王利鋒

摘 要：一課時(shí)、一個(gè)單元的設(shè)計(jì)是否恰當(dāng)、成功，應(yīng)關(guān)注在該主線、主題下，基于統(tǒng)一的研究視角，通過派生下位學(xué)習(xí)，螺旋重現(xiàn)，形成對本主題中大概念學(xué)習(xí)的一般觀念、一般方法，增強(qiáng)主題構(gòu)架對學(xué)生學(xué)習(xí)思維、方法的吸附力，形成深度學(xué)習(xí)，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)方法的元認(rèn)知。

關(guān)鍵詞：單元教學(xué);深度學(xué)習(xí);整體教學(xué)

高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）新教材必修二將正余弦定理放在平面向量的應(yīng)用單元下，旨在突出向量作為研究幾何與代數(shù)工具的邏輯主線。用向量方法研究三角形性質(zhì)所得到的“產(chǎn)物”很多，正余弦定理簡潔、經(jīng)典而得以關(guān)注與重用。向量單元的性質(zhì)研究的統(tǒng)一視角是：在研究對象的基本表示（向量式）下，通過其內(nèi)含要素的特殊關(guān)系、運(yùn)算進(jìn)行分化，形成性質(zhì)。研究坐標(biāo)運(yùn)算（平面向量基本定理下的性質(zhì)）、數(shù)量積等性質(zhì)，都是基于該視角進(jìn)行。

基于該研究視角下，筆者提出了三大步構(gòu)想：首先，整體研究正余弦定理，螺旋重現(xiàn)性質(zhì)的一般方法，這一步也是形成向量主題承前啟后的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn);然后進(jìn)行解三角形的簡單應(yīng)用，同時(shí)在面對組合三角形時(shí)，適時(shí)伴隨向量方法;最后，融入實(shí)際問題情境中的建模應(yīng)用。鑒于篇幅有限，本文只展示第1課時(shí)向量法整體研究正余弦定理的教學(xué)設(shè)計(jì)：

教學(xué)環(huán)節(jié)1：發(fā)現(xiàn)問題

問題1：影響一個(gè)三角形的形狀與大小的基本要素有哪些？

問題2：這些要素之間的關(guān)系，你已經(jīng)學(xué)過哪些？還會(huì)存在更多的邊角等量關(guān)系嗎？

設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生從初中學(xué)過的證明三角形全等的方法（SSS，AAS，ASA）中發(fā)現(xiàn)問題。

教學(xué)環(huán)節(jié)2：分析問題

問題1：三角形中的邊角關(guān)系中都是長度與角度，我們在以前的學(xué)習(xí)中，有沒有聯(lián)系長度與角度的工具？

問題2：你能用什么向量形式語言表示一般△ABC？

問題3：-=是一個(gè)向量關(guān)系，但邊角關(guān)系是數(shù)量關(guān)系，如何將其“數(shù)量化”？

設(shè)計(jì)意圖：問題3是一個(gè)關(guān)鍵的探究過程，需要學(xué)生回顧梳理向量的運(yùn)算，從而發(fā)現(xiàn)內(nèi)積運(yùn)算是將向量關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系的運(yùn)算，即需要將三角形中的向量與另一個(gè)新向量作內(nèi)積，是后續(xù)探究與不同的新向量產(chǎn)生不同性質(zhì)的“先行組織者”，也是性質(zhì)之源。

教學(xué)環(huán)節(jié)3：性質(zhì)探究

問題1：對于關(guān)系式中的向量與什么樣的向量作內(nèi)積后，能產(chǎn)生一個(gè)只有邊與角的數(shù)量關(guān)系？（盡量不含邊角以外的量）

設(shè)計(jì)意圖：與不同的向量相乘，產(chǎn)生不同的性質(zhì)，在向量的選擇上，依據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算特點(diǎn)，首先容易想到自乘（平方），然后是三角形三邊所在的向量，對于與三邊所在的向量垂直的向量，可能有些學(xué)生難以聯(lián)想到，教師可以根據(jù)學(xué)生的探究情況進(jìn)行適當(dāng)引導(dǎo)。

備用問題2：根據(jù)垂直向量的數(shù)量積，你還能有其他的選擇嗎？

筆者從實(shí)際教學(xué)結(jié)果來看，學(xué)生得到的邊角關(guān)系中包含正余弦定理、射影定理，還有些是定理的變形形式，在當(dāng)初學(xué)習(xí)數(shù)量積時(shí)，探究其性質(zhì)，也是通過對內(nèi)含要素的特殊化（作數(shù)量積的兩向量相等、夾角為0，90°，180°，銳角，鈍角等）的視角進(jìn)行探究，重現(xiàn)探究性質(zhì)時(shí)從一般到特殊的研究路徑：

（1）與自身相乘（平方）得到余弦定理，這是數(shù)量積運(yùn)算較為特殊的情形，是長度與角度的融合。

（2）與同乘一個(gè)“現(xiàn)成”的向量（，，中某一個(gè)），或者與其同向的單位向量，意外收獲一套“射影定理”，其幾何直觀是兩邊所在的向量在第三邊方向上的投影的疊加，蘊(yùn)含“射影”的意義。

（3），，與垂直的一個(gè)向量相乘，得到正弦定理，其幾何直觀是兩邊所在的向量在垂直于第三邊方向上投影的數(shù)量相同。

（4）還有其他學(xué)生根據(jù)關(guān)系式-=的特點(diǎn)，利用平方差公式，兩邊同乘+，兩邊同時(shí)得到：c2-b2=accosB-abcosC，只是這些性質(zhì)，沒有像正余弦定理那樣簡潔、經(jīng)典而已。

教學(xué)環(huán)節(jié)4：方法總結(jié)

問題：請你嘗試總結(jié)一下用向量工具研究幾何性質(zhì)的一般方法。

設(shè)計(jì)意圖：-=是三角形邊角關(guān)系的隱性表示，通過與不同向量的數(shù)量化后，出現(xiàn)了不同外顯形式的邊角關(guān)系;在基本概念、一般觀念的界定下（三角形法則可以作為三角形圖形的表示），基于統(tǒng)一的研究視角下，讓學(xué)生螺旋重現(xiàn)從一般到特殊的性質(zhì)探究，是學(xué)生性質(zhì)探究的一般方法與路徑，也是將來學(xué)習(xí)其他性質(zhì)（如“用向量方法探究三角形性質(zhì)”）的先行組織者。

單元教學(xué)、學(xué)習(xí)不是“拼盤”，需要在主線、主題的框架構(gòu)建下，統(tǒng)一大概念的一般觀念、研究視角，不斷螺旋上升、重現(xiàn)，在知識(shí)內(nèi)容載體的學(xué)習(xí)中，形成一般觀念，在學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的過程中，不斷強(qiáng)化主題構(gòu)架的思維吸附能力，達(dá)到深度學(xué)習(xí)的目的，逐步形成對深度學(xué)習(xí)的元認(rèn)知。

參考文獻(xiàn)：

[1]章建躍.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)導(dǎo)向的“單元-課時(shí)”教學(xué)設(shè)計(jì)[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（5）：5-12.

[2]章建躍.數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)導(dǎo)向的“單元-課時(shí)”教學(xué)設(shè)計(jì)（續(xù)）[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2020（6）：6-12.