加型Pythagorean模糊偏好關(guān)系的多屬性決策方法

包 順，周禮剛

安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥230601

對(duì)于復(fù)雜的決策問題，需要評(píng)價(jià)的因素較多，決策者很難對(duì)方案的各個(gè)屬性提供合理的評(píng)價(jià)值，基于層次分析法的思想，偏好關(guān)系逐漸成為解決多屬性決策問題的重要工具，近年來得到了長(zhǎng)足的發(fā)展。Xu和Chen[1]拓展了加型一致和乘型一致的模糊偏好關(guān)系，提出加型一致和乘型一致的區(qū)間模糊偏好關(guān)系；Chen和Zhou[2]通過定義區(qū)間模糊偏好關(guān)系的期望模糊偏好關(guān)系，提出了區(qū)間模糊偏好關(guān)系的一致性指標(biāo)；Xu[3]定義了基于直覺模糊集的乘型一致直覺模糊偏好關(guān)系，并提出了一種新的群決策方法；Gong等[4]定義了加型一致性直覺模糊偏好關(guān)系，同時(shí)給出了求解排序權(quán)重的目標(biāo)優(yōu)化模型。自Pythagorean模糊集提出以來，對(duì)于Pythagorean模糊偏好關(guān)系的研究尤為迫切?？紤]Pythagorean模糊集的適用性，楊藝等[5]定義了Pythagorean模糊偏好關(guān)系，Pythagorean模糊加型一致性偏好關(guān)系以及標(biāo)準(zhǔn)化的Pythagorean模糊權(quán)重向量，并提出了基于加型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系的優(yōu)化模型；何霞等[6]定義了乘型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系，并提出了乘型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系的目標(biāo)優(yōu)化模型。

本文考慮Pythagorean模糊偏好關(guān)系在解決多屬性決策問題的有效性，根據(jù)Pythagorean模糊偏好關(guān)系加型一致性的性質(zhì)，建立了一種新的Pythagorean模糊偏好關(guān)系加型一致性判斷和調(diào)整算法，并將其應(yīng)用在Pythagorean模糊多屬性決策問題中，驗(yàn)證了其有效性。

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 Pythagorean模糊集

作為直覺模糊集的一種推廣，Yager等[7-8]于2013年提出了Pythagorean模糊集的概念。

定義1[8]設(shè)X是給定的論域，稱

為X上的Pythagorean模糊集，其中，μP(x)和vP(x)分別表示x屬于P的隸屬度與非隸屬度，其中0≤μP(x)≤1，0≤vP(x)≤1，0≤(μP(x))2+(vP(x))2≤1，x∈X。此外，表示x屬于P的猶豫度。

易知，直覺模糊集與Pythagorean模糊集均使用隸屬度與非隸屬度構(gòu)成的二元組來表示元素可能或不可能屬于某一集合的程度，所以它們的出發(fā)點(diǎn)是一樣的。但是，二者對(duì)于隸屬度與非隸屬度的約束條件不同。直覺模糊集的隸屬度與非隸屬度滿足0≤μI(x)+vI(x)≤1，而對(duì)于Pythagorean模糊集，其隸屬度與非隸屬度滿足0≤(μP(x))2+(vP(x))2≤1。若一個(gè)模糊數(shù)是直覺模糊數(shù)，則其必為Pythagorean模糊數(shù)，但反之卻不成立，即0≤μI(x)+vI(x)≤1一定能得到0≤(μP(x))2+(vP(x))2≤1，反之卻不能成立，因此Pythagorean模糊集的取值空間較大，具備更強(qiáng)的描述模糊現(xiàn)象的能力。

為方便運(yùn)算，Zhang和Xu[9]稱P=(μP,vP)為Pythagorean模糊數(shù)。

定義2[8-9]設(shè)β1=(μβ1,vβ1)，β2=(μβ2,vβ2)和β=(μβ,vβ)為三個(gè)Pythagorean模糊數(shù)，λ>0，其基本運(yùn)算法則定義如下：

定義3[9]設(shè)p=(μp,vp)為任意的Pythagorean模糊數(shù)，則稱

為p的得分函數(shù)。其中s(p)∈[-1,1]。

定義4[10]設(shè)p=(μp,vp)為任意的Pythagorean模糊數(shù)，則稱

為p的精度函數(shù)。其中a(p)∈[0,1]。

根據(jù)Pythagorean模糊數(shù)的得分函數(shù)和精度函數(shù)，提出了Pythagorean模糊數(shù)的大小比較方法[9-10]。設(shè)任意兩個(gè)Pythagorean模糊數(shù)分別為p1和p2，

（1）若s(p1)>s(p2)，則p1?p2。

（2）若s(p1)=s(p2)，

①若a(p1)>a(p2)，則p1?p2；

②若a(p1)=a(p2)，則p1~p2。

定義5[7-8]設(shè)pi=(μi,vi)(i=1,2,…,n)為一組Pythagorean模糊數(shù)且pi(i=1,2,…,n)對(duì)應(yīng)的權(quán)重信息為ω=(ω1,ω2,…,ωn)T，其中，則稱

為Pythagorean模糊加權(quán)平均（PFWA）算子。

1.2 Pythagorean模糊偏好關(guān)系及其加型一致性

定義6[5]設(shè)X={x1,x2,…,xn}為給定的一組方案集，則稱

為X上的Pythagorean模糊偏好關(guān)系，其中pij=(μij,vij)為Pythagorean模糊數(shù)，由隸屬度μij與非隸屬度vij組成，μij表示xi優(yōu)于xj的程度，vij表示xi劣于xj的程度。且對(duì)任意的i,j=1,2,…,n，有

定義7Pythagorean模糊偏好關(guān)系P=(pij)n×n為有序一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意i,s,t=1,2,…,n，有：

例1給定一組方案集X={x1,x2,x3,x4}，決策者構(gòu)造Pythagorean模糊偏好關(guān)系矩陣如下：

顯然，對(duì)任意i,s,t=1,2,…,n，Pythagorean模糊偏好關(guān)系矩陣P滿足有序一致性。即當(dāng)i∈{1,2,…,n}時(shí)，總有pi2≥pi1，pi3≥pi2，pi4≥pi3，則各方案的排序結(jié)果為x4?x3?x2?x1。

定義8[5]設(shè)P=(pij)n×n為任意Pythagorean模糊偏好關(guān)系，其中pij=(μij,vij)，若其滿足加型一致性，則滿足如下加法傳遞性：

其中，i,j,k=1,2,…,n。因?yàn)棣蘨j=vji，μji=vij，則有：

因此，有：

定 理1[5]設(shè)為Pythagorean模糊偏好關(guān)系，若存在一組標(biāo)準(zhǔn)的Pythagorean模糊權(quán)重向量，滿足：

其中，對(duì)于任意i,j=1,2,…,n，都有

2 Pythagorean模糊偏好關(guān)系加型一致性判別模型

在決策問題中，只有當(dāng)決策者給出的偏好關(guān)系滿足一致性的時(shí)候，才能得到更加可靠合理的決策結(jié)果。但是，在實(shí)際問題中，決策者很難構(gòu)造出一致性的偏好關(guān)系矩陣?；诖耍鶕?jù)決策者給出的原始偏好關(guān)系，本章通過引入偏差變量，在保證原始偏好關(guān)系與加型一致性偏好關(guān)系之間的偏差盡可能小的前提下，提出了一個(gè)構(gòu)造加型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系的目標(biāo)規(guī)劃模型。偏差變量可以表示為：

可以看出，絕對(duì)偏差越小，原始偏好關(guān)系的一致性越高。因此，可以建立如下目標(biāo)規(guī)劃模型計(jì)算Pythagorean模糊權(quán)重信息：

因此，模型（M1）可以簡(jiǎn)化為模型（M2）：

定理2Pythagorean模糊偏好關(guān)系P=(pij)n×n是加型一致性偏好關(guān)系當(dāng)且僅當(dāng)模型（M2）的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)J?=0。

證明若P=(pij)n×n是加型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系，則隸屬度與非隸屬度的偏差都應(yīng)該為0，即J?=0。若J?=0，即，因?yàn)閷?duì)于任意i,j=1,2,…,n，有所以，則P=(pij)n×n為加型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系，得證。

對(duì)模型（M2）進(jìn)行求解，得到最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值J?和相應(yīng)的Pythagorean模糊權(quán)重向量。若J?=0，則決策者給出的Pythagorean模糊偏好關(guān)系P=(pij)n×n是加型一致的，可供決策者直接進(jìn)行決策；若J?≠0，則Pythagorean模糊偏好關(guān)系P不具有加型一致性，那么就要考慮P是否具有可接受一致性。若P具有可接受一致性，那么下一步的決策可繼續(xù)進(jìn)行；若P不具有可接受一致性，將利用加型一致性調(diào)整算法對(duì)其進(jìn)行調(diào)整，直到達(dá)到可接受的一致性為止。一旦結(jié)果符合決策者的要求，迭代過程結(jié)束；否則，決策者應(yīng)該重新評(píng)估備選方案，以構(gòu)建一致性程度更高Pythagorean模糊偏好關(guān)系，或者，當(dāng)?shù)螖?shù)達(dá)到指定的最大次數(shù)時(shí)，迭代過程停|止。下面將介紹Pythagorean模糊偏好關(guān)系加型一致性的調(diào)整模型。

3 基于加型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系的多屬性決策方法

本章首先基于Pythagorean模糊偏好關(guān)系的距離公式定義了Pythagorean模糊偏好關(guān)系的加型一致性指數(shù)，用于衡量可接受加型一致性程度；其次，針對(duì)不滿足可接受加型一致性的Pythagorean模糊偏好關(guān)系，提出了加型一致性調(diào)整算法，給出了調(diào)整步驟。最后，提出了一種基于加型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系的多屬性決策步驟。

3.1 Pythagorean模糊偏好關(guān)系加性一致性檢驗(yàn)方法

定義9設(shè)是兩個(gè)Pythagorean模糊偏好關(guān)系，則稱

為Pythagorean模糊偏好關(guān)系之間的距離測(cè)度，其中i,j=1,2,…,n。

為了衡量Pythagorean模糊偏好關(guān)系的加型一致性程度，本節(jié)基于Pythagorean模糊偏好關(guān)系的距離公式，定義了其加型一致性指數(shù)。

定義10設(shè)為Pythagorean模 糊 偏 好 關(guān) 系 ，為 加 型 一 致 性Pythagorean模糊偏好關(guān)系，則稱

為Pythagorean模糊偏好關(guān)系P的一致性指數(shù)，其中i,j=1,2,…,n。

定理3設(shè)P=(pij)n×n為Pythagorean模糊偏好關(guān)系，為加型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系，CI(P)是P的一致性指數(shù)，則

（1）0≤CI(P)≤1；

（2）CI(P)=0當(dāng)且僅當(dāng)P=P。

證明根據(jù)定義10，顯然成立。

根據(jù)定理3，CI(P)的值越小，P的一致性越高；特別地，當(dāng)CI(P)=0時(shí)，P為加型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系。

在實(shí)際的決策問題中，由于客觀事物的不確定性和決策者知識(shí)水平的局限性等，決策者很難構(gòu)造出一個(gè)滿足加型一致性的Pythagorean模糊偏好關(guān)系。針對(duì)這種情況，本文定義了可接受的加型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系，使其在滿足加型一致性的基礎(chǔ)上具有一定的可接受偏差。

定義11設(shè)P=(pij)n×n為Pythagorean模糊偏好關(guān)系，若：

則稱P為可接受加型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系。其中，為一致性閾值。

3.2 Pythagorean模糊偏好關(guān)系加性一致性調(diào)整算法

決策者在表達(dá)自己的偏好信息時(shí)，為了避免出現(xiàn)自相矛盾，需要考慮偏好信息的一致性。由于客觀事物的復(fù)雜性以及人類認(rèn)知水平的局限性，決策者在對(duì)事物評(píng)價(jià)并給出的偏好關(guān)系可能會(huì)不滿足可接受一致性，即為了獲得更加科學(xué)合理的結(jié)果，若決策者提供的Pythagorean模糊偏好關(guān)系不具有可接受一致性，則需要調(diào)整其一致性至可接受的范圍。基于此，本文提出了可接受一致性調(diào)整算法，以滿足決策過程中的一致性要求。

基于Pythagorean模糊偏好關(guān)系的加型一致性調(diào)整算法可概括如下：

輸入：原始Pythagorean模糊偏好關(guān)系矩陣P=(pij)n×n，原始Pythagorean模糊偏好關(guān)系與加型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系之間的權(quán)衡參數(shù)σ∈(0,1)，最大迭代次數(shù)t?，一致性閾值

步驟1令計(jì)算模型（M2），根據(jù)公式（9）構(gòu)造加型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系

i=1,2,…,t+1。

步驟2根據(jù)公式（13）計(jì)算第t次迭代的Pythagorean模糊偏好關(guān)系P(t)的一致性指數(shù)CI(P(t))，即：

步驟3若，進(jìn)行步驟5；否則，進(jìn)行步驟4。

步驟4令，這里：

令t=t+1，進(jìn)行步驟2。

步驟5令(t)，輸出調(diào)整后的Pythagorean模糊偏好關(guān)系Pˉ及其加型一致性指數(shù)CI(Pˉ)。

步驟6結(jié)束。

定理4若Pythagorean模糊偏好關(guān)系滿足：

則CI(P(t+1))≤CI(P(t))。

證明

3.3 基于加型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系的多屬性決策方法

針對(duì)特定的決策問題，本節(jié)提出了一種新的基于加型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系的多屬性決策方法，下面給出具體步驟。

步驟1決策者基于決策信息構(gòu)造Pythagorean模糊偏好關(guān)系決策矩陣P=(pij)n×n=(μij,vij)n×n，確定一致性閾值。

步驟2若P滿足順序一致性，即pis≥pit，其中i,s,t=1,2,…,n，進(jìn)行步驟9；否則，進(jìn)行步驟3。

步驟3計(jì)算模型（M2），得到Pythagorean模糊權(quán)重向量：

步驟4根據(jù)公式（9）構(gòu)造加型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系

步驟5根據(jù)公式（13）計(jì)算P的加型一致性指數(shù)CI(P)，若，進(jìn)行步驟7；否則，進(jìn)行步驟6。

步驟6根據(jù)Pythagorean模糊偏好關(guān)系加型一致性調(diào)整算法調(diào)整不滿足可接受加型一致性的Pythagorean模糊偏好關(guān)系，得到滿足可接受加型一致性的Pythagorean模糊偏好關(guān)系，進(jìn)行步驟7。

步驟7取，利用公式（4）集結(jié)Pythagorean模糊偏好關(guān)系Pˉ中的元素為一組Pythagorean模糊數(shù)

步驟8利用公式（2）分別計(jì)算的得分函數(shù)值，并根據(jù)大小對(duì)各方案進(jìn)行排序，得到排序結(jié)果。

步驟9結(jié)束。

4 基于Pythagorean模糊偏好關(guān)系的智能家居系統(tǒng)評(píng)估模型

4.1 案例分析

隨著大數(shù)據(jù)、物聯(lián)網(wǎng)、云計(jì)算、移動(dòng)互聯(lián)網(wǎng)等技術(shù)的深入發(fā)展，智能產(chǎn)業(yè)鏈正從智能硬件等熱點(diǎn)領(lǐng)域向智能服務(wù)、智能城市、智能生活領(lǐng)域拓展。其中，智能家居主要考慮用戶基于場(chǎng)景的交互體驗(yàn)，為用戶提供像虛擬管家一樣緊密結(jié)合的服務(wù)，近年來受到廣泛的關(guān)注。為了迎合大眾需求，某投資公司擬從語音控制、智能場(chǎng)景、個(gè)性化等方面對(duì){x1,x2,x3,x4}四種不同品牌的智能家居系統(tǒng)進(jìn)行評(píng)價(jià)，選出最優(yōu)的智能家居系統(tǒng)進(jìn)行投資。通過成對(duì)比較xi和xj( )i,j=1,2,3,4，構(gòu)造Pythagorean模糊偏好關(guān)系P(0)如下：

步驟1令最大迭代次數(shù)t?=10。

步驟2根據(jù)模型（M2），得到J=1.68>0，因此Pythagorean模糊偏好關(guān)系P不滿足加型一致性，同時(shí)得到Pythagorean模糊權(quán)重向量：

根據(jù)公式（9），構(gòu)造加型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系如下：

步驟3根據(jù)式（13）計(jì)算加型一致性指數(shù)CI(P(0))=0.212 1。通過比較發(fā)現(xiàn)，因此P(0)不具備可接受加型一致性，進(jìn)行步驟4。

步驟4利用一致性調(diào)整算法對(duì)P(0)進(jìn)行一致性調(diào)整。當(dāng)t=3時(shí)，發(fā)現(xiàn)CI(P(3))=0.053 0，即因此P(3)具有可接受一致性，令Pˉ=P(3)，有：

步驟5根據(jù)公式（4）集結(jié)可接受一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系

步驟6取ωi=0.25(i=1,2,3,4)，根據(jù)公式（2）計(jì)算比較各方案得分函數(shù)的大小，得到

步驟7各方案的排序結(jié)果為x2?x3?x1?x4。

4.2 比較分析

本節(jié)將Pythagorean模糊數(shù)轉(zhuǎn)化為直覺模糊數(shù)，在直覺模糊環(huán)境下對(duì)偏好關(guān)系進(jìn)行分析。首先，將Pythagorean模糊偏好關(guān)系P(0)轉(zhuǎn)化為直覺模糊偏好關(guān)系P*：

根據(jù)文獻(xiàn)[12]提出的方法處理P*，得到目標(biāo)函數(shù)值J*=1.850 8，最優(yōu)直覺模糊權(quán)重向量為：

根據(jù)公式（2），分別計(jì)算出各方案的得分函數(shù)為：

通過數(shù)值算例和對(duì)比研究，總結(jié)本章基于加型一致性的Pythagorean模糊偏好關(guān)系在決策問題中的特點(diǎn)如下：

（1）兩種方法的出發(fā)點(diǎn)不同。由于Pythagorean模糊數(shù)在對(duì)實(shí)際決策問題的不確定性建模方面具有比直覺模糊數(shù)更強(qiáng)的能力，因此本章提出的基于加型一致性Pythagorean模糊偏好關(guān)系的決策模型具有更加廣泛的應(yīng)用。

（2）兩種方法的具體實(shí)現(xiàn)步驟不同。文獻(xiàn)[12]建立了一個(gè)目標(biāo)規(guī)劃模型，通過求解該模型得到直覺模糊權(quán)重向量，然后選擇最佳方案。本章提出的決策方法，首先建立了一個(gè)目標(biāo)規(guī)劃模型，通過求解該模型得到Pythagorean直覺模糊權(quán)重向量，對(duì)于不滿足一致性的Pythagorean模糊偏好關(guān)系，本章通過定義一致性指數(shù)來衡量其可接受一致性，對(duì)于不滿足可接受一致性的Pythagorean模糊偏好關(guān)系，本章提出了一種新的一致性調(diào)整算法，決策過程更加細(xì)膩，決策結(jié)果更加準(zhǔn)確合理。

（3）本文提出的加型一致性調(diào)整算法可以改善Pythagorean模糊偏好關(guān)系的加型一致性，可以廣泛應(yīng)用在多屬性決策問題中。通過求解加型一致性調(diào)整算法，還可以為決策者在決策前提供參考。

5 結(jié)論與展望

Pythagorean模糊偏好關(guān)系是一種新型的模糊偏好關(guān)系，它不僅拓寬了偏好關(guān)系的適用范圍，而且能更充分地表達(dá)決策者的觀點(diǎn)，具有廣闊的發(fā)展前景。本章主要討論了Pythagorean模糊偏好關(guān)系在多屬性決策中的應(yīng)用。首先，基于Pythagorean模糊偏好關(guān)系及其加型一致性的定義，構(gòu)造了Pythagorean模糊偏好關(guān)系加型一致性判別模型；其次，針對(duì)某些不滿足加型一致性的Pythagorean模糊偏好關(guān)系，定義了衡量Pythagorean模糊偏好關(guān)系加型一致性程度的一致性指標(biāo)，并基于此提出了一種提高Pythagorean模糊偏好關(guān)系加型一致性的算法；最后，給出了基于Pythagorean模糊偏好關(guān)系加型一致性的多屬性決策方法，將其應(yīng)用在智能家居系統(tǒng)評(píng)估的問題中，并通過比較分析驗(yàn)證了本章提出方法的有效性和合理性。在未來的研究中，擬考慮偏好關(guān)系問題在Pythagorean猶豫模糊[13-14]環(huán)境下應(yīng)用以及Pythagorean模糊偏好關(guān)系與新型決策方法[15]的結(jié)合。