高中生學(xué)習(xí)微積分的困境及教學(xué)策略

張家瑞 王鑫

[摘? ? ? ? ? ?要]? 介紹高中生在學(xué)習(xí)微積分中遇到的一些問(wèn)題及相對(duì)應(yīng)的教學(xué)策略，探討微積分在高中教學(xué)中的現(xiàn)狀，包括微積分中有關(guān)問(wèn)題的處理與研究、導(dǎo)數(shù)與積分在高考中的命題、微積分與其他知識(shí)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的應(yīng)用舉例，并列舉了高中生學(xué)習(xí)微積分的困境，最后還提出了一些針對(duì)高中生微積分的學(xué)習(xí)策略，包括重視教學(xué)策略和教育觀念的更新、重視現(xiàn)代教育技術(shù)的使用、利用數(shù)形加強(qiáng)學(xué)生對(duì)抽象概念的理解，營(yíng)造積極的課堂氛圍。

[關(guān)? ? 鍵? ?詞]? 微積分;高中數(shù)學(xué)教育;教學(xué)策略

[中圖分類(lèi)號(hào)]? G633.6? ? ? ? ? ? ? ? ?[文獻(xiàn)標(biāo)志碼]? A? ? ? ? ? ? ? [文章編號(hào)]? 2096-0603（2021）20-0180-02

一、引言

微積分經(jīng)歷了數(shù)百年的發(fā)展，其思想在實(shí)際生活中逐漸滲透，教育部頒布的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》）對(duì)高中微積分的教學(xué)提出了更高的要求，通過(guò)學(xué)習(xí)微積分的相關(guān)知識(shí)，對(duì)學(xué)生在解題思路的拓展及后續(xù)的學(xué)習(xí)中都有十分重要的影響。因此，對(duì)高中微積分教學(xué)方法的研究成為數(shù)學(xué)教師教學(xué)研究的新課題，文章最后提出了幾點(diǎn)針對(duì)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》背景下高中微積分的教學(xué)策略。

二、微積分在高中教學(xué)中的現(xiàn)狀

（一）微積分中有關(guān)問(wèn)題的處理研究

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)微積分的教學(xué)這一方面進(jìn)行了重大調(diào)整，主要加強(qiáng)了對(duì)導(dǎo)數(shù)和積分應(yīng)用的教學(xué)?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用課程的教學(xué)上做出的調(diào)整主要包括：（1）強(qiáng)調(diào)微分概念的本質(zhì)。在以往的教科書(shū)中，學(xué)生一開(kāi)始對(duì)極限的概念并不理解，這會(huì)影響學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的理解和掌握。因此，《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在這方面有了很大的改變，極限的概念暫且不談，而是通過(guò)對(duì)實(shí)際的背景和具體例子的應(yīng)用，在速度、效率、成長(zhǎng)率等實(shí)例中來(lái)反映導(dǎo)數(shù)的思想和本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)的平均變化率到瞬間變化率再到導(dǎo)數(shù)的概念的過(guò)程，從具體到抽象，這樣可以更好地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)本質(zhì)的理解和掌握。（2）強(qiáng)調(diào)導(dǎo)數(shù)在研究事物變化速度、變化率以及對(duì)函數(shù)的基本性質(zhì)和優(yōu)化問(wèn)題等方面的應(yīng)用。通過(guò)與之前方法相比較，可以感受到導(dǎo)數(shù)在處理這些問(wèn)題中的有效性和一般性。這部分教育內(nèi)容的改革確實(shí)具有創(chuàng)新性，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)理論的新應(yīng)用。

（二）導(dǎo)數(shù)與積分在高考中的命題

導(dǎo)數(shù)這部分的派生詞在高考的各種問(wèn)題中都出現(xiàn)過(guò)。研究的方向一般是驗(yàn)證導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性，驗(yàn)證導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最大值和最小值，驗(yàn)證導(dǎo)數(shù)和函數(shù)圖象的切線問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)和函數(shù)不等式的證明，將導(dǎo)數(shù)問(wèn)題和函數(shù)建模（應(yīng)用題）作為導(dǎo)數(shù)與其他知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合來(lái)考查，其考查范圍比較廣，因此進(jìn)入中學(xué)的課程時(shí)間雖不長(zhǎng)，但已經(jīng)是一個(gè)重要的考點(diǎn)了，同時(shí)也受到許多命題老師的青睞。對(duì)導(dǎo)數(shù)這方面具體考查的方向在判定函數(shù)的單調(diào)性和極值、討論方程的根，證明不等式和恒等式、求切線方程以及求平面區(qū)域面積等方面的應(yīng)用。

（三）微積分與其他知識(shí)點(diǎn)相關(guān)聯(lián)的應(yīng)用舉例

微積分在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題上的用途更為廣泛。在新課標(biāo)中，中學(xué)微積分的導(dǎo)數(shù)教學(xué)主要將講課重點(diǎn)放在應(yīng)用價(jià)值上。以下是應(yīng)用舉例。

例：某種產(chǎn)品的總成本C（萬(wàn)元）與產(chǎn)量q（萬(wàn)件）之間的函數(shù)關(guān)系式（即總成本函數(shù)）為C=C（q）=100+4q-0.2q2+0.01q3。求生產(chǎn)水平為q=10（萬(wàn)件）時(shí)的平均成本及邊際成本，并判斷繼續(xù)提高產(chǎn)量是否有利于降低成本。

解：當(dāng)q=10時(shí)，總成本為：

C（10）=100+4×10-0.2×102+0.01×103=130（萬(wàn)元）

所以平均成本（單位成本）為：

C（10）÷10=130÷10=13（元/件）

邊際成本MC=C′（q）= 4-0.4q+0.03q2

MC=4-0.4×10+0.03×102=3

因此，在生產(chǎn)水平為10萬(wàn)件時(shí)，每增加一個(gè)產(chǎn)品總成本增加3元，遠(yuǎn)低于當(dāng)前的單位成本，從降低成本角度看，應(yīng)該繼續(xù)提高產(chǎn)量。

邊際收益函數(shù)：

總收益函數(shù)R=R（Q），

邊際收益函數(shù)R′=R′（Q）

當(dāng)商品銷(xiāo)售量為Q0時(shí)的邊際收益用R′（Q0）來(lái)表示，其經(jīng)濟(jì)意義為：當(dāng)銷(xiāo)售量達(dá)到Q0時(shí)，如果增加或減少一個(gè)單位產(chǎn)品，則收益將相應(yīng)地增加或減少R′（Q0）個(gè)單位?？偸找鎀R為產(chǎn)量Q與價(jià)格P的乘積，即TR=P×Q，總利潤(rùn)為總收益TR與總成本TC的差值，即π=TR-TC。

三、高中生微積分學(xué)習(xí)困境分析

高考對(duì)微積分內(nèi)容的考查在難度及分量上的要求比較嚴(yán)格，這便使影響學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的問(wèn)題層出不窮，文章主要對(duì)以下三個(gè)問(wèn)題進(jìn)行分析。

（一）高中生的“自主性”學(xué)習(xí)習(xí)慣未能及時(shí)形成，學(xué)習(xí)枯燥無(wú)味

初中階段，教師在課堂中的主體性比較明顯，學(xué)生基本上是接受知識(shí)的對(duì)象，主體對(duì)客體的主動(dòng)性影響很大。有的教師盲目追求班級(jí)的升學(xué)率，讓學(xué)生靠死記硬背來(lái)解決一些常見(jiàn)的數(shù)學(xué)難題。利用充足的上課時(shí)間講更多的題，但是一些學(xué)生根本不懂其知識(shí)本身的意義。在高中階段，學(xué)生逐漸成為課堂的主體，教師變成了引導(dǎo)和延伸學(xué)生的知識(shí)的存在。由于高中的學(xué)科比初中多，而且數(shù)學(xué)的內(nèi)容比初中要深得多，每節(jié)課學(xué)習(xí)的知識(shí)量非常大，容易造成學(xué)生神經(jīng)疲勞、注意力不集中、興趣減弱，甚至導(dǎo)致每節(jié)課學(xué)到的知識(shí)微乎其微，長(zhǎng)此以往，以前學(xué)過(guò)的知識(shí)也會(huì)逐漸丟棄。