數(shù)學(xué)思想在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

【摘要】本文論述在初中數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用數(shù)學(xué)思想的策略，提出有效應(yīng)用化歸思想、整體思想、模型思想、函數(shù)方程思想及數(shù)形結(jié)合思想開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)的建議，以幫助學(xué)生盡快找到解題思路，提升學(xué)生的解題能力及解題效率。

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)思想 有效應(yīng)用

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2021）09-0141-02

數(shù)學(xué)思想是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決相關(guān)問(wèn)題的重要指引。根據(jù)不同的數(shù)學(xué)題型，運(yùn)用有針對(duì)性的數(shù)學(xué)思想，可使學(xué)生在解題過(guò)程中快速解答。因此，教師在教學(xué)初中數(shù)學(xué)知識(shí)時(shí)，既要做好基礎(chǔ)知識(shí)的講解，又要為學(xué)生傳授常用的數(shù)學(xué)思想，圍繞具體問(wèn)題，展示數(shù)學(xué)思想的有效經(jīng)驗(yàn)，啟發(fā)學(xué)生更好地解題。

一、有效運(yùn)用化歸思想化難為易

化歸思想是一種重要的解題思想，是指根據(jù)習(xí)題創(chuàng)設(shè)有效的情境，將相關(guān)問(wèn)題進(jìn)行巧妙地轉(zhuǎn)化，化陌生為熟悉、化復(fù)雜為簡(jiǎn)單的一種數(shù)學(xué)思想。化歸思想在中考試題中較為普遍，因此，在日常教學(xué)中教師要積極創(chuàng)設(shè)有效的教學(xué)情境，不斷提高學(xué)生應(yīng)用劃歸思想解答數(shù)學(xué)習(xí)題的意識(shí)與能力：一方面，教師要從整體上把握初中數(shù)學(xué)授課內(nèi)容，認(rèn)真匯總常用的化歸思想方法，如換元法、特殊值法、構(gòu)造法等，使學(xué)生牢固掌握扎實(shí)的理論知識(shí)，為更好地應(yīng)用化歸思想解答數(shù)學(xué)習(xí)題做好鋪墊;另一方面，為使學(xué)生掌握運(yùn)用化歸思想解答數(shù)學(xué)習(xí)題的方法與技巧，使其能夠具體問(wèn)題具體分析，并沿著正確的方向化歸，教師應(yīng)注重做好相關(guān)習(xí)題的篩選，逐一為學(xué)生展示化歸思想的具體應(yīng)用。

如在教學(xué)“三角形全等”相關(guān)知識(shí)時(shí)，教師可在課堂教學(xué)中為學(xué)生講解如下習(xí)題：已知ABC為等邊三角形，M，N是邊AC上的兩點(diǎn)，且∠MBN=30°，設(shè)AM，MN，CN的長(zhǎng)分別為m，x，n，則以m，x，n為邊長(zhǎng)的三角形是（? ）。A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不確定。該題考查學(xué)生的化歸思想、三角形全等等知識(shí)點(diǎn)。要想判斷以m，x，n為邊長(zhǎng)三角形的形狀，需要將其轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形之中，運(yùn)用三角形相關(guān)知識(shí)進(jìn)行判斷。根據(jù)題意可將△ABM繞B點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△CBG，連接HN。顯然容易得到AM=CH=m，又∵∠MBN=∠NBH=30°，MB=BH，則△MBN≌△HBN，則MN=NH=x，∠BCH=∠A=60°，而∠BCA=60°，∴∠HCN=120°，∴△NCH為鈍角三角形，選擇C項(xiàng)。通過(guò)該習(xí)題的講解，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到在解決這類問(wèn)題時(shí)可通過(guò)旋轉(zhuǎn)圖形、添加輔助線等方式對(duì)相關(guān)的幾何題目進(jìn)行化歸、整理，以達(dá)到迅速求解的目的。

二、有效運(yùn)用整體思想降低解題難度

整體思想是將問(wèn)題的某一部分當(dāng)作一個(gè)整體加以考慮的思想。在解答數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí)有效地運(yùn)用整體思想，可降低計(jì)算的繁瑣程度，保證解題的正確性。為使學(xué)生更好地掌握整體思想，教師在向?qū)W生灌輸整體思想的同時(shí)，應(yīng)通過(guò)列舉具體的事例，使其認(rèn)識(shí)到究竟應(yīng)將哪一部分作為一個(gè)整體進(jìn)行考慮，需要具體問(wèn)題具體分析（如可以將一個(gè)分式或若干分式看做一個(gè)整體）。同時(shí)，還應(yīng)圍繞具體的例題，為學(xué)生示范整體思想的具體應(yīng)用，給學(xué)生留下充足的思考和討論時(shí)間，總結(jié)運(yùn)用整體思想解題的題型以及相關(guān)細(xì)節(jié)，讓學(xué)生在聽(tīng)課的過(guò)程中能得以頓悟，進(jìn)一步增強(qiáng)其應(yīng)用整體思想解題的靈活性。

如在講解代入求值的知識(shí)時(shí)，教師出示例題：已知方程x2+x-1=0的其中一根為m，則m3+2m2+2021的值為（? ）。A.2020 B.2021 C.2022 D.2023。該題考查學(xué)生靈活運(yùn)用整體思想解答數(shù)學(xué)習(xí)題的能力。通過(guò)認(rèn)真觀察給出的方程，如使用求根公式求出m的具體值，然后將m的值帶入多項(xiàng)式之中，計(jì)算較為繁瑣，而且容易出錯(cuò)。而使用整體思想則可以大大簡(jiǎn)化解題過(guò)程，提高解題正確率?！適是方程x2+x-1=0的其中一根，則m2+m-1=0，即，m2+m=1。m3+2m2+2021=m（m2+2m）+2021=m（m2+m+m）+2021=m（1+m）+2021=m2+m+2021=1+2021=2022，選擇C項(xiàng)。通過(guò)該習(xí)題的展示與講解可使學(xué)生認(rèn)識(shí)到整體思想在解題中的便捷性，進(jìn)而啟發(fā)學(xué)生在解題時(shí)多次運(yùn)用整體思想，直到問(wèn)題圓滿解決。

三、有效運(yùn)用模型思想提高學(xué)以致用能力

運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解答實(shí)際問(wèn)題時(shí)通常需要構(gòu)建相關(guān)的數(shù)學(xué)模型。初中階段涵蓋的數(shù)學(xué)模型較多，如一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)模型等。教師在講解初中數(shù)學(xué)習(xí)題時(shí)通過(guò)有效地運(yùn)用模型思想，為學(xué)生展示相關(guān)習(xí)題的解答，可使學(xué)生認(rèn)識(shí)到模型思想的重要性，進(jìn)而更好地鍛煉其學(xué)以致用的能力。為提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型思想解題的意識(shí)與能力，教師在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型時(shí)要遵循一定的步驟，注重為學(xué)生詳細(xì)地講解數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建步驟，以及構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的注意事項(xiàng)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到構(gòu)建數(shù)學(xué)模型時(shí)應(yīng)找到正確的自變量范圍。此外，為使學(xué)生親身體會(huì)運(yùn)用模型思想解題的過(guò)程，教師還應(yīng)注重為學(xué)生創(chuàng)設(shè)相關(guān)的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解。如在講解二次函數(shù)的知識(shí)時(shí)，教師可出示如下習(xí)題：

如圖1，學(xué)校準(zhǔn)備修建一個(gè)一面靠墻中間帶有一道籬笆的矩形花圃。其中墻的長(zhǎng)度a為6米，現(xiàn)有籬笆長(zhǎng)18米，若設(shè)AB=x米，花圃的面積為S平方米。（1）求S和x的函數(shù)關(guān)系式以及x的取值范圍。（2）若BC的長(zhǎng)不小于3米，該花圃的面積是否有最大值和最小值，若有求出最大值和最小值，若沒(méi)有說(shuō)明理由。

四、運(yùn)用函數(shù)方程思想的轉(zhuǎn)化迅速破題

函數(shù)與方程是聯(lián)系緊密的數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)。在解答相關(guān)習(xí)題時(shí)通過(guò)兩者的轉(zhuǎn)化往往能夠迅速地破題。為使學(xué)生掌握函數(shù)方程思想解答相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的技巧，教師應(yīng)該在課堂上注重落實(shí)以下工作：一是講解函數(shù)知識(shí)時(shí)應(yīng)注重引導(dǎo)學(xué)生思考對(duì)應(yīng)的方程，尤其借助函數(shù)圖象，為學(xué)生深入地剖析方程的根與函數(shù)圖象之間的關(guān)系，進(jìn)而在學(xué)生的頭腦中留下深刻的印象;二是為使學(xué)生能夠?qū)崿F(xiàn)函數(shù)與對(duì)應(yīng)方程之間的靈活轉(zhuǎn)換，掌握運(yùn)用函數(shù)與方程思想解題的具體思路，教師應(yīng)優(yōu)選精講相關(guān)的習(xí)題，并通過(guò)在課堂上與學(xué)生積極互動(dòng)，營(yíng)造生動(dòng)活潑的課堂氛圍，促使學(xué)生以高漲的熱情投入到學(xué)習(xí)活動(dòng)中，更好地理解函數(shù)與方程知識(shí)的本質(zhì)，從而在以后的學(xué)習(xí)中遇到類似的習(xí)題時(shí)能夠迅速找到破題思路。如在講解二次函數(shù)圖象知識(shí)時(shí)，教師可為其講解如下習(xí)題：

五、運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想直觀展示數(shù)學(xué)參數(shù)

數(shù)形結(jié)合思想在解答初中數(shù)學(xué)習(xí)題中有著較高的使用率。通過(guò)運(yùn)用該思想，能夠直觀地展示相關(guān)參數(shù)之間的關(guān)系，保證數(shù)學(xué)問(wèn)題的順利解答。為使學(xué)生掌握數(shù)形結(jié)合思想的有效應(yīng)用，教師要為學(xué)生認(rèn)真講解初中階段涉及的數(shù)學(xué)圖形，使其明確數(shù)學(xué)圖形表示的具體含義，掌握求解數(shù)學(xué)圖形相關(guān)參數(shù)的方法，如使用兩點(diǎn)坐標(biāo)可求出兩點(diǎn)之間的距離等。另外，教師還應(yīng)結(jié)合具體教學(xué)內(nèi)容做好例題的篩選，展示運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想解題的思路。如在講解圓的知識(shí)時(shí)，教師可以出示如下習(xí)題的解法：

綜上所述，為使學(xué)生牢固地掌握數(shù)學(xué)思想，明確區(qū)分不同數(shù)學(xué)思想以及適用題型，并在解題時(shí)能夠熟練應(yīng)用，教師既要做好數(shù)學(xué)思想理論知識(shí)的講解以及具體的解題示范，又要要求學(xué)生做好聽(tīng)課總結(jié)，在課下進(jìn)行針對(duì)性地訓(xùn)練，不斷積累數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用思路與技巧，促進(jìn)數(shù)學(xué)解題水平以及成績(jī)的顯著提升。

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【作者簡(jiǎn)介】陳娟（1980— ），女，廣西岑溪人，大學(xué)本科學(xué)歷，一級(jí)教師，研究方向?yàn)槌踔袛?shù)學(xué)教育教學(xué)。

（責(zé)編 林 劍）