郝瑞亞

【摘 要】圖像表征能夠在數(shù)學(xué)課堂上化抽象為形象、直觀，展現(xiàn)學(xué)生的思維過(guò)程。教師在教學(xué)中，要積極發(fā)現(xiàn)學(xué)生的圖像學(xué)習(xí)斷層，依據(jù)學(xué)生年齡特點(diǎn)，發(fā)展不同畫圖、識(shí)圖技能，利用圖像表征幫助學(xué)生明晰算理，整合知識(shí)，拔節(jié)思維，最終實(shí)現(xiàn)學(xué)生學(xué)習(xí)力的提升。

【關(guān)鍵詞】圖像表征 學(xué)習(xí)力 第二學(xué)段

圖像表征起源于科學(xué)研究領(lǐng)域，意指運(yùn)用簡(jiǎn)單的圖示或圖像來(lái)表達(dá)信息、解決問(wèn)題，是理解數(shù)學(xué)的有效渠道。近年來(lái)，越來(lái)越多的學(xué)者意識(shí)到圖像表征在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的積極意義，并在教學(xué)中不斷進(jìn)行嘗試。在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，圖像表征能夠幫助學(xué)生更輕松理解數(shù)學(xué)概念，明晰算理，尤其在第二學(xué)段，解題流程圖的引入能夠降低學(xué)生思維難度，清晰解題流程，在復(fù)習(xí)階段利用思維導(dǎo)圖能夠?qū)⒘闵⒌闹R(shí)結(jié)構(gòu)化，強(qiáng)化學(xué)生對(duì)于知識(shí)的理解和掌握。

一、圖像表征教學(xué)的學(xué)段特征

數(shù)學(xué)新課標(biāo)將小學(xué)階段分為第一學(xué)段（1～3年級(jí)）與第二學(xué)段（4～6年級(jí)），并且對(duì)不同學(xué)段學(xué)生的圖像表征能力的要求各不相同，第一學(xué)段要求學(xué)生“掌握初步的測(cè)量、識(shí)圖和畫圖的技能”，第二學(xué)段要求學(xué)生“探索圖形的形狀、大小和位置關(guān)系，掌握測(cè)量、識(shí)圖、畫圖的基本方法”。這主要與不同學(xué)段學(xué)生的年齡特點(diǎn)以及認(rèn)知發(fā)展規(guī)律有關(guān)。第二學(xué)段，學(xué)生具備了一定的抽象思維能力，教師的教學(xué)重點(diǎn)轉(zhuǎn)為引導(dǎo)學(xué)生由實(shí)物圖向條形圖、線段圖、立體圖、解題流程圖等過(guò)渡，通過(guò)圖像體現(xiàn)條件、問(wèn)題以及基本的數(shù)量關(guān)系，建立一定的解決問(wèn)題、分析問(wèn)題的能力。在這一階段，學(xué)生的思維跨度明顯增大，圖像的優(yōu)越性也就越發(fā)明顯，教師一方面要加強(qiáng)線段圖、條形圖、立體圖形的繪制教學(xué);另一方面也要基于圖像表征引導(dǎo)學(xué)生在題組模塊中進(jìn)行建模，促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)。下面筆者主要以第二學(xué)段學(xué)生圖像表征的教學(xué)實(shí)踐為例進(jìn)行闡述。

二、善用圖像表征提升學(xué)生學(xué)習(xí)力的教學(xué)策略

在第二學(xué)段的學(xué)習(xí)中，數(shù)學(xué)知識(shí)的思維性逐漸增強(qiáng)，加之題目的條件增多，思維難度越來(lái)越大，尤其在六年級(jí)學(xué)習(xí)立體圖形之后，學(xué)生的認(rèn)知要由二維向三維轉(zhuǎn)化，圖像表征教學(xué)的作用更加明顯。以下是筆者在第二學(xué)段的教學(xué)中所進(jìn)行的教學(xué)實(shí)踐。

1.聚焦學(xué)習(xí)需求，填補(bǔ)圖像教學(xué)空白

1～5年級(jí)，學(xué)生逐步學(xué)習(xí)了各種平面圖形，如三角形、長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、梯形以及圓的特征與畫法，在六年級(jí)的學(xué)習(xí)中，學(xué)生第一次接觸立體圖形長(zhǎng)方體、正方體以及圓柱與圓錐。一方面，由二維到三維的思維跨度極大，增加了學(xué)生理解的難度;另一方面，這部分內(nèi)容中的習(xí)題復(fù)雜多變，對(duì)學(xué)生的抽象思維能力要求較高。借助圖形能夠化抽象為形象，降低學(xué)生的理解難度。但是立體圖形的畫法在書上并沒有專門介紹，因此，教師需要關(guān)注到這部分圖像教學(xué)的空白，及時(shí)添加專門的畫圖訓(xùn)練課，來(lái)填補(bǔ)畫圖斷層。

筆者進(jìn)行了這樣的嘗試：在六年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)長(zhǎng)方體與正方體的特征之后，專門增加了一節(jié)畫圖課，主要教學(xué)長(zhǎng)方體、正方體的畫法，結(jié)合習(xí)題分析，增加長(zhǎng)方體或正方體兩兩合并之后的圖形教學(xué)。在教學(xué)長(zhǎng)方體與正方體的畫法時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生遵循“斜二側(cè)畫法”，先畫正面的長(zhǎng)方形，再將上面與右面畫成平行四邊形，最后利用虛線將看不到的部分補(bǔ)全（見圖1）。在學(xué)生熟練掌握長(zhǎng)方體、正方體的畫法后，進(jìn)一步教學(xué)將兩個(gè)長(zhǎng)方體拼在一起的三種不同圖形（見圖2）。學(xué)生畫圖的過(guò)程，同時(shí)也是對(duì)長(zhǎng)方體特征內(nèi)化鞏固的過(guò)程，另外兩個(gè)圖形結(jié)合在一起，學(xué)生能夠直觀地感受到少了兩個(gè)重合的面，在做相應(yīng)題目時(shí)思維會(huì)更加清晰。

2.圖像對(duì)比教學(xué)，算理越辯越明

圖像表征能夠清晰地將學(xué)生的思路呈現(xiàn)出來(lái)，教師能夠及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維誤區(qū)，從而有針對(duì)性地進(jìn)行教學(xué)。另外，在計(jì)算教學(xué)中，適當(dāng)借助數(shù)形結(jié)合，可以讓算理更加清晰，結(jié)果的得出更具說(shuō)服力。

在蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)除法”的內(nèi)容時(shí)，有這樣一道例題（見圖3）：

在教學(xué)時(shí)，學(xué)生主要有兩種答案：一種是認(rèn)為只能剪2段，一種認(rèn)為可以剪6段。教師要求學(xué)生將自己的思路畫出來(lái)之后初見端倪。原來(lái)學(xué)生的思維誤區(qū)出現(xiàn)在對(duì)“米”的認(rèn)知不夠清楚，一部分學(xué)生錯(cuò)誤理解為米是總長(zhǎng)4米的，導(dǎo)致畫圖出現(xiàn)錯(cuò)誤。明白了學(xué)生的錯(cuò)誤原因之后，筆者繼續(xù)“以圖辯理”，引導(dǎo)學(xué)生討論發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤思路中的米比1米還長(zhǎng)，最終發(fā)現(xiàn)應(yīng)該先畫1米，再找到1米的。通過(guò)這樣的圖形辨析，學(xué)生不僅牢牢掌握了分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算方法，更明晰了與米的區(qū)別。

3.巧搭復(fù)習(xí)框架，提升知識(shí)整合

學(xué)生對(duì)于知識(shí)的學(xué)習(xí)是碎片化且以線性的方式進(jìn)行的，一單元學(xué)習(xí)之后，教師需要有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生整合所學(xué)知識(shí)，將點(diǎn)狀化的知識(shí)連成面、結(jié)成網(wǎng)，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，提升融會(huì)貫通能力。

復(fù)習(xí)課中最常見的圖像框架莫過(guò)于思維導(dǎo)圖，學(xué)生通過(guò)知識(shí)導(dǎo)圖的建構(gòu)，將一個(gè)單元的知識(shí)點(diǎn)連接成知識(shí)串，知識(shí)之間的聯(lián)系一目了然。如在五年級(jí)下冊(cè)“因數(shù)與倍數(shù)”這一單元教學(xué)結(jié)束后，筆者引導(dǎo)學(xué)生回顧本單元的知識(shí)，并將之繪制成知識(shí)框架圖。

除了以上提到的單元知識(shí)橫向構(gòu)建外，教師還應(yīng)該有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生對(duì)于不同年級(jí)的關(guān)聯(lián)內(nèi)容縱向整理，站在學(xué)科的角度來(lái)看待在小學(xué)階段學(xué)習(xí)的某一類知識(shí)，從而能夠更加系統(tǒng)、全面地理解知識(shí)的發(fā)展進(jìn)程。如小學(xué)階段有關(guān)分?jǐn)?shù)的知識(shí)一共出現(xiàn)在三冊(cè)教材當(dāng)中，在三年級(jí)上冊(cè)學(xué)生初步認(rèn)識(shí)了分?jǐn)?shù)，是在一個(gè)物體中建立“幾分之一”的意義，在三年級(jí)下冊(cè)的學(xué)習(xí)中，分?jǐn)?shù)的意義被拓寬在一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位以及多個(gè)物體組成的整體中，在五年級(jí)下冊(cè)再次學(xué)到分?jǐn)?shù)時(shí)給出了單位“1”的定義，概念更具抽象性。除此之外，分?jǐn)?shù)與以前學(xué)習(xí)的整數(shù)的除法關(guān)系緊密，被除數(shù)相當(dāng)于分子，除數(shù)相當(dāng)于分母，而在六年級(jí)上冊(cè)學(xué)習(xí)“比和比例”時(shí)，再次將除法算式、分?jǐn)?shù)以及比的概念聯(lián)系起來(lái)。因此，在學(xué)習(xí)“比”的知識(shí)之后，教師可以引導(dǎo)學(xué)生對(duì)三個(gè)概念的發(fā)展及聯(lián)系進(jìn)行縱向整理，形成知識(shí)發(fā)展框架圖。

4.外顯解題流程，見證思維拔節(jié)

學(xué)生在面對(duì)一些難度較高的題目時(shí)，常常會(huì)覺得無(wú)從下手而放棄思考，形成思維惰性，教師可以在平時(shí)的教學(xué)中有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生繪制解題流程圖，搭建解題腳手架，化繁為簡(jiǎn)、層層突破，降低思維難度，緩解學(xué)生的畏難情緒。

在六年級(jí)下冊(cè)學(xué)習(xí)圓柱與圓錐的知識(shí)時(shí)，學(xué)生感覺圓柱與圓錐的體積關(guān)系理解起來(lái)較為抽象，尤其是碰到變形題時(shí)，更加無(wú)從下手，且課本上學(xué)習(xí)的原始體積對(duì)比圖在變形題中難以起到真正的思維支撐作用。于是筆者帶領(lǐng)學(xué)生對(duì)原始圖形進(jìn)行了一定的改進(jìn)（見圖4）。改進(jìn)之后，學(xué)生能夠直觀看到在體積相等、底面積相等時(shí)高的情況。蘇教版數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)有這樣一道題：一個(gè)圓錐和一個(gè)圓柱底面積相等，體積的比是1∶6，如果圓錐的高是4.2厘米，圓柱的高是多少厘米？學(xué)生利用改進(jìn)之后的圖為腳手架，解題思路較為清晰，學(xué)生將等底等體積的圓柱一次次疊加之后，可以直觀地看出最終圓柱的高是圓錐高的2倍。

圖像表征能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)知識(shí)更加形象、直觀化，教師在教學(xué)中要善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生圖像學(xué)習(xí)的斷層，積極研發(fā)圖像繪制課填補(bǔ)空白，引導(dǎo)學(xué)生利用圖像來(lái)表達(dá)對(duì)條件以及問(wèn)題的理解，多方位培養(yǎng)學(xué)生讀圖、畫圖以及利用圖像解決問(wèn)題的能力。通過(guò)圖像表征在抽象的數(shù)學(xué)中搭建直觀與理解的橋梁，使學(xué)生的學(xué)習(xí)力真正得到了提升。

注：本文為南京市教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃課題“圖像表征支持兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)踐研究”（項(xiàng)目編號(hào)：L/2018/246）的研究成果之一。