圓周角定理求角“四結(jié)合”

劉家良

縱觀全國各地以圓為載體求角大小的中考試題，多以圓周角定理的應(yīng)用為核心，并結(jié)合其他相關(guān)知識來考查，下面舉例介紹.

O

[一、結(jié)合等腰三角形性質(zhì)]

等腰三角形的兩腰為半徑，頂角是圓心角.

例1（2020·江蘇·淮安）如圖1，點A，B，C在⊙O上，∠ACB=54°，則∠ABO的度數(shù)是（ ）.

A. 54° B. 27° C. 36° D. 108°

分析：△ABO是等腰三角形，∠ABO是它的一個底角. 欲求∠ABO的度數(shù)，只需求∠AOB的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理知∠AOB = 2∠ACB=108°.

解：∵∠ACB=54°，∴∠AOB=2∠ACB=108°.∵OA=OB，∴∠ABO=∠BAO [=] [12]（180° - ∠AOB）=36°. 故選C.

點評：觀察、發(fā)現(xiàn)同弧所對的圓周角、圓心角，會用等邊對等角是解題的兩個關(guān)鍵點.

[二、結(jié)合垂徑定理、“三個量”的關(guān)系]

過圓心垂直于弦的直徑，是垂徑定理的條件，同圓中的弧、弧所對的弦及弧所對的圓心角這三個量中若有一組量相等，則其余兩組量分別相等.

例2（2020·湖北·荊門）如圖2，⊙O中，OC⊥AB，∠APC=28°，則∠BOC的度數(shù)為（ ）.

A. 14° B. 28° C. 42° D. 56°

分析：由OC⊥AB，得[AC] = [BC]，于是∠AOC = ∠BOC. 由圓周角定理得∠AOC = 2∠APC = 56°，進而得∠BOC的度數(shù).

解：連接OA，如圖2. 在⊙O中，∵OC⊥AB，∴[AC] = [BC]，∴∠AOC = ∠BOC.

由圓周角定理，得∠AOC = 2∠APC=56°，∴∠BOC=56°.

故選D.

點評：通過垂徑定理和“三個量”的關(guān)系，就將所求角和已知角間接地轉(zhuǎn)化到同一條弧所對的圓心角和圓周角上了.

[三、結(jié)合切線性質(zhì)]

見切線，想垂直. 求與切線相關(guān)的角也要與圓周角定理“打成一片”.

例3（2020·黑龍江·哈爾濱）如圖3，AB為⊙O的切線，點A為切點，OB交⊙O于點C，點D在⊙O上，連接AD，CD，OA，若∠ADC = 35°，則∠ABO的度數(shù)為（ ）.

A. 25° B. 20° C. 30° D. 35°

分析：由AB為⊙O的切線，得AB⊥OA. 所以欲求∠ABO的度數(shù)，需求∠AOB的度數(shù)，而∠AOB的度數(shù)可根據(jù)圓周角定理求得.

解：∵AB為圓O的切線，∴AB⊥OA，即∠OAB=90°.

∵∠ADC=35°，∴∠AOB=2∠ADC=70°，∴∠ABO=90° - ∠AOB=20°.

故選B.

點評：由圓的切線性質(zhì)得垂直是解題的切入點.

[四、結(jié)合圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理]

由圓內(nèi)接四邊形想到其對角互補.

例4（2020·黑龍江·牡丹江）如圖4，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，連接BD. 若[AC] = [BC]，∠BDC=50°，則∠ADC的度數(shù)是（ ）.

A. 125° B. 130° ? C. 135° D. 140°

分析：四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，所以欲求∠ADC的度數(shù)，需求∠ABC的度數(shù).由[AC] = [BC]，得AC = BC，進而得∠ABC = ∠CAB. 由同弧所對的圓周角相等得∠CAB = ∠BDC=50°，則∠ABC=50°問題得解.

解：連接AC，如圖4，∵∠CAB，∠BDC都為[BC]所對圓周角，∴∠CAB = ∠BDC=50°. ∵[AC] = [BC]，∴AC = BC，∴∠ABC=∠CAB=50°. ∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴∠ADC = 180° - ∠ABC = 130°.

故選B.

點評：由“四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O”想到四邊形ABCD對角互補是解題關(guān)鍵.