xué)習(xí)呢？

一、教材對(duì)比，深化教學(xué)理解

蘇教版的《雞兔同籠》以練習(xí)題的方式呈現(xiàn)，內(nèi)容設(shè)置在《解決問(wèn)題的策略》這一單元中。練習(xí)題的解題思路是畫(huà)圖法和列表法。其中，畫(huà)圖法有具體的推理路徑，假設(shè)法采用的是折中假設(shè)。學(xué)生根據(jù)推理路徑和提示信息，展開(kāi)思路，解決問(wèn)題。

人教版的《雞兔同籠》以課堂教學(xué)的主要問(wèn)題情景呈現(xiàn)，依次設(shè)計(jì)了列表法、假設(shè)法和抬腿法。列表法采用半留白的形式，引導(dǎo)學(xué)生自行填表，解決問(wèn)題;假設(shè)法則是直接給出完整解題思路，學(xué)生以“讀懂思路”的方式學(xué)習(xí);抬腿法則是設(shè)置成教材的閱讀資料，給出完整的解題過(guò)程，并未對(duì)學(xué)生做具體要求。

北師大版的《雞兔同籠》課題為“嘗試與猜測(cè)”，也是以課堂教學(xué)的主要問(wèn)題情景呈現(xiàn)，解題思路只有列表法。教材依次設(shè)計(jì)了逐一列表法，跳躍列表法和折中列表法。其中，逐一列表法出現(xiàn)兩次。跳躍列表法有比較清晰的思考過(guò)程;折中列表法則是呈現(xiàn)了完整的折中列表的表格。

通過(guò)不同版本的教材對(duì)比不難看出，不同版本的教材對(duì)“雞兔同籠”問(wèn)題的重視程度不同，解決問(wèn)題的策略也不同。更為重要的是，通過(guò)不同版本的教材對(duì)比，尋找不同的教學(xué)策略的聯(lián)系與區(qū)別，才有更加深入的思考。

二、教學(xué)重構(gòu)，優(yōu)化學(xué)習(xí)路徑

1.列表法要貫穿《雞兔同籠》教學(xué)的始終

（1）列表法是基于假設(shè)的需要

北師大版教材中，列表法的表格是直接完整呈現(xiàn)的。在實(shí)際教學(xué)中，筆者認(rèn)為，學(xué)生有必要積累完整的列表經(jīng)驗(yàn)，只有這樣，學(xué)生在面對(duì)類(lèi)似的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)才能夠順利地根據(jù)題目的數(shù)學(xué)信息列出表格，進(jìn)行嘗試與猜測(cè)。

（2）列表法是探索規(guī)律的利器

以簡(jiǎn)單問(wèn)題“9頭，26腿”為例，學(xué)生經(jīng)過(guò)逐一地嘗試與驗(yàn)證。不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)雞有5只，兔有4只的時(shí)候，總腿數(shù)剛好為26條，從而就解決了這個(gè)問(wèn)題。顯然，這種逐一列表法的思維含量是比較低的。筆者認(rèn)為，它的價(jià)值更多在于無(wú)形中鞏固了“雞的腿數(shù)+兔的腿數(shù)=總腿數(shù)”的數(shù)量關(guān)系;溝通生活與數(shù)學(xué)信息，便于發(fā)現(xiàn)“雞增加1只，兔減少1只，腿的數(shù)量就會(huì)減少2只”等規(guī)律，為課堂教學(xué)的后半階段探究跳躍列表法和折中跳躍法埋下伏筆。

（3）列表法是數(shù)學(xué)思維的催化劑

教師順勢(shì)提出復(fù)雜問(wèn)題——“20頭，54腿”，引導(dǎo)學(xué)生利用已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，研究更便捷的列表策略，解決問(wèn)題。

課堂再現(xiàn)

生1：我覺(jué)得一個(gè)一個(gè)地列表太麻煩，所以，我兩個(gè)兩個(gè)地跳著列，跳到13個(gè)雞，7個(gè)兔的時(shí)候，剛好是54。

生2：我也覺(jué)得一個(gè)一個(gè)地列太麻煩，我還發(fā)現(xiàn)1只雞，19只兔子的時(shí)候，算出來(lái)一共78條腿，差太多了。所以，我五個(gè)五個(gè)地跳，發(fā)現(xiàn)差不多了，才一個(gè)一個(gè)地跳。

師：你跳到15只雞的時(shí)候，又往回跳，才找到13只雞的。你是怎么想的？

生2：因?yàn)?5只雞，5只兔的話(huà)，總共腿數(shù)是50條。腿數(shù)少了，我要增加兔子的數(shù)量，減少雞的數(shù)量。

生4：我直接跳到中間，10只雞，10只兔，發(fā)現(xiàn)總共的腿數(shù)是60條，然后我再一個(gè)一個(gè)地跳。

生5：我發(fā)現(xiàn)跳來(lái)跳去，感覺(jué)跟估算有關(guān)！

師：怎么個(gè)估算法？

生5：就是先跳1次，看腿數(shù)差多少，大概就知道怎么跳了。

生5：如果腿數(shù)差很多，就多跳一些，腿數(shù)差不多，就少跳一些。

生6：我補(bǔ)充，就是看78減去幾個(gè)2，大概是54。

師：也就是說(shuō)，如果知道78減去幾個(gè)2，是54，就不用跳那么辛苦了，是嗎？

生6：是的。

師：78減去幾個(gè)2，是54？

生：12個(gè)。

師：說(shuō)明一個(gè)一個(gè)地跳的話(huà)，我們要跳幾次？

生：12次。

師：跳1次，雞的數(shù)量就加上1，跳12次，雞的數(shù)量就加上？

生：12，所以雞有13只，兔有7只。

……

在列表解決問(wèn)題的過(guò)程中，因思維層次的不同，對(duì)“雞增加1只，兔減少1只，腿的數(shù)量就會(huì)減少2只”這個(gè)規(guī)律的理解也是不同的。表現(xiàn)在列表的策略上，有的學(xué)生還是會(huì)用逐一列表法，雖然麻煩，但最終也能解決問(wèn)題;有的學(xué)生會(huì)嘗試簡(jiǎn)單跳躍，比一般的同學(xué)速度快一些，竊喜不已;有的學(xué)生會(huì)嘗試居中假設(shè)，發(fā)現(xiàn)更快解決問(wèn)題，驚喜不斷;還有的學(xué)生想到腿數(shù)與雞兔數(shù)量的關(guān)系，選擇估算來(lái)跳躍，或者直接計(jì)算來(lái)解決問(wèn)題，豁然開(kāi)朗。

筆者先呈現(xiàn)逐一列表法、跳躍列表法、折中列表法，通過(guò)學(xué)生的直接匯報(bào)交流，強(qiáng)化全體學(xué)生在列表過(guò)程中對(duì)腿數(shù)差距與雞兔數(shù)量的理解。然后，才有了部分學(xué)生想到跳躍法，可能與估算有關(guān)的精彩生成。在筆者的追問(wèn)下，估算逐漸清晰為精確計(jì)算，學(xué)生的思維層層遞進(jìn)，柳暗花明。這部分的教學(xué)路徑可以用以下圖示表達(dá)：

2.畫(huà)圖法是《雞兔同籠》數(shù)學(xué)思想的升華

課的最后，教師看似不經(jīng)意的提問(wèn)，畫(huà)圖法閃亮登場(chǎng)，“一石激起千層浪”。

課堂再現(xiàn)：

師：通過(guò)列表，可以讓我們的嘗試和猜測(cè)變得容易。

師：除此之外，還有其它的方法嗎？

生1：還可以畫(huà)圖。

師：請(qǐng)你上來(lái)畫(huà)一畫(huà)。（圖略）

師：仔細(xì)看他畫(huà)圖的步驟，再看看列表的步驟，有什么發(fā)現(xiàn)？

生2：哦，我知道了，先畫(huà)20個(gè)圈圈，每個(gè)圈圈畫(huà)兩個(gè)腳，相當(dāng)于列表中，假設(shè)全是雞。

生2：接下來(lái)的每一步都和一步列表法對(duì)應(yīng)的。

師：大家覺(jué)得呢？

生3：沒(méi)想到畫(huà)圖法，竟然和列表法有這么深的聯(lián)系。雞兔同籠問(wèn)題的解法，實(shí)在太妙了。

師：是的，無(wú)論是列表，還是畫(huà)圖，都是為了便于我們進(jìn)行嘗試與猜測(cè)。

北師大版本教材將《雞兔同籠》的教學(xué)內(nèi)容命名為“嘗試與猜測(cè)”，或許是為了凸顯在問(wèn)題解決過(guò)程中的嘗試與猜測(cè)的數(shù)學(xué)思想方法。而教材中從一而終的列表法，也無(wú)可厚非。

列表分析問(wèn)題、解決問(wèn)題確實(shí)可以讓學(xué)生的思維更有序。但這么經(jīng)典的數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果學(xué)生只學(xué)到列表法，又總感覺(jué)欠缺了什么?？紤]到小學(xué)生的年齡特點(diǎn)，筆者在充分研讀各版本教材的基礎(chǔ)上，重構(gòu)了文本，定下了以列表為主，畫(huà)圖升華的教學(xué)策略。學(xué)生通過(guò)畫(huà)圖法與列表法的深層次對(duì)比，發(fā)現(xiàn)了兩者之間的聯(lián)系，領(lǐng)悟到畫(huà)圖法其實(shí)是另一種列表法。目的都是為了讓解決問(wèn)題過(guò)程中的嘗試與猜測(cè)更直觀、更清晰。

參考文獻(xiàn)：

[1]教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）[S].北京師范大學(xué)出版社，2012：2.

[2]郭素玲.小學(xué)數(shù)學(xué)課堂深度學(xué)習(xí)教學(xué)策略[J].當(dāng)代家庭教育，2020（29）：105-106.

責(zé)任編輯? 林百達(dá)