徐乾平

摘要：本文總結(jié)了本人近年來的任教經(jīng)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)三角形是一大非常常考的模塊。立體幾何方面的問題帶給人的最直觀感受是問題非常的精煉，圖形也非常簡(jiǎn)單。在這種條件不充足，圖形表征也不明顯的背景下，很多學(xué)生便只是望而卻步了，但學(xué)生其實(shí)完全可以遇山開山，遇水造橋，這樣問題也能夠順利地得到解決。

關(guān)鍵詞：等腰三角形;輔助線;作法

中圖分類號(hào)：A 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：（2021）-27-293

引言

輔助線可以用作擴(kuò)充題干的已知條件，做輔助線可以使題干當(dāng)中原有的抽象關(guān)系清晰呈現(xiàn)，從而協(xié)助學(xué)生進(jìn)行解題。下面是等腰三角形的集中輔助線作法。

一、平移法

就是將一個(gè)點(diǎn)從一個(gè)線段之上移動(dòng)到其他的位置之上，再根據(jù)平行線的相關(guān)性質(zhì)，或者是根據(jù)平行四邊形的圖形性質(zhì)，將有關(guān)的元素連接起來共同進(jìn)行推導(dǎo)。例：參見下圖1。已知EF為等腰梯形的中位線，對(duì)角線AD和BC之間相互垂直，梯形的高為BG。求證：EF=BG

經(jīng)過分析題干以及圖形可知，關(guān)于AD和BC兩條線段之間只給出了相互垂直這一條件，這就可以從梯形的中位線入手，其論證結(jié)論的得出必然與中位線有關(guān)。學(xué)生便可以自行回憶一下梯形的中位線長(zhǎng)度=（上底+下底）*？，因此，如果將AB這條線段的A點(diǎn)沿AD向下平移，直至A點(diǎn)與D點(diǎn)重合，使得AB與DH重合，則梯形的上底+下底=CH。之后連接BH，就得到了一個(gè)平行四邊形ABHD，通過梯形的中位線定理便可以完成證明得出結(jié)論。

二、旋轉(zhuǎn)法

這種方法就是圍繞一個(gè)固定的點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)出一個(gè)特定的角度，旋轉(zhuǎn)法主要是利用邊長(zhǎng)或者角度相等。對(duì)于等腰三角形的論證題目而言，旋轉(zhuǎn)法顯然應(yīng)用起來更為方便，值得優(yōu)先考慮。這種方法可以將分散的條件集中起來，擴(kuò)展已知的條件，為解決問題和證明結(jié)論提供便利條件。但是，由于每個(gè)問題的旋轉(zhuǎn)角度或位置均不相同，學(xué)生需要自行想象旋轉(zhuǎn)后的情況，如果對(duì)解題有利，再下筆解答。例：如圖3，已知點(diǎn)F是等腰三角形ABC當(dāng)中的一點(diǎn)，且AB與AC兩條線段長(zhǎng)度相等。已知∠AFB>∠AFC。求證：FC>FB

分析本題，有些學(xué)生可能會(huì)想到用兩個(gè)大小相等的底角分別減去∠ABF及∠ACF得出結(jié)論，但是這兩個(gè)角的度數(shù)我們也無從得知，若想從比較這兩個(gè)角的大小入手，便會(huì)增加問題的難度。但是如果在圖形當(dāng)中做出一條輔助線，使得三角形AFB能夠沿著A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到三角形AEC的位置之上，即可得出∠AFB=∠AEC，則所有的已知條件便可以聚集在四邊形AFCE之中，再將FE連接得出AFE=AEF，再根據(jù)已知條件AEC>AFC，即可得出FC>EC。

三、翻折法

翻折法是指以某條直線作為對(duì)稱軸，沿著對(duì)稱軸進(jìn)行對(duì)折，得到題目當(dāng)中給定圖形的全等圖形。在翻折的過程當(dāng)中，很容易出現(xiàn)等腰三角形，論證過程當(dāng)中便可以通過這種方式將題目當(dāng)中給定的零散的線段以及角集中起來，從中獲得更多的等量關(guān)系或是已知量。例：如圖4 所示，在三角形ABC當(dāng)中，∠C的大小是∠B的兩倍，且線段AO垂直于線段BC。求證：BO=AC+CO

X證明：如圖所示，將三角形ACO沿線段AO翻折至三角形AOM的位置上，那么可得出線段AC與AM相等，線段OC與OM相等，∴∠C=∠AMO，兩角均為∠B的2倍，又∵∠AMO=∠B+∠BAM，∴∠B=∠BAM，線段AM與MB相等，又∵BO=BM+MO，∴BO=AC+CO。

結(jié)束語(yǔ)

在等腰三角形的證明題的解題過程中，僅僅通過既定條件并不能很輕松的完成證明，而輔助線的添加便可以很輕易地解決解題難的問題，從而節(jié)省很多的時(shí)間以及精力。再結(jié)合上述的三種輔助線作法，相信一定能給學(xué)生帶來很大的幫助！

參考文獻(xiàn)

[1]趙勝.等腰三角形中輔助線的作法淺析[J].科教文匯（中旬刊），2017，{4}（04）：100-102.

[2]劉巍.等腰三角形中輔助線的作法[J].數(shù)理天地（初中版），2016，{4}（03）：15-16.