從“真問題”出發(fā)，尋找教學(xué)的“另一種可能”

儲(chǔ)冬生

摘要：教學(xué)《負(fù)數(shù)的初步認(rèn)識(shí)》一課，嘗試直面學(xué)生的真實(shí)起點(diǎn)，充分暴露學(xué)生的思維過程，從他們的真實(shí)問題、思維障礙出發(fā)，努力讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生，讓學(xué)生成為課堂的主人，并彰顯對(duì)話的特質(zhì)，凸顯負(fù)數(shù)的本質(zhì);同時(shí)，融入對(duì)“溫度計(jì)素材怎么用”“數(shù)軸內(nèi)容怎么教”“有關(guān)的數(shù)學(xué)史怎么評(píng)價(jià)”“正負(fù)號(hào)的數(shù)學(xué)規(guī)定怎么理解”等問題的思考，由此尋找教學(xué)的“另一種可能”。

關(guān)鍵詞：《負(fù)數(shù)的初步認(rèn)識(shí)》;認(rèn)知起點(diǎn);思維過程;學(xué)生主體;數(shù)學(xué)本質(zhì)

《負(fù)數(shù)的初步認(rèn)識(shí)》一課，很多名師都有過精彩的演繹。備課過程中，我學(xué)習(xí)了十多個(gè)典型的課例。我發(fā)現(xiàn)，很多課例都把學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)設(shè)為未知，試圖在教師的“引導(dǎo)”下逐步揭示負(fù)數(shù)的概念。事實(shí)上，學(xué)生在課前就對(duì)負(fù)數(shù)有不少的了解，于是，他們只能在課上“懂裝不懂”地“配合”老師。

面對(duì)這種狀況，我嘗試直面學(xué)生的真實(shí)起點(diǎn)，充分暴露學(xué)生的思維過程，從他們的真實(shí)問題、思維障礙出發(fā)，努力讓學(xué)習(xí)真正發(fā)生，讓學(xué)生成為課堂的主人，并彰顯對(duì)話的特質(zhì)，凸顯負(fù)數(shù)的本質(zhì);同時(shí)，特別關(guān)注教學(xué)主線之外的一些素材與內(nèi)容，由此尋找教學(xué)的“另一種可能”。

一、教學(xué)過程

（一）揭題：把握起點(diǎn)

師孩子們，在過去的學(xué)習(xí)和生活中，你看到過或者聽說過負(fù)數(shù)嗎？

生我在溫度計(jì)上看見過，有-10 ℃和-20 ℃。

（掌聲。）

生我在地下停車場(chǎng)看到過，電梯上面有-1層、-2層。

生我看到有一些會(huì)員卡扣錢的時(shí)候，就會(huì)顯示負(fù)多少錢。

生我在資料上看到，吐魯番盆地的海拔也是一個(gè)負(fù)數(shù)。

生欠款的時(shí)候也是負(fù)數(shù)。

生介紹角度的時(shí)候，比如，往上調(diào)是+10°，往下調(diào)就是-5°。

……

師知道得真多！大家覺得，你們說得這么好，老師開心嗎？

生不開心。

師為什么？

生因?yàn)槲覀兌紩?huì)講啊。

（笑聲。）

師太了解我了！我辛辛苦苦從江蘇跑到廣東來給你們上課，想帶大家一起認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)，結(jié)果大家好像都已經(jīng)認(rèn)識(shí)了，今天的課還怎么上呢？

生走程序??！

（笑聲。）

生繼續(xù)學(xué)，更深入地學(xué)。

生做點(diǎn)關(guān)于負(fù)數(shù)的題目。

生假裝不知道，再上一次。

（笑聲。）

生換個(gè)老師再上一次。

（笑聲。）

師分析大家給的這些建議，我覺得有兩個(gè)是真心為我考慮的：一個(gè)是可以更深入地了解負(fù)數(shù)，一個(gè)是可以做一些關(guān)于負(fù)數(shù)的練習(xí)。好，我們的課就從一個(gè)小練習(xí)開始，一起更深入地了解負(fù)數(shù)。

[設(shè)計(jì)意圖：引入新課的這段談話，幫助學(xué)生調(diào)取有關(guān)負(fù)數(shù)的已有經(jīng)驗(yàn)，為接下來的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備。關(guān)于這節(jié)課應(yīng)該怎么上的討論，激活了學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力，也為后面學(xué)習(xí)方式的選擇做好鋪墊，讓師生形成初步共識(shí)。]

（二）分類：了解形式

師（在黑板上貼上10張數(shù)字卡片）大家都已經(jīng)認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)了，你能把這些數(shù)中的負(fù)數(shù)快速挑出來嗎？誰來試一試？

（一位學(xué)生上黑板挑選，結(jié)果如圖1所示。）

師你挑完了為什么盯著老師看？你應(yīng)該看看同學(xué)們有什么反應(yīng)。

生（上黑板的學(xué)生）你們同意我的意見嗎？有什么想問我的嗎？

生為什么你認(rèn)為這些數(shù)都是負(fù)數(shù)呢？

師問得好！

（掌聲。）

生（上黑板的學(xué)生）因?yàn)樗鼈兦懊娑加袦p號(hào)。

生不對(duì)，這個(gè)叫作負(fù)號(hào)。

師沒上學(xué)的時(shí)候，它就叫“橫線”;后來學(xué)了加減法，它就叫“減號(hào)”了;從今天開始，它寫在負(fù)數(shù)的前面時(shí)，我們就叫它“負(fù)號(hào)”。會(huì)讀這些負(fù)數(shù)嗎？大家一起讀一讀。

（學(xué)生齊讀。）

師孩子們，事物往往是一分為二的，有負(fù)數(shù)就有正數(shù)，誰能把這些數(shù)中的正數(shù)也挑出來？

（一位學(xué)生上黑板挑出數(shù)字卡片：+48、+5、+3。）

師你們有不同的意見嗎？

（另一位學(xué)生挑出數(shù)字卡片：+48、+5、+3、12、106。）

生（先上黑板的學(xué)生）帶有負(fù)號(hào)的是負(fù)數(shù)，帶有正號(hào)的就是正數(shù)。

生（后上黑板的學(xué)生）其實(shí)這些都是正數(shù)，因?yàn)檎龜?shù)前面的正號(hào)可以省略不寫，所以這些數(shù)雖然看起來有一些不一樣，但是其實(shí)都是正數(shù)。

師正數(shù)前面的正號(hào)可以省略不寫，12就是+12，106就是+106。掌聲鼓勵(lì)一下兩位“小老師”。一上課，你們就告訴我認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)了，通過剛才這一段討論，大家的認(rèn)識(shí)有沒有更深入一些呢？

生更深入了。

師不僅是負(fù)數(shù)，我們對(duì)正數(shù)的認(rèn)識(shí)也更全面了。

[設(shè)計(jì)意圖：這里，基于學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，進(jìn)一步梳理了學(xué)生對(duì)負(fù)數(shù)形式的認(rèn)識(shí)，尤其是基本的讀法、寫法等。學(xué)生的學(xué)習(xí)由真實(shí)的認(rèn)知沖突開始，在自主的討論和交流中完成。另外，對(duì)負(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)，也進(jìn)一步加深了學(xué)生對(duì)正數(shù)的認(rèn)識(shí)，使得學(xué)習(xí)的過程真正成為一個(gè)深化認(rèn)識(shí)的過程。]

（三）表征：明晰意義

師其實(shí)，認(rèn)識(shí)一個(gè)數(shù)不能只是從形式上認(rèn)識(shí)它，更重要的是理解它表達(dá)的意思。就以-2為例，你知道-2到底代表什么意思嗎？我們一起來看大屏幕，大家自己試一試。

（課件出示：“請(qǐng)大家以-2為例，用自己看到的例子，以自己喜歡的方式，在白紙上表示出它的意義。你可以畫圖、列式、寫話……”學(xué)生嘗試表達(dá)自己理解的-2的含義。）

師我們一起來欣賞幾位同學(xué)的作品。

生我的想法是，在電梯里會(huì)看到-2層，這個(gè)-2就表示地下2層，比如停車場(chǎng)在-1、-2層。

師老師回家也會(huì)按電梯，我按的是2，你們知道老師家住幾層嗎？

生地上2層。

師他說明白了，老師就不重復(fù)了。

生5-7=-2，7比5多2，5比7少2，5減去7不夠，所以是-2。

生試卷上面的-2，可以直接表示扣2分。

生銀行卡里支出2元錢，就是-2元，收入是正的，支出就是負(fù)的。

生溫度零下2度就是-2 ℃，如果是零上，就是正的。

師大家太厲害了！現(xiàn)在回頭來看這里，（指著板書記錄的學(xué)生對(duì)-2的理解，如圖2所示）大家又有什么發(fā)現(xiàn)呢？

生每一組都是相反的。

師都是相反的，除此之外，大家還有什么想說的？

生正數(shù)和負(fù)數(shù)是相對(duì)的，0就像一條分隔線，分開了正數(shù)和負(fù)數(shù)，上面有一個(gè)正數(shù)，下面就有一個(gè)對(duì)應(yīng)的負(fù)數(shù)。

師我剛才看到有同學(xué)畫了溫度計(jì)，我這兒也帶來了一個(gè)。（課件出示圖3）要確定溫度是零上或者是零下，哪個(gè)點(diǎn)最重要？

生0最重要。

師剛才有同學(xué)說，0在這里是分隔線，簡單地說，就是起分界的作用。那我們以前碰到過0嗎？

生我們學(xué)數(shù)數(shù)的時(shí)候，就數(shù)過0，那時(shí)0表示沒有的意思。

生后來我們學(xué)測(cè)量的時(shí)候，拿尺子量東西，尺子開頭也有0，這個(gè)0表示開始。

師今天這里的0又有了一個(gè)新的作用，就是同學(xué)們剛才講的“起分界的作用”。現(xiàn)在我想再問一下：你覺得這會(huì)兒你對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)比剛上課的時(shí)候有進(jìn)步嗎？

生有進(jìn)步。

[設(shè)計(jì)意圖：這個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)主要是幫助學(xué)生建構(gòu)負(fù)數(shù)的意義，真正理解“意義相反”的內(nèi)涵。首先讓學(xué)生基于已有經(jīng)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)自主建構(gòu)，然后讓學(xué)生在集體討論中深化認(rèn)識(shí)、提煉要點(diǎn)。而關(guān)于0的討論，進(jìn)一步明晰0的意義和作用，凸顯了0對(duì)于負(fù)數(shù)意義建構(gòu)的獨(dú)特價(jià)值所在。]

（四）排序：深化理解

師你們更厲害了！我想再問一個(gè)問題：你們能把黑板上的這些數(shù)按照從小到大的順序排一下嗎？

（一位學(xué)生上黑板排序，結(jié)果如圖4所示。）

生（上黑板的學(xué)生）大家同意我的排列嗎？有什么問題想問我嗎？

生你為什么這樣排呢？

生（上黑板的學(xué)生）因?yàn)樨?fù)數(shù)要比正數(shù)小，而且負(fù)數(shù)減得越多，就越小。所以減得最多的，就是最小的，也就是-13，接著到-9，到-5，再到-3，到-2，然后剩下的就是3、5、12、48、106，就可以了。

（掌聲。）

生我就是不明白為什么-13比-9還要小呢？

生（上黑板的學(xué)生）因?yàn)樨?fù)數(shù)是負(fù)得越多反而越小的，你明白嗎？

生是不是-2離正數(shù)更近一些，所以它更大？

師-13比-2小，有人受不了，你有什么辦法能讓他更真切地感受到-13比-2小呢？

生看溫度就知道了，-2 ℃和-13 ℃哪個(gè)更冷？-2 ℃更接近0 ℃，所以更暖和，-13 ℃離得遠(yuǎn)，所以更冷。越往上就越熱。

生（上黑板的學(xué)生）負(fù)數(shù)和正數(shù)不一樣，因?yàn)橐饬x相反，所以負(fù)號(hào)后面跟的數(shù)字越大，那么這個(gè)負(fù)數(shù)就越小。

生0就像一個(gè)對(duì)稱軸，負(fù)數(shù)和正數(shù)在對(duì)稱軸的兩邊，分別對(duì)稱。

師同學(xué)們，到這里為止，今天要學(xué)的內(nèi)容就差不多了，但是還有兩個(gè)數(shù)，老師一直沒拿出來。（出示數(shù)字卡片）這個(gè)0可以放進(jìn)去嗎？放在哪呢？

（一位學(xué)生上黑板嘗試。）

師這個(gè)0算正數(shù)還是負(fù)數(shù)呢？

生它既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，它是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線。

（掌聲。）

師看來，有時(shí)候事物還能一分為三呢！還有一個(gè)數(shù)，我不知道它是多少，（將括號(hào)卡片放在黑板上的-9和-5之間）但我想它應(yīng)該放在這個(gè)位置上。你知道括號(hào)里的這個(gè)數(shù)可能是多少嗎？

生我覺得可能是-6、-7、-8。

師只有這三種可能嗎？

生也可能是-8.5。

師-8.5可以嗎？如果-8.5可以，-8.55可以嗎？

生（齊）也可以。

師那這里可能填多少個(gè)不同的數(shù)呢？

生（齊）無數(shù)個(gè)。

師今天這節(jié)課的研究，我們一直是以整數(shù)為例的，實(shí)際上負(fù)數(shù)也有負(fù)的小數(shù)。就像剛才大家說的那樣，正數(shù)、負(fù)數(shù)和0就像軸對(duì)稱圖形，既然有正的小數(shù)，就有負(fù)的小數(shù)與它“對(duì)稱”。0就像對(duì)稱軸，所以它既不能算正數(shù)，也不能算負(fù)數(shù)。（將括號(hào)卡片放在黑板上的-13前面）如果我把這個(gè)數(shù)放在-13的前面，它有可能是多少？有多少種可能？

生有無數(shù)個(gè)，都比-13小。

師（將括號(hào)卡片放在黑板上的106后面）如果移到這里，放在106的后面，它又可能是多少？有多少種可能？

生有無數(shù)個(gè)，都比106大。

師這一排數(shù)既沒有最小的起點(diǎn)，也沒有最大的終點(diǎn)，但有一個(gè)重要的分界點(diǎn)，就是0，所有的負(fù)數(shù)都比0小，所有的正數(shù)都比0大。這就是今天老師跟大家一起進(jìn)一步研究的——認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)。你們覺得認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)難嗎？

生不難。

師雖然現(xiàn)在看，負(fù)數(shù)并不難，但人類認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)的過程卻是曲折的。（課件出示圖5、圖6）中國人雖然較早提出負(fù)數(shù)的概念，但是一直沒有能夠很好地用一種數(shù)學(xué)符號(hào)來表示它。（課件出示圖7）直到400多年前，法國數(shù)學(xué)家吉拉爾首次用正負(fù)號(hào)來表示正負(fù)數(shù)。

[設(shè)計(jì)意圖：通過對(duì)負(fù)數(shù)大小的辨析，學(xué)生突破已有認(rèn)知，深化對(duì)負(fù)數(shù)意義的理解。以溫度為例，幫助學(xué)生在收獲知識(shí)的同時(shí)，也獲得學(xué)習(xí)方法的積累。通過數(shù)學(xué)史料的介紹，進(jìn)一步拓寬學(xué)生的視野，也給學(xué)生一種文化的熏陶。]

（五）練習(xí)：拓展外延

（教師出示練習(xí)1，見圖8。）

1.填空：一個(gè)人的體重增加1.2千克記作+1.2千克，那么體重減輕0.5千克記作（）千克;向東走10米記作（）米，那么向西走14米記作（）米。

生體重增加1.2千克記作+1.2千克，那么，體重減輕0.5千克記作-0.5千克;向東走10米記作+10米，那么向西走14米記作-14米。

師我想問一個(gè)問題：如果我將向東走10米記作-10米，向西走14米記作+14米，可以嗎？

生可以。

師體重的增加和減少通常是固定的，增加為正，減少為負(fù)。但是，方向的向東和向西可以根據(jù)研究問題的需要，靈活地確定誰為正，誰為負(fù)。

（教師出示練習(xí)2，見圖9。）

2.辨析：你認(rèn)為有可能，則打“√”;你認(rèn)為不可能，則打“”。

（1）某地的海拔為-155米。（）

（2）我的手機(jī)話費(fèi)余額為-15.45元。（）

（3）體育老師將小明的身高表示為-3厘米。（）

師第一小題，某地的海拔為-155米，可能嗎？

生我覺得有可能，因?yàn)檫@里的-155米應(yīng)該是指低于海平面155米，吐魯番盆地就低于海平面155米。

師（課件出示圖10）有時(shí)候，不說話真的比說話還厲害，你看到這幅圖，就更清晰了。第二小題，我的手機(jī)話費(fèi)余額為-15.45元，可能嗎？

生我認(rèn)為，手機(jī)話費(fèi)余額為-15.45元，其實(shí)就是欠費(fèi)了，欠了15.45元。

師在學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)之前，我們看到余額，心里就開心，但是從現(xiàn)在開始，我們就要多留個(gè)心眼，看看余額到底是多少，如果是負(fù)的，其實(shí)就是欠錢了。知識(shí)越來越多，我們看問題的深度也會(huì)不一樣。第三小題，體育老師把小明的身高記成了-3厘米，有可能嗎？

生不行，這就相當(dāng)于一點(diǎn)高度都沒有了。

生不可能。

生有可能，可能是對(duì)整個(gè)班的平均身高而言，如果平均身高為150厘米，小明的身高是147厘米。

師看看小帥哥說的有沒有道理。（課件出示圖11）明白體育老師什么意思了嗎？

（學(xué)生點(diǎn)頭，并發(fā)出驚嘆聲。）

師你們的“哦”是什么意思？

生全國11周歲兒童身高的正常范圍是140厘米到160厘米，小明的身高是157厘米，他比正常范圍的最高值160厘米少3厘米。

師所以就記成了-3，這里是以160厘米為標(biāo)準(zhǔn)的。把人的身高記成負(fù)的，有人心里覺得不舒服，你能把這位同學(xué)的身高記成一個(gè)正數(shù)嗎？

生以140厘米為標(biāo)準(zhǔn)，記為+17厘米。

師同樣是小明的身高，怎么一會(huì)兒正，一會(huì)兒負(fù)？這不亂了嗎？

生那是因?yàn)閰⒖嫉臉?biāo)準(zhǔn)不一樣，+17厘米是以140厘米為標(biāo)準(zhǔn)的，-3厘米是以160厘米為標(biāo)準(zhǔn)的。標(biāo)準(zhǔn)不同，記錄的結(jié)果就不同啊！

（掌聲。）

生就以地平面為標(biāo)準(zhǔn)，直接記作157厘米，也可以的。

師所以，負(fù)數(shù)表示的量的多少，不能只看數(shù)值，還得關(guān)注標(biāo)準(zhǔn)。我有一個(gè)夢(mèng)想：如果能以姚明的身高為標(biāo)準(zhǔn)，把我記成-3厘米，那該多好！ -3不一定就是很少、很矮，也可能很多、很高呢！關(guān)鍵看標(biāo)準(zhǔn)。

[設(shè)計(jì)意圖：這里的兩組練習(xí)，第一組重在基礎(chǔ)，第二組重在拓展，體現(xiàn)了一種特有的層次性。此外，這兩組練習(xí)將前面的新授教學(xué)中沒有充分關(guān)注的典型問題做了補(bǔ)充說明，從而進(jìn)一步幫助學(xué)生完善已有認(rèn)知，形成新的知識(shí)結(jié)構(gòu)，也彰顯出一種特有的針對(duì)性，具有查漏補(bǔ)缺的功能。]

（六）回顧：提煉總結(jié)

師孩子們，最后我再給大家提一個(gè)問題：你能用最簡潔的語言說說負(fù)數(shù)是怎樣的數(shù)嗎？只說一句話。

生負(fù)數(shù)是比0小的數(shù)。

師（板書：大小）從大小看，負(fù)數(shù)是比零小的數(shù)。

生負(fù)數(shù)是不穩(wěn)定的數(shù)

師它為什么會(huì)不穩(wěn)定？

生負(fù)數(shù)是基于一個(gè)特定標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)。

（教師板書：不穩(wěn)定。）

生負(fù)數(shù)和正數(shù)意義相反。

師（板書：意義）從意義看，它是和正數(shù)意義相反的數(shù)。

生負(fù)數(shù)是重要的數(shù)，因?yàn)槿绻麤]有負(fù)數(shù)的話，很多意思就表達(dá)不出來了。

生負(fù)數(shù)是帶有負(fù)號(hào)的數(shù)。

師（板書：樣子）如果你們能這樣從樣子、大小、意義、標(biāo)準(zhǔn)等角度去思考，我覺得你們對(duì)負(fù)數(shù)的認(rèn)識(shí)就真的比剛上課的時(shí)候厲害了。現(xiàn)在，你們覺得認(rèn)識(shí)負(fù)數(shù)了嗎？

生認(rèn)識(shí)。

師但是，我要遺憾地告訴你，今天還只是初步認(rèn)識(shí)，以后還要花很長的時(shí)間去研究它。對(duì)于事物的認(rèn)識(shí)真的是可以不斷深入的。

[設(shè)計(jì)意圖：利用一個(gè)開放的問題引導(dǎo)學(xué)生回顧全課，然后根據(jù)學(xué)生的回答，及時(shí)提煉要點(diǎn)、形成板書，是一個(gè)有效的課堂總結(jié)方法。這里，利用這一方法，幫助學(xué)生從形式、數(shù)量、意義和標(biāo)準(zhǔn)等角度對(duì)負(fù)數(shù)的知識(shí)做了比較全面的建構(gòu)。]

二、教學(xué)思考

（一）對(duì)整節(jié)課教學(xué)路徑與方法的思考

本節(jié)課整體的教學(xué)思路是，從學(xué)生的“真問題”出發(fā)，引發(fā)“真探究”，收獲“真成長”。由此引出了以下幾點(diǎn)思考：

1.如何基于學(xué)生的真實(shí)起點(diǎn)展開教學(xué)？

基于學(xué)生的真實(shí)起點(diǎn)展開教學(xué)，首先是意識(shí)和觀念的問題。只有基于學(xué)生的真實(shí)起點(diǎn)展開教學(xué)，才能讓學(xué)生的學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生;否則，學(xué)生的學(xué)習(xí)要么重復(fù)而無效，要么脫節(jié)而難懂。就像撓癢或止痛要作用在正確的部位才能起到應(yīng)有的效果一樣，教學(xué)也要針對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)的“癢處”和“痛點(diǎn)”。學(xué)生常常都不是以“一張白紙”的狀態(tài)進(jìn)入課堂的，因此，教師不能簡單地假設(shè)學(xué)生“不懂”，而要設(shè)法了解學(xué)生的真實(shí)起點(diǎn)。本節(jié)課，我的第一個(gè)問題是：“你在哪兒看到過或者聽說過負(fù)數(shù)？”這個(gè)問題就是試圖了解學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，從而基于學(xué)生的真實(shí)起點(diǎn)展開教學(xué)。然后，要盡可能地將學(xué)生已經(jīng)知道的和能夠解決的交給學(xué)生自己處理，要充分利用學(xué)生之間的差異化資源，教在學(xué)生還不知道和不能解決的地方。

2.如何充分暴露學(xué)生的思維過程？

只有充分暴露學(xué)生的思維過程，才能更好地把握學(xué)生的真實(shí)起點(diǎn)，尤其是分析出學(xué)生思維障礙的癥結(jié)所在（學(xué)習(xí)的“癢處”和“痛點(diǎn)”）。如何充分暴露學(xué)生的思維過程？首先要有一個(gè)容錯(cuò)的環(huán)境，讓學(xué)生能夠坦然地說出“我不懂”。但是，很多時(shí)候，學(xué)生只是知道自己不懂，卻不能說清楚自己是哪里不懂——因?yàn)槊靼椎娜硕际窍嗨频?，而不明白的人常常各有各的困惑。所以，教師還需要提供一些素材或任務(wù)作為載體或抓手，讓學(xué)生充分暴露自己的思維過程。本節(jié)課，我設(shè)計(jì)了12張卡片，讓學(xué)生分類、排序等，就是想通過外顯的活動(dòng)將學(xué)生的思維障礙呈現(xiàn)出來，從而讓后續(xù)的學(xué)習(xí)更加聚焦。在將正、負(fù)數(shù)分類的環(huán)節(jié)，學(xué)生對(duì)正數(shù)認(rèn)識(shí)的糾結(jié)充分暴露;而在將正、負(fù)數(shù)排序的環(huán)節(jié)，學(xué)生對(duì)負(fù)數(shù)大小判斷的矛盾心理一覽無遺……為什么可以清晰地看到學(xué)生的問題？這些卡片就是暴露學(xué)生思維過程的重要載體。

3.如何讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人？

新課改背景下，很多教師都知道要讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，但又常常做不到。問題的癥結(jié)在于我們?nèi)狈τ行У膶?shí)施策略，又擔(dān)心教學(xué)淪落為“放羊”。對(duì)此，我以為，教學(xué)應(yīng)當(dāng)從“學(xué)以備用”逐步走向“以用帶學(xué)”。所謂“學(xué)以備用”，指的是教學(xué)中，教師常常會(huì)有一種潛意識(shí)，要盡快把學(xué)生教會(huì)，然后讓他們運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題。為了盡快把學(xué)生教會(huì)，教師通常會(huì)扮演最厲害的、最權(quán)威的角色，這時(shí)，學(xué)生要成為學(xué)習(xí)的主人就顯得比較困難了。所以，我們要逐漸樹立“以用帶學(xué)”的觀念：給學(xué)生一些基本的理念、核心的思想，然后讓他們運(yùn)用這些看似粗糙的、不周密的認(rèn)識(shí)去探索、去嘗試。這時(shí)，學(xué)生會(huì)遭遇一些問題，很自然地就需要合作、討論、求助、爭(zhēng)辯……在這個(gè)過程中逐漸成了學(xué)習(xí)的主人。為什么要教一些基本的、核心的東西？因?yàn)榻虒W(xué)必須聚焦這些關(guān)鍵要素。為什么只能教一點(diǎn)點(diǎn)？因?yàn)榻虒W(xué)需要留足學(xué)生探究的空間。也就是說，學(xué)生既不可能探究自己完全不知道的東西，也不可能探究那些完全知道的東西，探究一定發(fā)生在知與不知之間。本節(jié)課，我就嘗試讓學(xué)生“以用帶學(xué)”：了解了學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)后，就開始讓他們運(yùn)用這些認(rèn)識(shí)解決問題，在運(yùn)用中不斷深化認(rèn)識(shí)。

4.如何進(jìn)一步凸顯數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)？

概念內(nèi)涵是對(duì)事物本質(zhì)的抽象。數(shù)學(xué)概念教學(xué)要凸顯數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生透過現(xiàn)象看到本質(zhì)所在，這是顯而易見的道理。數(shù)學(xué)教師在教學(xué)中通常是重視數(shù)學(xué)本質(zhì)的，甚至有些過于強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)本質(zhì)，讓數(shù)學(xué)失去了起碼的生活氣息和文化氣息。那么，如何恰當(dāng)?shù)仃P(guān)注數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)呢？人們常說，掌握了本質(zhì)才可能“舉一反三”，反過來，“舉一反三”似乎也成了掌握本質(zhì)的顯性標(biāo)志之一。對(duì)此，我想說的是，從結(jié)果導(dǎo)向的角度看，凸顯本質(zhì)需要聚焦“舉一反三”能力的培養(yǎng);但是從過程導(dǎo)向的角度看，凸顯本質(zhì)不必急于“舉一反三”，“舉一反三”的前提應(yīng)該是“舉三反一”。只有經(jīng)歷“舉三反一”的過程提煉出來的“一”（數(shù)學(xué)本質(zhì)）才更具有生長性，教學(xué)首先應(yīng)該凸顯這個(gè)由“三”提煉出“一”的過程。本節(jié)課，我引導(dǎo)學(xué)生先呈現(xiàn)負(fù)數(shù)在電梯、算式、賬單、溫度等諸多情境中的意義，再提煉“與正數(shù)意義相反”這個(gè)本質(zhì)，目的就是讓學(xué)生在充分感知的基礎(chǔ)上建構(gòu)概念。有了充分的、具體而直觀的經(jīng)驗(yàn)作為支撐，學(xué)生才能真正建構(gòu)意義相反的概念，才能運(yùn)用這種觀念分析和解決問題。如果在簡單呈現(xiàn)之后就急于要求學(xué)生“舉一反三”，學(xué)生的學(xué)習(xí)很可能停留在機(jī)械模仿、生搬硬套的層次上，很難形成真正意義上的理解。

（二）對(duì)部分相關(guān)教學(xué)素材與內(nèi)容的思考

本節(jié)課核心的教學(xué)內(nèi)容當(dāng)然是負(fù)數(shù)的形式、意義、外延、內(nèi)涵等，它們屬于教學(xué)的主線。除此之外，我還對(duì)一些相關(guān)的教學(xué)素材與內(nèi)容做了思考，由此尋找教學(xué)的“另一種可能”。

1.“溫度計(jì)”這個(gè)素材怎么使用？

常用的幾個(gè)版本的教材都將溫度計(jì)作為引入負(fù)數(shù)的第一個(gè)素材。使用溫度計(jì)的好處顯而易見：其上正數(shù)、負(fù)數(shù)、0都有，似乎就是一個(gè)數(shù)軸的雛形。但是，從理解負(fù)數(shù)意義的角度看，溫度計(jì)作為第一個(gè)素材是否合適，還值得討論。負(fù)數(shù)本質(zhì)上表達(dá)的是與正數(shù)意義相反的量。然而，溫度計(jì)上的意義相反卻是“人造”的：人們先規(guī)定了正常大氣壓下淡水結(jié)冰的溫度為0 ℃，然后才有了高于0 ℃為正，低于0 ℃為負(fù)。所以，教學(xué)中經(jīng)常有學(xué)生（常常是那些愛琢磨的學(xué)生）納悶：倘若不對(duì)0 ℃做這樣特殊的規(guī)定，不就不需要負(fù)數(shù)了嗎？從學(xué)生理解意義相反這個(gè)角度看，溫度計(jì)不一定是揭示負(fù)數(shù)意義的首選素材。在教學(xué)中，從一些自然狀態(tài)下的意義相反進(jìn)入，或許更利于學(xué)生理解意義相反的內(nèi)涵。這也是本節(jié)課中，學(xué)生自主探索后，我有意先呈現(xiàn)電梯的地下層、算式的不夠減、銀行卡的付款等素材，最后才呈現(xiàn)溫度計(jì)這個(gè)素材的原因所在。這里，我使用溫度計(jì)這個(gè)素材，重點(diǎn)是幫助學(xué)生理解0的意義和作用?？梢姡虒W(xué)中素材的使用可以進(jìn)一步甄別和討論，而面對(duì)學(xué)生的自主探究活動(dòng)，教師的主導(dǎo)作用常常就是通過這樣的“選材”和“立序”來實(shí)現(xiàn)的。

2.“數(shù)軸”這個(gè)內(nèi)容怎么教學(xué)？

研究這部分教材內(nèi)容時(shí)，經(jīng)常有教師會(huì)問：在這里，數(shù)軸要不要教、能不能教？之所以這樣問，是因?yàn)檫@個(gè)內(nèi)容似乎到初中才正式接觸。對(duì)此，我的觀點(diǎn)是：不能簡單地回答“要教”或“不要教”、“能教”或“不能教”，問題的關(guān)鍵是為什么教，通過什么樣的方式教。如果目的是明確的，方式是恰當(dāng)?shù)?，那就可以教。本?jié)課，我看似沒有教數(shù)軸，其實(shí)通過貼在黑板上的那一串?dāng)?shù)（如圖4所示），再加前后的省略號(hào)，差不多已經(jīng)將數(shù)軸的相關(guān)要素都表達(dá)出來了。記得布魯納曾說過，任何學(xué)科都能夠用在智育上正確的方式，有效地教給任何發(fā)展階段的任何兒童。我想，這也是我想要表達(dá)的——關(guān)鍵是要找到與學(xué)生同頻率的方式。

3.“中國是最早認(rèn)識(shí)和使用負(fù)數(shù)的國家”這一史實(shí)怎么評(píng)價(jià)？

蘇教版教材在這部分內(nèi)容后的《你知道嗎》欄目中，介紹了一些相關(guān)史料，其中明確指出：“中國是最早認(rèn)識(shí)和使用負(fù)數(shù)的國家?！焙芏嘟處熢诮榻B這段史料時(shí)，都想充分激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，這是可以理解的。但是，過于強(qiáng)調(diào)這一點(diǎn)，如通過這段描述來說明我們的民族是最智慧的，那就值得商榷了。其實(shí)，我們可以更辯證、更全面、更客觀地看待這段歷史，分析這段史料。西方早期不認(rèn)可負(fù)數(shù)存在的合理性與他們對(duì)“負(fù)負(fù)得正”算理的理解、對(duì)方程“負(fù)根”的認(rèn)識(shí)等緊密相關(guān)，這種不認(rèn)可不能簡單地被認(rèn)為是落后。而我們較早認(rèn)可負(fù)數(shù)存在的合理性可能與兩方面的文化因素有關(guān)：一是我們的數(shù)學(xué)研究重視實(shí)用，只要對(duì)生產(chǎn)實(shí)踐有幫助，我們就容易認(rèn)同;二是我們的文化特別崇尚對(duì)稱，有了正數(shù)，再來一個(gè)負(fù)數(shù)，我們也容易接受。由此，我們要傳遞給學(xué)生一種更理性的民族自豪感，不能簡單、片面地肯定或否定。

4.“正號(hào)可以省略，而負(fù)號(hào)不可以省略”這一規(guī)定怎么理解？

之前的一次教學(xué)中，我說：“正數(shù)的正號(hào)可以省略?！币粋€(gè)學(xué)生提問：“負(fù)數(shù)的負(fù)號(hào)能不能省略呢？”我的回答是：“那不行，這樣正、負(fù)數(shù)就混淆了?！睂W(xué)生的反應(yīng)讓我措手不及：“那正數(shù)的正號(hào)不省略，負(fù)數(shù)的負(fù)號(hào)省略，可以嗎？”我無奈地說：“好像都可以啊，但是前人早就規(guī)定了……”后來，詢問身邊的同事，很多人都說：“還是省略正號(hào)合理，因?yàn)閿?shù)學(xué)是求簡的，正號(hào)有兩筆，而負(fù)號(hào)只有一筆。”當(dāng)我咨詢一位大學(xué)老師時(shí)，他的回答讓我很受啟發(fā)：“從形式上看，的確是省略正號(hào)或負(fù)號(hào)都可以，但是從生活的角度來分析，我們就會(huì)發(fā)現(xiàn)省略正號(hào)是一種更智慧的選擇。試想一下，倘若選擇了省略負(fù)號(hào)，而不省略正號(hào)，我們的生活會(huì)是什么樣呢？雖然給了一個(gè)規(guī)則，可以省略負(fù)號(hào)，但是平時(shí)基本上享受不到這個(gè)‘優(yōu)惠。生活中處處都有正數(shù)，我們就得不斷書寫正號(hào)?！庇辛诉@樣的認(rèn)識(shí)，我想，再有學(xué)生問我這個(gè)問題的話，我可以很好地說服他了。遺憾的是，本節(jié)課，沒有學(xué)生提出這個(gè)問題，所以，我也沒有專門陳述這個(gè)觀點(diǎn)。我始終覺得，教師要充分備課，但不是備到的就一定要在課上講出來。課堂的容量畢竟是有限的，教學(xué)還是要聚焦重難點(diǎn)，突出主題。有些問題，學(xué)生提出來了，我們要能夠直面;學(xué)生不提，我們還要能夠忍住不講。從某種意義上看，一課一得，足矣。