數(shù)學分析思想在高中數(shù)學解題中的應用

湯吉龍

摘 要：高中數(shù)學作為高中三大主科之一，在難度上呈現(xiàn)出“極差化”，學習難度大大增加.在學習高中數(shù)學的過程中，應當著重訓練解題方法及分析思想.教師應當引導學生運用數(shù)學分析思想思考解題思路，培養(yǎng)自身的學習習慣，促進思維以及邏輯水平的提高進步，從而有效解題.本文著重探討數(shù)學分析思想在高中數(shù)學解題中的應用，希望能夠為高中數(shù)學教師的教學工作提供一些新的思路和想法.

關鍵詞：高中數(shù)學;數(shù)學分析思想;數(shù)學解題;應用

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）15-0031-02

由于高中數(shù)學知識點與難度大幅增加，再加上課程進度快，從而導致很多學生因為適應不了課堂進度和難以解題以至于六神無主、無從下手.高中數(shù)學知識較為復雜，許多知識點之間相互聯(lián)系，有可能因為一部分沒有學好而使得接下去的課程無法接受，致使很多學生學習效率低下，出現(xiàn)解題步驟沒有邏輯等問題.所以在高中數(shù)學的學習中，教師應當注重學生對數(shù)學分析思想的培養(yǎng)及運用，這樣才能提高課堂效率，達到教學有效輸出的目的.

一、數(shù)學分析思想對高中數(shù)學解題的影響

從前學生習慣了套用“解題模板”來進行答題.而高中數(shù)學相對復雜，如果再像之前一樣依靠類型題的解題步驟進行照葫蘆畫瓢是行不通的.唯有掌握好知識點，多做題，試圖從做題的過程中發(fā)現(xiàn)解題思路，在下一次遇到此類題型時能夠馬上想到這個知識點，活學活用，通過學生的獨立思考以及題海戰(zhàn)術將所學知識銘記于心，培養(yǎng)學生的數(shù)學分析思想，這對于高中學生數(shù)學解題是很重要的.另外，教師在教學過程中注重對學生數(shù)學分析思想的培養(yǎng)與教育，可以使得學生在解題過程中養(yǎng)成良好的習慣，并且具有更加嚴謹?shù)倪壿嬎季S能力，對于學生在解題過程中提高效率具有非常關鍵的作用，同時教師在進行思想培養(yǎng)教育的過程中，其實也是對解題方法的一種優(yōu)化.因此，數(shù)學分析思想對于高中數(shù)學解題而言，不僅可以提高學生的解題能力，還能夠提高教師的教學效率及為創(chuàng)新教師的教學方式提供條件.

二、以“函數(shù)”為例介紹數(shù)學分析思想在高中數(shù)學解題中的應用

不等式的證明是高中數(shù)學中的一個重要內容，方法繁多，思路靈活，技巧性強.本質上來說用函數(shù)思想解決不等式問題，就是研究相對應函數(shù)的零點、正負區(qū)間、單調性的問題，所以，通過運用函數(shù)思想來解決這類問題，可以輕松找到解題方向，進而提高解題效率.例如：已知不等式x2+mx+3>4x+m恒成立，同時0≤m≤4，求x的取值范圍.首先在解題之前通過對題目進行詳細分析，我們發(fā)現(xiàn)可以將m作為自變量建立相應的函數(shù)，即y=（x-1）m+x2-4x+3，于是不等式也就轉變成為y>0恒成立，加上題目給出的條件范圍0≤m≤4，對于x的取值范圍自然呼之欲出，再進行解答就變得非常容易.事實上，對于這一類的題目都可以通過先轉換形式，然后根據(jù)題目條件進行分析解題的方式，在這個過程中，教師可以讓學生體會到學習高中數(shù)學并非如他們想象的那么困難，只要注意掌握思想方法，所有類似的題目都可以迎刃而解.

三、通過數(shù)列公式對問題進行分析思考

遞推數(shù)列的題型多樣，求遞推數(shù)列的通項公式的方法也非常靈活，往往可以通過適當?shù)牟呗詫栴}化歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列問題加以解決，亦可采用不完全歸納法的方法，由特殊情形推導出一般情形，進而用數(shù)學歸納法加以證明，因而求遞推數(shù)列的通項公式問題成為了高考命題中頗受青睞的考查內容.筆者試給出求遞推數(shù)列通項公式的十種方法策略，它們是：公式法、累加法、累乘法、待定系數(shù)法、對數(shù)變換法、迭代法、數(shù)學歸納法、換元法、不動點法、特征根的方法.教師可以在課堂上仔細講解一下遞推關系式的特征，讓學生在解題過程中能夠辨析題目的特征并準確選擇恰當?shù)姆椒ǎM而能夠更加迅速求出通項公式.1.利用公式法求通項公式

公式法求解通項的前提條件就是學生能夠從題目當中發(fā)現(xiàn)其中蘊含的知識點，然后根據(jù)這個知識點的具體特征來匹配相對應的公式，進而根據(jù)這個公式求解題目.比如我們來看這樣一道例題：已知數(shù)列{An}滿足An+1=2An+3·2n，A1=2，求數(shù)列{An}的通項公式.這道題應該算是初學數(shù)列的典型例題，也是高考中位于數(shù)列題的第一小題，相對簡單，也很容易犯錯，但是我們一旦掌握了相對應的思想方法，我們就很容易能夠從中發(fā)現(xiàn)錯誤點，并且在解題過程中對其進行詳細注意，那解題錯誤率無疑會減少很多.我們試著用數(shù)學分析思想進行解題應用，首先，我們要先確定這是求通項公式的哪一種方法，由題目可知，這道題要求我們用公式法求通項，確定了正確的方法以后，離成功解出這一道題目就只差一半兒了.接下來再繼續(xù)分析，本題的關鍵是把遞推關系式An+1=2An+3·2n轉化為An+1/2（n+1）-An/2n=3/2，說明數(shù)列{An/2n}是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項公式求出An/2n=1+（n-1）·3/2，進而求出數(shù)列{An}的通項公式.等把思路完全理清后，我們便可以根據(jù)我們的思考思路依次寫出步驟，并求得答案.

這樣一道題就解出來了.雖然這道題很簡單，但是在學數(shù)列過程中，如果不將最基本的題目搞清楚，明白其中的來由及思維，很難循序漸進地攻克難題，甚至會打擊學生學習其他章節(jié)知識的自信心.而掌握了基本題目解題思維方式之后，學生的數(shù)學分析能力會相應地增強，相信學生有足夠的信心應對下面的題目，對于類似的題目更是游刃有余.

2.累加法求通項公式的分析

前面我們分析了數(shù)列的公式法，現(xiàn)在我們再來看一下累加法求通項公式的題目，這種方法也是需要學生在進行解題的前期就要先進行深入思考，能夠規(guī)劃出大體的解題步驟，然后再一步步地進行正式解題.下面我們來看例題：已知數(shù)列{An}滿足An+1=An+2n+1，A1=1，求數(shù)列{An}的通項公式.第一步，我們還是一樣先引導學生分析題目，考慮需要用到求通項公式的哪一種方法才能將此題完整無誤地解答出來，或者是可以先嘗試哪種方法比較妥當.我們可以看到題目“An+2n+1”是具有一定的規(guī)律性，如果我們將它進行累加，可以逐步得到答案，那么，我們可以確定這一題用累加法就可以求得例題的通項公式.第二步，我們要考察到本題的關鍵是把遞推關系式A

n+1=An+2n+1轉化為An+1-An=2n+1，進而將它們累加得出（An-An-1）+（An-1-An-2）+……+（A2-A1）+A1，即可得出數(shù)列{An}的通項公式.最后一步，再將題目中給出的信息進行代入所求得的式子當中，即可求出最終答案.

通過分析以上題目，我們可以知道，在做任何一道題的時候，做題思路往往比做題更重要，因為題目是永遠做不完的，但是方法是萬變不離其宗，很多道題目都可能是考察同一個知識點的不同應用，數(shù)學分析思想在高中數(shù)學解題就顯得極其重要了，一個正確的思考方向可以讓解題進入正確的軌道，而如果拿到題目沒有預先思考，而是馬上動筆的話，很容易出現(xiàn)連環(huán)錯誤，高中數(shù)學注重考察學生的思考能力和嚴謹能力，做題不能想當然也不能套用做題模板.具體來講，首先要確定這題考察學生什么知識，然后再分析這題應該運用哪種方法進行解題，確認完這些之后，學生方可進行答題.總之，數(shù)學分析思想的重要性不言而喻，它可以有助于學生的數(shù)學思維能力以及數(shù)學涵養(yǎng)的培養(yǎng)，對高中生而言，這是學習數(shù)學的必備思想之一.

在學習數(shù)學的過程中，教師需要培養(yǎng)學生嚴謹?shù)慕忸}思路及方法，要引導學生學會自己思考，也要讓學生懂得數(shù)學分析思維在高中數(shù)學解題的重要性，從入門時便培養(yǎng)學生的數(shù)學分析思維，能夠大大減少錯誤及盲目做題的方式.培養(yǎng)謹慎、細心的做題習慣，我相信題目再難再復雜，學生都能很好地攻克.

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