何雪芬

摘 要：通過APOS 理論指出數(shù)學(xué)概念的獲得要經(jīng)歷活動(dòng)、程序、對(duì)象、圖式四個(gè)階段，為教學(xué)提供了理論依據(jù).本文是基于APOS理論下《函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解》的教學(xué)設(shè)計(jì)，旨在探討如何更有效地促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念。

關(guān)鍵詞：APOS 理論;概念教學(xué);教學(xué)設(shè)計(jì)

一、APOS理論概述

美國數(shù)學(xué)教育家杜賓斯基（Ed Dubinsky） 等人提出了APOS理論，它闡述的是：個(gè)體在解決所感知的數(shù)學(xué)問題中獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的過程，依序建立了心理活動(dòng)（Action）、程序（Process）和對(duì)象（Object），最后形成了圖式結(jié)構(gòu)（Scheme），取這4個(gè)階段英文單詞的首字母，稱其為APOS理論，APOS 理論是對(duì)皮亞杰的反思抽象的一種擴(kuò)展。首先“活動(dòng)”是個(gè)體通過一步一步地外顯性的指令去變換一個(gè)客觀的數(shù)學(xué)對(duì)象，以感受數(shù)學(xué)概念;“程序”階段，是在“活動(dòng)”被個(gè)體熟悉后，內(nèi)化為一種被稱為“程序”的心理操作，對(duì)概念的抽象化和符號(hào)化;當(dāng)個(gè)體能夠把“程序”當(dāng)做一個(gè)整體進(jìn)行操作時(shí)，這一程序就變成了一種心理“對(duì)象”;而數(shù)學(xué)概念的“圖式”是指由相應(yīng)的“活動(dòng)”、“過程”、“對(duì)象”以及與某些一般原理相聯(lián)系的其他“圖式”所形成的一種個(gè)體頭腦中的認(rèn)知框架，它可以用于解決與這個(gè)概念相關(guān)的問題。

二、基于APOS 理論的教學(xué)教學(xué)設(shè)計(jì)

APOS理論是依據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)建立的教學(xué)理論，不僅揭示了學(xué)生在學(xué)習(xí)中構(gòu)建數(shù)學(xué)概念的層次，而且為教師的數(shù)學(xué)教學(xué)提供了具體的教學(xué)策略。下面以人教版高中必修第一冊《函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解》的教學(xué)設(shè)計(jì)為例來說明。

（一）活動(dòng)階段——感知函數(shù)零點(diǎn)，從特殊到一般

“活動(dòng)”是指個(gè)體通過一步一步的外顯性指令去變換一個(gè)客觀的數(shù)學(xué)對(duì)象，即通過對(duì)簡單的一次函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)和對(duì)應(yīng)方程的解關(guān)系的思考來感受函數(shù)零點(diǎn)的定義，從而自然地得到函數(shù)零點(diǎn)的定義，對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的判斷有初步的理解，故可教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

問1：y=2x-3表示什么？（函數(shù)）

問2：這個(gè)函數(shù)圖象能否畫出？

注：師畫出函數(shù)y=2x-3圖象為一直線，與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為 （3/2，0）

問3：3/2怎么來的？

（令y=0，即2x-3=0，則x=3/2（板書））

師：3/2是方程2x-3=0的解，是函數(shù)y=2x-3圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，也使得函數(shù)值為零，我們稱為函數(shù)的零點(diǎn).這就是今天要學(xué)的函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解（點(diǎn)題，板書）

（二）程序階段——形成函數(shù)零點(diǎn)的一般化定義

“程序”階段，是在“活動(dòng)”被個(gè)體熟悉后，內(nèi)化為一種被稱為“程序”的心理操作。即是對(duì)零點(diǎn)概念的抽象化，符號(hào)化，從特殊的一次函數(shù)拓展到一般的函數(shù)，真正理解零點(diǎn)的定義，并能對(duì)函數(shù)零點(diǎn)，函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)，以及方程的解之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化，形成類似于“程序”的反應(yīng)，具體設(shè)計(jì)如下：

（接上面對(duì)零點(diǎn)的理解，可將其一般化）

問1：對(duì)于一般的函數(shù)f （x），其零點(diǎn)該怎么定義？

定義：對(duì)于函數(shù)f （x），我們把使f （x）=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=f （x）的零點(diǎn)。

問2：從函數(shù)圖象上怎么描述函數(shù)的零點(diǎn)？

師：函數(shù)y=f （x）的零點(diǎn)就是方程f （x）=0的實(shí)數(shù)解，就是函數(shù)y=f （x）的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

師：函數(shù)零點(diǎn)是使函數(shù)值為零的實(shí)數(shù)x，不是點(diǎn)坐標(biāo)。判斷一個(gè)函數(shù)是否存在零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為看對(duì)應(yīng)方程的根的情況，也可轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的情況。三者可相互轉(zhuǎn)化，零點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是根的個(gè)數(shù)，也是交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

問3：方程lnx+2x-6=0是否有根？

分析：方程lnx+2x-6=0為超越方程，學(xué)生并不會(huì)求解，因而無法直接求方程的根來判斷是否有根，此時(shí)考慮利用該方程對(duì)應(yīng)函數(shù)是否存在零點(diǎn)以求解.然而函數(shù)f （x）=lnx+2x-6其圖像，學(xué)生又不會(huì)做，只能通過描點(diǎn)作圖的方法進(jìn)行大致估算，那么有無更優(yōu)的求解方法呢？

（三）對(duì)象階段——深化理解函數(shù)零點(diǎn)的判定

當(dāng)個(gè)體能夠把“程序”當(dāng)做一個(gè)整體進(jìn)行操作時(shí)，這一程序就變成了一種心理“對(duì)象”。由此探究函數(shù)零點(diǎn)存在的判定，并對(duì)定理進(jìn)行辨析，此時(shí)“程序”已經(jīng)被“壓縮”成一種“對(duì)象”，即已要求學(xué)生把函數(shù)零點(diǎn)當(dāng)成對(duì)象，深化理解函數(shù)零點(diǎn)的判定。具體教學(xué)設(shè)計(jì)如下：

問1（探究）：函數(shù)y=f （x）在區(qū)間[a，b]內(nèi)是否存在零點(diǎn)？（以曲線代表函數(shù)圖象，動(dòng)手畫一畫，函數(shù)必須滿足什么條件才一定會(huì)有零點(diǎn)？）

分析：（1）當(dāng)函數(shù)圖象的兩個(gè)端點(diǎn)在同側(cè)時(shí)，即兩個(gè)函數(shù)值分居x軸同一側(cè)（f （a） f （b）>0）能否滿足？

（2）當(dāng)函數(shù)圖象的兩個(gè)端點(diǎn)在異側(cè)時(shí)，即兩個(gè)函數(shù)值分居x軸上下兩側(cè)（ f （a） f （b）<0）能否滿足？

（3）函數(shù)有零點(diǎn)，意味著圖象穿過x軸，那么函數(shù)圖象能否斷開？

問2：你能否總結(jié)一下函數(shù)零點(diǎn)存在的條件是什么？

函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：如果函數(shù)y=f （x）在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f （a） f （b）<0，那么，函數(shù)y=f （x）在區(qū)間[a，b]內(nèi)有零點(diǎn)，即存在c∈（a，b），使得 f （c）=0，這個(gè)c也就是方程f （x）=0的根。

思考：

（1）定義域[a，b]能否改為開區(qū)間（a，b]？（不能，如圖1）

（2）開區(qū)間（a，b）能否改為[a，b）？（不能，因?yàn)榱泓c(diǎn)可在x=0取到，如圖2）

（3）得到的零點(diǎn)是否唯一？（不唯一，如圖3）

（4）有零點(diǎn)一定能推出 f （a） f （b）<0？（不一定，如圖4）

（5）如果f （a） f （b）>0，就沒有零點(diǎn)？（不一定，如圖4）

（四）圖式階段——鞏固函數(shù)零點(diǎn)

一個(gè)數(shù)學(xué)概念的“圖式”是指由相應(yīng)的“活動(dòng)”、“過程”、“對(duì)象”以及與某些一般原理相聯(lián)系的其他“圖式”所形成的一種個(gè)體頭腦中的認(rèn)知框架，它可以用于解決與這個(gè)概念相關(guān)的問題。故在本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)的最后，以下面例題為例，對(duì)所學(xué)的零點(diǎn)的概念和零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行鞏固，以期望學(xué)生達(dá)到“圖式階段”。法一是學(xué)生學(xué)過的知識(shí)，通過化歸與轉(zhuǎn)化，把一個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，學(xué)生較易理解。法二是利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)是否存在，但無法判定零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。由此增加一個(gè)條件即函數(shù)在該區(qū)間是單調(diào)的，那么零點(diǎn)唯一。這是對(duì)零點(diǎn)存在性定理的補(bǔ)充，更是一種升華。

例 求方程lnx+2x-6=0解的個(gè)數(shù)

法一：解：∵lnx=6-2x，

∴l(xiāng)nx+2x-6=0解的個(gè)數(shù)等于函數(shù)y=lnx與y=6-2x交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，如圖函數(shù)y=lnx與y=6-2x有1個(gè)交點(diǎn)，則lnx+2x-6=0有1解。

法二：解：令函數(shù)f （x）=lnx+2x-6，

f （2）=ln2+4-6=ln2-2<0，

f （3）=ln3+6-6=ln3>0，

故函數(shù)f （x）=lnx+2x-6在（2，3）上有零點(diǎn)，

且函數(shù)f （x）在定義域（0，+∞）上是單調(diào)遞增函數(shù)，

則函數(shù)f （x）=lnx+2x-6有唯一零點(diǎn)，故lnx+2x-6=0有唯一解。

（利用計(jì)算機(jī)可做出f （x）=lnx+2x-6圖象圖）

教師歸納補(bǔ)充：如果函數(shù)y=f （x）在區(qū)間[a，b]上單調(diào)且其函數(shù)圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f （a） f （b）<0，那么，函數(shù)y=f （x）在區(qū)間[a，b]內(nèi)有唯一零點(diǎn)，即存在c∈（a，b），使得f （c）=0，這個(gè)c也就是方程f （x）=0的解。

結(jié)束語

從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理角度分析，APOS四個(gè)理解數(shù)學(xué)概念階段是合理的，教學(xué)過程是高效的，反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征，再現(xiàn)學(xué)生真實(shí)的思維活動(dòng)。首先，通過活動(dòng)讓學(xué)生感知數(shù)學(xué)概念;其次是學(xué)生經(jīng)過多次“活動(dòng)”后進(jìn)行思考，對(duì)數(shù)學(xué)活動(dòng)進(jìn)行抽象化，符號(hào)化;其次學(xué)生反復(fù)利用“程序”是實(shí)施活動(dòng)，就將程序壓縮為“對(duì)象”?！皥D式階段”是通過一系列鞏固應(yīng)用，使學(xué)生在頭腦中形成綜合的心智結(jié)構(gòu)。通過實(shí)際的教學(xué)，也驗(yàn)證了該理論確實(shí)能夠有效地促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念。

參考文獻(xiàn)

[1] 鮑建生、周超.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[2] 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）[M].北京：人民教育出版社，2003.

[3] 中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開發(fā)中心.普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊[M].北京：人民教育出版社，2019.