摘 要:數(shù)學(xué)學(xué)科的嚴(yán)密有序性、數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在邏輯性、數(shù)學(xué)方法的多樣性是提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)極其重要的因素。數(shù)學(xué)運算是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分,也是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、解決數(shù)學(xué)問題的一項基本技能。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中,教師可以引導(dǎo)學(xué)生通過構(gòu)建直觀的圖形來展現(xiàn)數(shù)學(xué)運算的演練和推導(dǎo)過程,以此簡化運算過程,提高解題效率。本文以湘教版數(shù)學(xué)教科書中的實際內(nèi)容為例,探討如何以形助數(shù)、以數(shù)解形,進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)素養(yǎng);數(shù)學(xué)運算能力;數(shù)形結(jié)合思想
中圖分類號:G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號:2095-624X(2021)32-0075-02
引 言
數(shù)學(xué)素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析、直觀想象六個方面,數(shù)學(xué)運算是數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要組成部分,也是初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、解決數(shù)學(xué)問題的一項基本技能。數(shù)與形在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化,直觀的圖形有助于學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題,直觀的圖形也需要數(shù)的支撐和表達(dá)。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力,教師們常通過直觀的幾何圖形來展現(xiàn)數(shù)學(xué)運算的演練和推導(dǎo)過程,使學(xué)生理解代數(shù)與幾何的聯(lián)系,探究其內(nèi)在的運算規(guī)律和本質(zhì)特征。本文以湘教版義務(wù)教育數(shù)學(xué)教科書中的內(nèi)容為例,探討如何以形助數(shù)、以形解數(shù),解決初中數(shù)學(xué)運算的演練、推導(dǎo)和拓展運用等問題,以此培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。
一、整式乘法
整式乘法是初中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ),也是學(xué)生基礎(chǔ)運算能力的體現(xiàn),特別是對多項式與多項式的乘法,更是學(xué)習(xí)過程中的易錯點。因此,教師在課堂教學(xué)中應(yīng)建構(gòu)幾何模型,搭建起數(shù)與圖形的橋梁,使解題過程更加直觀,以此若幫助學(xué)生理解運算的來龍去脈,掌握正確的運算方法,發(fā)展運算能力。
例1.計算:(a+b)(m+n)
通過圖形可以直觀地看到運算規(guī)律,從而歸納得到:多項式與多項式相乘,先用一個多項式的每一項分別乘以另一個多項式的每一項,再把所得的積相加。
【拓展運用】
二、乘法公式
乘法公式在初中數(shù)學(xué)的計算過程中同樣有著舉足輕重的地位,無論整式乘法還是因式分解,都在反復(fù)地運用乘法公式進(jìn)行運算。為避免機械重復(fù),教師通常會發(fā)現(xiàn)一些運算的特點和規(guī)律,并將這些特點和規(guī)律總結(jié)提煉成計算公式,然后運用公式進(jìn)行計算,使得數(shù)學(xué)的解題過程更簡單清晰,更不易出錯。
例2.如圖3-1所示:將一個邊長為a的大正方形剪去一個邊長為b的小正方形,并將剩余部分沿虛線剪開,再將這兩個長方形拼成如圖3-2所示,從這兩個圖形來看,我們能建立怎樣的聯(lián)系?
分析:圖3-1中陰影部分的面積為:;圖3-2中陰影部分的面積為:(a+b)(a-b);
由此可得:a2-b2(a+b)(a-b),我們稱之為平方差公式。
例3.如圖4所示的正方形。
正方形的面積為(a+b)2,也是如圖所分割成的4個部分面積、、、之和。
因此:,我們稱之為完全平方公式。
【拓展運用】
計算:(a+b+c)2
分析:構(gòu)建如圖5所示的正方形。由此可得正方形的面積為(a+b+c)2,也相當(dāng)于按照如圖所分割成的9個部分面積之和。
∴(a+b+c)2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc。
學(xué)生經(jīng)歷了乘法公式的演練、推導(dǎo)過程,深刻地理解了公式的本質(zhì)特征,并能熟練地運用乘法公式靈活、正確地進(jìn)行計算。
三、勾股定理
勾股定理是一個基本的幾何定理,它是指直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理,是用代數(shù)思想解決幾何問題的重要工具,也是數(shù)形結(jié)合的紐帶。勾股定理在西方被稱為畢達(dá)哥拉斯定理,相傳是古希臘數(shù)學(xué)家兼哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯于公元前550年發(fā)現(xiàn)的,其實,根據(jù)我國最早的一部數(shù)學(xué)著作《周髀算經(jīng)》記載,早在公元前11世紀(jì),我國數(shù)學(xué)家商高就發(fā)現(xiàn)并應(yīng)用了這一數(shù)學(xué)定理,并提出了“勾三、股四、弦五”,比畢達(dá)哥拉斯早了至少500年。
下面主要來探討兩種常用的證明方法,以加深學(xué)生對勾股定理的理解,讓學(xué)生進(jìn)一步體驗數(shù)形結(jié)合思想,形成基本的運算能力和抽象思維能力[1]。
例4.圖6-1是2002年在北京召開的第二十四屆國際數(shù)學(xué)家大會會徽,圖6-2是應(yīng)用了三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽在證明勾股定理時創(chuàng)制的“勾股圓方圖”。圖6-1是由四個全等的直角三角形再加上一個小正方形組成的,每個直角三角形的兩條直角邊分別為a、b,斜邊為c,則中間的小正方形邊長為b-a,由此可得出下關(guān)系:
這是我國古代數(shù)學(xué)家最早對勾股定理的證明,方法別具匠心,極富創(chuàng)新意識,既嚴(yán)密又直觀,體現(xiàn)了“形數(shù)統(tǒng)一”的重要思想方法,在世界數(shù)學(xué)史上具有重要貢獻(xiàn)。
例5.圖7是由2個直角邊分別為a、b,斜邊為c的直角三角形和1個直角邊為c的等腰直角三角形構(gòu)成的直角梯形。(美國總統(tǒng)加菲爾德利用面積法來證明,即利用3個三角形的面積與1個梯形的面積相等的關(guān)系來證明。)
勾股定理揭示了直角三角形的三邊關(guān)系,在直角三角形中,若已知直角三角形的任意兩邊長,我們就可以求出第三條邊的長。
【拓展運用】
在四邊形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13, 求四邊形ABCD的面積.
分析:作輔助線AC,使得四邊形ABCD變成兩個三角形,即△ABC,△ACD(見圖8)。要想求出四邊形ABCD的面積,可以轉(zhuǎn)化為求△ABC和△ACD的面積之和。
解:連接AC
結(jié)? ?語
利用以形助數(shù)、以數(shù)解形的方法來解決初中數(shù)學(xué)運算的演練、推導(dǎo)和拓展運用,是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中必要的解題策略。數(shù)與形在一定的條件下可以相互轉(zhuǎn)化,一些數(shù)學(xué)的運算問題往往隱藏著幾何文化背景,需要借助它所蘊藏的幾何圖形性質(zhì)和蘊含的文化故事,使復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系變得更加直觀,運算變得更加簡便。因此,數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)中有重要地位,它不僅是一種重要的解題方法,更是一種重要的思維方法。
[參考文獻(xiàn)]
[1]俞求是.中國古代勾股定理發(fā)現(xiàn)過程的猜想和探究[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志,2018(02):62-64.
基金項目:本文系2020年貴州省教育科學(xué)規(guī)劃課題“核心素養(yǎng)下數(shù)形結(jié)合思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用研究”(課題編號:2020B079)的研究成果。
作者簡介:楊州(1976.8—),男,貴州思南人,高級教師。