坯料隨機(jī)局部彎曲對滾彎成形結(jié)果影響的蒙特卡洛分析

鄭子君，陶裕梅

(重慶理工大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，重慶400040)

滾彎是對型材、板材進(jìn)行彎曲加工的一種常見工藝。以對稱式三輥滾彎機(jī)為例，其工作方式為將坯料置于底輥和中輥之間，中輥以給定的下壓量壓緊坯料，通過輥輪或送料輥轉(zhuǎn)動，帶動坯料連續(xù)地通過滾彎機(jī)并發(fā)生塑性彎曲。當(dāng)加工過程開始一段時間后，滾彎機(jī)兩底輥之間的坯料將逐漸達(dá)到一個“定?！睜顟B(tài)，此時輥輪上的反力與流出出口的產(chǎn)品曲率不再隨著時間變化。

由于滾彎工藝屬于無模成型，回彈量大，實(shí)踐中要得到目標(biāo)曲率往往需要對工藝參數(shù)進(jìn)行大量的試錯[1]。為減少工藝開發(fā)成本，已有大量文獻(xiàn)對坯料參數(shù)、工藝參數(shù)和產(chǎn)品構(gòu)型之間的關(guān)系進(jìn)行了探索。在理論研究方面，Basset 等[2]、Fu 等[3]基于三點(diǎn)彎曲模型推導(dǎo)了輥輪位置；Kim 等[4]、黃世軍等[1]提出采用圓弧來近似滾彎機(jī)內(nèi)的坯料構(gòu)型；王安恒等[5]提出在大曲率滾彎中應(yīng)考慮中性層的偏移；劉志芳[6]、張子騫等[7]采用曲率積分的方式求解變形區(qū)內(nèi)的坯料構(gòu)型。在數(shù)值模擬方面，F(xiàn)u 等[3]采用平面單元來模擬穩(wěn)態(tài)滾彎，結(jié)果與三點(diǎn)彎模型得到的理論解吻合良好；Kim 等[4]采用板殼單元模擬薄板的滾彎，提出可按15%對輸出曲率進(jìn)行修正；Feng 等[8]模擬了非對稱式三輥滾彎，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證；Ktari等[9]通過顯式動力學(xué)分析得到設(shè)計形狀和輥輪位置的關(guān)系圖譜；Shin 等[10]比較了平面單元和梁單元的模擬結(jié)果；Kagzi 等[11]對圓錐滾彎過程中非定常階段各輥輪受力的波動情況進(jìn)行了仿真；Tran 等[12]比較了有限元模擬和實(shí)驗(yàn)測量的板料表面應(yīng)變演化規(guī)律；Groth 等[13]模擬了輥輪位置發(fā)生調(diào)整后，輸出曲率和工藝力的變化過程，并對調(diào)整速率提出了建議。

前述研究都假設(shè)坯料初始是平直的。實(shí)際生產(chǎn)中，由于制造精度的限制和偶然因素的影響，坯料雖然宏觀上整體平直，但若取很短的長度來觀測，則常常有隨機(jī)的局部曲率，這種隨機(jī)性在通常的研究中被忽略了。這樣的近似處理是否會對分析結(jié)果產(chǎn)生影響則未見討論。

要分析隨機(jī)參數(shù)對力學(xué)過程的影響，將有限元模擬與蒙特卡羅法結(jié)合起來是一種直觀而有效的辦法，其基本思路是：根據(jù)模型輸入?yún)?shù)的統(tǒng)計分布規(guī)律，隨機(jī)生成大量的有限元模型，求解后再對結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計分析，從而得到輸出的分布規(guī)律。如朱健等[14]在碳纖維布加固的廠房結(jié)構(gòu)中考慮了尺寸、材料強(qiáng)度、載荷的隨機(jī)誤差對抗震能力的影響；陳力波等[15]在簡支梁橋中考慮結(jié)構(gòu)參數(shù)的隨機(jī)誤差，分析了其在地震中的易損性；金路等[16]分析了鋼架中梁柱的初始側(cè)移和直線度對整體剛度的影響；楊智勇等[17]對土質(zhì)邊坡的多種失效模式進(jìn)行了概率分析，指出次風(fēng)險滑面也應(yīng)予以重視；Rafiee 等[18]、Abebe 等[19]和吳永強(qiáng)[20]采用蒙特卡洛方法實(shí)現(xiàn)了機(jī)械制造的誤差六西格瑪分析和魯棒性設(shè)計。然而，基于有限元法的蒙特卡洛模擬，始終受到計算效率低的困擾[14?16,21?23]。通過簡化有限元模型[15]，建立代理模型[15,18?21]，優(yōu)化抽樣方案[16]，引入矩方法近似計算[22]，以及利用模型對參數(shù)的梯度信息[23]等方式，可以一定程度上提高分析的效率。

對坯料有隨機(jī)局部曲率的滾彎過程作蒙特卡洛模擬，可先建立整個坯料的模型并為其每個代表性單元長度(representative elementary length, REL，即曲率不發(fā)生明顯改變的長度)隨機(jī)生成初始曲率，然后進(jìn)行有限元模擬，最后分析流出滾彎機(jī)的工件形狀。當(dāng)坯料足夠長時，相當(dāng)于蒙特卡洛模擬的樣本數(shù)量足夠多。注意到本文考慮的是在局部(單元級別)的隨機(jī)初始曲率，模型參數(shù)的數(shù)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于文獻(xiàn)中的情形，難以使用代理模型。而傳統(tǒng)的基于拉格朗日觀點(diǎn)的有限元模型進(jìn)行超長坯料的滾彎模擬時，時間代價很高。這是因?yàn)椋阂环矫妫Ｐ托枰獮樵跐L彎機(jī)外的坯料劃分網(wǎng)格，使得單元個數(shù)過多；另一方面，輥輪和坯料的接觸面積過小，使得接觸搜索算法效率不高；此外，初始構(gòu)型的計算也增大了建模的難度。

近年大量文獻(xiàn)嘗試了采用歐拉或任意拉格朗日—?dú)W拉網(wǎng)格進(jìn)行金屬塑性加工的模擬，發(fā)現(xiàn)歐拉網(wǎng)格在接觸判斷、網(wǎng)格數(shù)量和反畸變方面具有優(yōu)勢[24?28]。但歐拉網(wǎng)格在塑性加工中的應(yīng)用主要集中在鍛造[25]、擠壓[26]、厚板軋制[27?28]等體積成型領(lǐng)域，采用三維或平面實(shí)體單元。而對于以彎曲變形為主的滾彎過程，顯然基于梁/板理論建立歐拉觀點(diǎn)的結(jié)構(gòu)單元計算效率更高，但目前未見相關(guān)研究。

本文從計算流體力學(xué)受到啟發(fā)，提出基于歐拉觀點(diǎn)的滾彎模擬方案，并在經(jīng)典梁單元技術(shù)的基礎(chǔ)上，引入一個附加載荷項來處理材料在單元間流動帶來的影響，從而提高有限元模擬的效率。在此基礎(chǔ)上采用蒙特卡洛法研究正態(tài)分布的局部初始曲率對對稱式三輥滾彎工藝的輸出形狀的影響。

1 基于歐拉網(wǎng)格的滾彎模擬方案

模擬塑性加工過程時，通常采用拉格朗日網(wǎng)格，這種網(wǎng)格會隨著材料點(diǎn)的運(yùn)動而移動，便于追蹤材料點(diǎn)的受力路徑。然而，對于待加工坯料很長的滾彎過程，實(shí)際新增塑性變形的卻只有滾彎機(jī)內(nèi)的一小部分，采用拉格朗日網(wǎng)格是不經(jīng)濟(jì)的。若將滾彎機(jī)內(nèi)的空間視為一維流場，左、右底輥視為流場的入口和出口，坯料在滾彎機(jī)內(nèi)的撓度視為流場變量，則可以采用流體力學(xué)中常用的歐拉網(wǎng)格，在任意時刻只分析滾彎機(jī)內(nèi)的部分坯料。此外，歐拉網(wǎng)格中節(jié)點(diǎn)沒有水平位移，坯料節(jié)點(diǎn)與輥輪的可能接觸位置是確定的，接觸搜索變得容易；在接觸點(diǎn)處，輥輪對坯料的推動作用可簡化為歐拉網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)上的指定位移，用代數(shù)方法直接施加。

為簡單起見，沿用文獻(xiàn)[2?3,6]中對平面滾彎模型作的假設(shè)：在變形區(qū)內(nèi)的坯料始終處于小撓度狀態(tài)；底輥間距顯著大于坯料橫截面的尺寸；重力、剪力和慣性力對坯料的變形影響可以忽略。此時坯料適用歐拉—伯努利直梁模型。

圖1 對稱式三輥滾彎工藝的示意圖Fig.1 Schematic sketch of symmetrical three-rolled bending

設(shè)在t+?t時刻，位于x處的材料截面由t時刻位于x+?s處的材料截面被輥輪帶動平移而來(圖2(a)、圖2(b))，于 是有C t+?t(x)=C t(x+?s)。又當(dāng) ?t很短時，可認(rèn)為任意材料點(diǎn)的應(yīng)力路徑是簡單的，于是計算t+?t時刻x處的彎矩時只需知道t時刻該材料截面的塑性內(nèi)變量P t(x+?s)，于是式(1)變?yōu)椋?/p>

圖2 基于歐拉網(wǎng)格的滾彎模擬原理示意圖Fig.2 Schematic sketch of Eulerian-grid-based simulation of roll bending process

可以發(fā)現(xiàn)形式上僅僅相差了一項?Ma，因此對式(4)進(jìn)行有限元離散時，只需要在拉格朗日列式的基礎(chǔ)上增加與內(nèi)力不平衡量?Ma對應(yīng)的載荷項即可。如果采用經(jīng)典的2節(jié)點(diǎn)4變量Hermite 插值，則式(4)的離散形式可寫為：

為了實(shí)現(xiàn)簡單，實(shí)際計算時可取單元長度l恰等于每步進(jìn)料長度 ?s，并忽略輥輪的尺寸。此時具體的模擬步驟如下：

1)初始化：將兩個底輥間的變形區(qū)空間等分成若干單元，初始化各單元高斯積分點(diǎn)處的塑性內(nèi)變量P和截面參數(shù)C。

2)模擬調(diào)輥過程：約束底輥處的兩節(jié)點(diǎn)的垂向位移，為中輥下方節(jié)點(diǎn)施加指定的位移量，取附加載荷項為零，組裝式(6)并進(jìn)行非線性求解，更新塑性內(nèi)變量P。

3)模擬材料流動：從左到右各單元依次用右側(cè)相鄰單元的內(nèi)變量P和截面參數(shù)C覆蓋自身值(圖2(a)、圖2(b))；滾彎機(jī)入口處的單元采用流入坯料的初始參數(shù)；將出口處單元的數(shù)據(jù)寫入輸出文件(圖1)。

4)平衡附加載荷：按式(9)計算單元內(nèi)附加載荷項，并組裝得到整體附加載荷向量；約束三個輥輪處的節(jié)點(diǎn)垂向位移，組裝式(6)并進(jìn)行非線性求解，更新變形區(qū)的構(gòu)型和各單元的塑性內(nèi)變量P(圖2(c))。

5)進(jìn)入下一時間步：返回第3)步繼續(xù)計算，直至總滾彎長度達(dá)到預(yù)定目標(biāo)。

在進(jìn)行每一時間步的非線性方程的求解時，本文采用了割線迭代法更新kb的方式[29]。求解方案采用Mathematica 10.0編程實(shí)現(xiàn)。

2 模擬方案的驗(yàn)證算例

為驗(yàn)證提出的基于歐拉網(wǎng)格的模擬方案，同時作為后續(xù)蒙特卡洛模擬的參照，考慮如下算例。

算例1中取對稱式三輥滾彎機(jī)的底輥距L=300 mm，各輥直徑Dt=Db=50 mm，中輥的下壓量為d=2.7 mm；坯料初始時完全平直，其橫截面為邊長10 mm的正方形，材料為理想彈塑性，彈性模量為E=200 GPa ，屈服強(qiáng)度YS=200 MPa ；總滾彎長度為600 mm。

使用本文方案時，底輥間的空間等分為150個單元；單元內(nèi)用兩點(diǎn)高斯積分，每個積分點(diǎn)在厚度方向上等分為20層；每步進(jìn)料長度?s=2 mm(恰等于單元長度)。進(jìn)行非線性求解時，收斂標(biāo)準(zhǔn)取為連續(xù)兩次迭代的位移差向量的二階范數(shù)，小于中輥下壓量的10?7。作為對照，在ANSYS 19.0中建立平面應(yīng)力模型(圖3)，坯料長度和厚度方向的網(wǎng)格尺寸分別為2 mm 和1 mm；設(shè)輥輪和坯料間粗糙接觸，左底輥主動轉(zhuǎn)動帶動坯料進(jìn)入滾彎機(jī)，其余輥輪被動轉(zhuǎn)動；取動態(tài)時間步長上限使得坯料每步平移不超過2 mm。此外，還通過曲率積分法得出最終定常狀態(tài)下的理論解作為參考。

圖3 ANSYS中的滾彎平面應(yīng)力模型Fig.3 Plane stress model of roll bending process in ANSYS

算例在CPU i7-6820HQ，內(nèi)存32 GB的工作站上以串行方式計算。ANSYS平面應(yīng)力模型的模擬耗時近10 h，而本文方法僅耗時10 min，計算效率提升明顯。

中輥處的支座反力和滾彎機(jī)出口處的坯料局部曲率隨著滾彎長度變化關(guān)系如圖4所示。由于平面應(yīng)力模型的輸出曲率是用曲率圓擬合每5個相鄰節(jié)點(diǎn)的方式求得，這使曲率結(jié)果趨于平均，因此在滾彎長度150 mm處的峰值低于本文模型。除此之外本文方法和ANSYS平面模型得到的結(jié)果曲線幾乎重合。在滾彎開始時，受到直邊效應(yīng)的影響，曲線有較大的波動，而當(dāng)滾彎長度超過400 mm后，兩種模型的結(jié)果曲線均不再有明顯變化，指示均已基本達(dá)到定常狀態(tài)。這時兩種模型的結(jié)果均與曲率積分法得到的理論解吻合，誤差小于2%。

圖4 中輥反力和輸出曲率隨滾彎長度的變化Fig.4 Top roller reaction forceand output curvature versus roll bending length

提取定常狀態(tài)下產(chǎn)品橫截面上的殘余應(yīng)力分布如圖5所示。兩種有限元模型得到的殘余應(yīng)力均與理論解吻合良好，其中本文模型的吻合程度更高。這是因?yàn)楸疚哪Ｐ秃屠碚摻饩跉W拉—伯努利梁理論，而ANSYS平面應(yīng)力模型并不遵循該理論的假設(shè)。

圖5 定常狀態(tài)下輸出坯料的殘余應(yīng)力在厚度方向上的分布Fig.5 Distribution of residual stress through the thickness of the crosssection in steady state

此外，由圖4還可以看出ANSYS模型的輥輪反力和輸出曲率曲線始終有微小波動，這主要是由于接觸算法的數(shù)值誤差引起的。這種誤差具有一定的隨機(jī)性，因此可能在蒙特卡洛模擬中與坯料局部曲率導(dǎo)致的結(jié)果波動相混淆；但要縮小接觸誤差將導(dǎo)致接觸算法收斂困難。而本文模型能從原理上避免這種誤差，輸出曲線非常光滑，因此更適于進(jìn)行蒙特卡洛模擬。

3 坯料有隨機(jī)局部彎曲時產(chǎn)品的曲率半徑分布

機(jī)械制造中，包括初始曲率半徑在內(nèi)的坯料誤差常被認(rèn)為服從正態(tài)分布。那么運(yùn)用本文方法進(jìn)行滾彎的蒙特卡洛模擬時，只需在前述模擬流程的基礎(chǔ)上，在每個時間步為入口處的REL生成正態(tài)分布的偽隨機(jī)初始曲率κ0即可。為研究模型參數(shù)對產(chǎn)品的曲率半徑分布的影響，在算例1的坯料模型參數(shù)和網(wǎng)格設(shè)置的基礎(chǔ)上，選取了4組不同的輥輪位置和REL 長度，并將四種情形分別記為算例2～算例5，如表1所示。對每個算例，考慮了4種偏差水平(σκ0=0.005 m?1～0.02 m?1)的零均值正態(tài)分布隨機(jī)初始曲率。對每種偏差水平，進(jìn)行滾彎長度為2 00 m的蒙特卡洛模擬(即樣本數(shù)量為5萬～10萬個)，并在統(tǒng)計時去掉初始的1000個樣本以避免直邊效應(yīng)的影響。

表1 各數(shù)值算例的參數(shù)設(shè)置Table 1 The parameter sets of the numerical examples

先考慮算例2。當(dāng)σκ0=0.02 m?1時，隨機(jī)生成的坯料初始曲率與由此重構(gòu)得的初始構(gòu)型如圖6(a)所示?？梢钥吹诫m然坯料局部初始曲率分布范圍較大，但宏觀上看200 m 長度的坯料僅有0.3 m 浪高，平均每米浪高僅0.14 mm，在工程上屬于直線度很高的坯料，在通常的有限元模擬中可以當(dāng)作完全平直來處理。而用蒙特卡洛模擬計算輸出產(chǎn)品的各單元曲率和重構(gòu)得的構(gòu)型如圖6(b)所示，各截面的輸出曲率雖然很不一致，但產(chǎn)品整體上仍可以用一個圓形很好地擬合。由于該擬合圓的半徑就是工程實(shí)踐中觀測到的產(chǎn)品半徑，會直接影響到零件的安裝和配合，不妨稱其為宏觀曲率半徑；與之對應(yīng)，由各單元位移場求得的曲率半徑稱為局部曲率半徑；又稱當(dāng)坯料平直時(σκ0=0)滾彎定常狀態(tài)得到的產(chǎn)品構(gòu)型為目標(biāo)形狀，其半徑為目標(biāo)曲率半徑。

圖6(b)中顯示考慮了微小的隨機(jī)初始曲率后，宏觀曲率半徑略小于目標(biāo)曲率半徑，這并非偶然現(xiàn)象。圖7給出了不同偏差水平下的局部曲率半徑統(tǒng)計分布?？梢钥吹骄植壳拾霃交痉险龖B(tài)分布，且隨著初始曲率偏差增大，擬合分布的均值變小，標(biāo)準(zhǔn)差近似線性增長；而宏觀曲率半徑則逐漸下降，偏離目標(biāo)曲率半徑。

圖6 當(dāng) σκ0=0.02 m?1時算例2的工件形狀Fig.6 Theconfigurations ofthework-piece in Case2when σκ0=0.02m?1

圖7 算例2產(chǎn)品的局部曲率半徑分布Fig.7 The distributionsof theoutput local radiusin Case 2

采用相同的方法分析了其余算例，其偏差水平在σκ0=0.02 m?1時的輸出曲率半徑分布如圖8所示，可見各算例的輸出半徑均近似滿足正態(tài)分布，都有宏觀半徑小于目標(biāo)半徑，但分布參數(shù)不同。

圖8 當(dāng) σκ0=0.02 m?1時算例3～算例5的局部曲率半徑分布Fig.8 The distributions of the output local radius in Case 3～Case 5 when σκ0=0.02 m?1

各算例的統(tǒng)計分布參數(shù)隨偏差水平的變化如圖9所示。從圖9(a)看到相比曲率半徑的算術(shù)平均值，宏觀曲率半徑的下降趨勢更有規(guī)律，并且宏觀曲率半徑更符合工程使用的需要，更適合作為描述結(jié)果分布規(guī)律的位置參數(shù)。圖9(b)顯示產(chǎn)品的曲率半徑標(biāo)準(zhǔn)差與坯料曲率的標(biāo)準(zhǔn)差基本成線性關(guān)系。圖9(c)顯示當(dāng)坯料曲率標(biāo)準(zhǔn)差由小變大時，分布逐漸由負(fù)偏斜變?yōu)檎?；峰度先減小后增大。在本文考慮的幾個算例中，偏度系數(shù)和峰度系數(shù)都很接近正態(tài)分布的對應(yīng)值(0和3)，因此，輸出的曲率半徑分布可以用正態(tài)分布很好地近似。

圖9 產(chǎn)品的局部曲率半徑分布參數(shù)隨坯料曲率標(biāo)準(zhǔn)差的變化規(guī)律Fig.9 Distribution parametersof output local radiusversus standard deviation of input curvature

對比算例2和算例3發(fā)現(xiàn)，兩者的目標(biāo)曲率半徑相近，此時在輥距相差50%的情況下，曲率半徑的分布規(guī)律和分布參數(shù)非常相似。這表明對于給定的目標(biāo)曲率半徑，局部輸出曲率的分布與輥輪位置參數(shù)幾乎無關(guān)。

而算例4具有和算例2相同的跨度，但目標(biāo)曲率半徑增大了近30%，結(jié)果宏觀曲率半徑下降幅度增大了近1倍，局部曲率半徑的分布更加分散，標(biāo)準(zhǔn)差增大近90%。這表明隨著設(shè)計目標(biāo)曲率半徑增大，產(chǎn)品受到坯料初始隨機(jī)曲率的影響逐漸變大。

算例5和算例3只有代表性單元長度REL不同。這里REL 表征隨機(jī)局部曲率的變化劇烈程度。當(dāng)坯料曲率的標(biāo)準(zhǔn)差不變時，該長度越大，局部就越均勻，坯料的初始彎曲也就越明顯。對比結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當(dāng)REL 增大時，產(chǎn)品曲率半徑的分布更加分散，而宏觀曲率半徑則沒有明顯變化。

4 結(jié)論

在用有限元模擬研究滾彎過程時，通常假定坯料是平直的或者具有一致的曲率。這種假設(shè)是否對模擬結(jié)果有偏向性的影響，則未見討論。為此本文在小曲率、細(xì)長梁假設(shè)的基礎(chǔ)上，采用一種基于歐拉網(wǎng)格的滾彎模擬方案，使得超長長度的滾彎模擬成為可能，在此基礎(chǔ)上運(yùn)用蒙特卡洛方法，對坯料有零均值正態(tài)分布的隨機(jī)局部曲率的滾彎過程進(jìn)行了研究，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：

(1)產(chǎn)品宏觀曲率半徑隨著初始曲率偏差的增大而減?。贿@說明要得到理想的產(chǎn)品形狀，坯料局部曲率波動較大時，應(yīng)補(bǔ)償性地減小下壓量。

(2)產(chǎn)品的局部曲率半徑大致服從正態(tài)分布，隨著初始曲率的標(biāo)準(zhǔn)差增大，輸出曲率半徑分布的標(biāo)準(zhǔn)差線性增加。

(3)目標(biāo)曲率半徑相同時，輥輪位置參數(shù)對局部曲率半徑的分布沒有明顯影響。換言之，若不更換坯料，無法通過調(diào)整輥輪位置參數(shù)來使得輸出曲率更加集中到目標(biāo)曲率附近。

(4)想要得到的產(chǎn)品半徑越大，代表性單元長度越長，滾彎結(jié)果越容易受到坯料局部初始彎曲的影響。