“函數(shù)的周期性”教學(xué)：基于相似性，重構(gòu)數(shù)學(xué)史

徐潔嵐 韓粟

摘要：學(xué)生的學(xué)習(xí)具有“歷史相似性”。函數(shù)周期性概念難學(xué)恰恰是因為其經(jīng)歷了從描述性定義、不完善的形式化定義到較完善的形式化定義的演進過程，使得最終的抽象水平較高。因此，在教學(xué)中重構(gòu)數(shù)學(xué)史，降低教學(xué)起點，從西方早期教科書中梳理出體現(xiàn)這一演進過程的周期函數(shù)定義，據(jù)此設(shè)計問題鏈，讓學(xué)生在問題的解決中，充分經(jīng)歷函數(shù)周期性概念的發(fā)生、發(fā)展過程，從而全面、準確地理解概念，同時培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：HPM;函數(shù)的周期性;歷史相似性;重構(gòu)式;問題鏈

“東升西落照蒼穹，影短影長角不同;晝夜循環(huán)潮起伏，冬春更替草枯榮?！边@一詩句描繪了自然界的周期現(xiàn)象，而函數(shù)的周期性則是定量刻畫周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)語言?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標準（2017年版2020年修訂）》要求：“結(jié)合三角函數(shù)，了解周期性的概念和幾何意義;用幾何直觀和代數(shù)運算的方法，研究三角函數(shù)的周期性?！比私藺版與滬教版高中數(shù)學(xué)教材不約而同地由正弦曲線所具有的周而復(fù)始的變化規(guī)律，結(jié)合正弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式，引入函數(shù)的周期性，很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中從特殊到一般的邏輯順序。但是，有研究表明，這樣的設(shè)計容易讓學(xué)生陷入“只有三角函數(shù)才是周期函數(shù)”的認識誤區(qū)。因此，北師大版高中數(shù)學(xué)教材另辟蹊徑，從水車運動情境、矩形波及鋸齒波函數(shù)圖像中，抽象出周期函數(shù)的概念，再從一般到特殊，分析三角函數(shù)的周期性。

事實上，無論教材采取何種邏輯順序，都無法改變周期函數(shù)是高中數(shù)學(xué)難點概念的客觀事實以及學(xué)生對周期函數(shù)存在諸多片面或錯誤理解的學(xué)情現(xiàn)狀。對此，一些教師在教學(xué)中，嘗試借鑒周期函數(shù)概念的發(fā)展歷史，幫助學(xué)生理解這一概念。但是，這些課例中，數(shù)學(xué)史的運用基本上為附加式和復(fù)制式，如呈現(xiàn)思維導(dǎo)圖、播放微視頻等，未能充分體現(xiàn)函數(shù)周期性概念抽象水平（形式化、精致化程度）逐漸提高的發(fā)展過程（歷史順序）。實際上，學(xué)生的學(xué)習(xí)具有“歷史相似性”，而函數(shù)周期性概念難學(xué)恰恰是因為其經(jīng)歷了抽象水平逐漸提高的發(fā)展過程，使得最終的抽象水平較高。因此，教師可以重構(gòu)數(shù)學(xué)史，降低教學(xué)起點，讓學(xué)生充分經(jīng)歷函數(shù)周期性概念的發(fā)生、發(fā)展過程，從而全面、準確地理解概念，同時培育數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

一、歷史材料的梳理

數(shù)學(xué)史上，周期函數(shù)的概念經(jīng)歷了從描述性定義、不完善的形式化定義到較完善的形式化定義的演進過程。筆者結(jié)合教學(xué)實踐中曾遇到的學(xué)生理解的難點，從西方早期教科書中梳理出了體現(xiàn)這一演進過程的周期函數(shù)定義，具體見表1。

二、教學(xué)設(shè)計與實施

本節(jié)課前，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及最值，獲得了一些研究函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)驗，比如從特殊到一般、從直觀（形）到抽象（數(shù)）。因為學(xué)生未學(xué)習(xí)三角函數(shù)，所以不能以三角函數(shù)為例引出周期函數(shù)的概念?？紤]到所在學(xué)校的民族特色，可以從民族服飾圖案中抽象出鋸齒波函數(shù)圖像，作為引出周期函數(shù)概念的例子。在此基礎(chǔ)上，可以依據(jù)上述五則史料所體現(xiàn)的演進過程設(shè)計問題鏈，讓學(xué)生在問題的解決中，充分經(jīng)歷函數(shù)周期性概念的發(fā)生、發(fā)展過程。

具體教學(xué)過程如下：

（一）現(xiàn)象感受

師 （出示圖1—下頁圖3）這些情境給你什么樣的直觀感受？

生 圖案有規(guī)律。

師 你能繼續(xù)畫出它的圖案嗎？為什么？

生 可以。因為這種規(guī)律還在重復(fù)進行。

生 月相也是在重復(fù)變化的。

師 你能預(yù)測最近一次滿月的日期嗎？參考數(shù)據(jù)：2020年12月19日為農(nóng)歷冬月初五。

生 農(nóng)歷十五那天是滿月，也就是12月29日。

生 摩天輪在作勻速圓周運動。

師 已知摩天輪旋轉(zhuǎn)一周約用28分鐘。對摩天輪上任意一點P，28分鐘后，點P在哪里？

生 回到原先的位置。

師 你能預(yù)測坐上轎廂7分鐘后的位置嗎？

生 7分鐘后，轎廂前進了四分之一圓周，因此旋轉(zhuǎn)了90°。

師 非常好！我們發(fā)現(xiàn)，上面這些現(xiàn)象是有規(guī)律地發(fā)生的。我們可以利用這種周而復(fù)始的規(guī)律，預(yù)測未來的某個時間會發(fā)生什么。（稍停）生活中有沒有其他周而復(fù)始變化的現(xiàn)象？

生 交通信號燈的不同顏色燈出現(xiàn)的順序。

生 二十四節(jié)氣。

（該生背誦《節(jié)氣歌》。）

生 太陽直射點在南北回歸線之間移動。

師 今天恰好是冬至日，太陽直射——

生 南回歸線。

[設(shè)計意圖：從學(xué)生熟悉的社會和自然現(xiàn)象出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界：直觀感受周期現(xiàn)象，利用周期規(guī)律由已知預(yù)測未知，為引出函數(shù)的周期性做鋪墊。]

（二）概念抽象

1.以形感悟，得到描述性定義。

（教師出示問題1。）

問題1從民族服飾的常見圖案中抽象出函數(shù)圖像，如圖4所示。記該函數(shù)為y=g（x），則y=g（x）的圖像具有怎樣的特征？y=g（x）有哪些性質(zhì)？

生 這個函數(shù)的圖像具有對稱性。

生 當自變量x為奇數(shù)時，函數(shù)有最大值1;當x為偶數(shù)時，函數(shù)有最小值0。

生 函數(shù)具有單調(diào)性。

師 函數(shù)y=g（x）的增區(qū)間是？

生 [-8，-7]，[-6，-5]，[-4，-3]，[-2，-1]，[0，1]，[2，3]，[4，5]，[6，7]，以此類推。

師 它們有怎樣的規(guī)律？

生 每隔2重復(fù)出現(xiàn)一次。

師 單調(diào)減區(qū)間又有怎樣的規(guī)律？

生 也是每隔2重復(fù)出現(xiàn)一次。

師 很好！也就是說，每隔長度為2的區(qū)間，函數(shù)圖像就會發(fā)生重復(fù)。一百多年前，一位名為杜爾斐的美國數(shù)學(xué)家提出：當自變量增加時重復(fù)自身的函數(shù)稱為周期函數(shù)，導(dǎo)致函數(shù)值發(fā)生重復(fù)的自變量的改變量就是函數(shù)的周期。15年后，另外一位美國數(shù)學(xué)家莫里茲提出了和大家類似的看法，他將每隔一個確定區(qū)間重復(fù)自身的曲線稱為周期曲線，將這種曲線所表示的函數(shù)稱為周期函數(shù)，將發(fā)生重復(fù)的區(qū)間長度稱為周期。根據(jù)兩位數(shù)學(xué)家的定義，函數(shù)y=g（x）的周期是——

生 它的周期是2。

（教師出示問題2。）

生 不滿足，因為這個函數(shù)的圖像沒有對稱性，也沒有單調(diào)性。

師 請各位同學(xué)嘗試調(diào)整這個函數(shù)的圖像，使其也具有重復(fù)發(fā)生的特征。

（兩位學(xué)生先后上臺在希沃白板上移動函數(shù)圖像，得到的結(jié)果分別如圖6、圖7所示。其余學(xué)生在草稿紙上繪制，教師巡視。）

師 大家都畫出了自己認為的在“重復(fù)發(fā)生”的函數(shù)圖像，它們各有不同。我們也注意到，函數(shù)y=g（x）的圖像可以看作由一條一條相等的線段組成，這些線段本身就體現(xiàn)了某種重復(fù)發(fā)生的特征。因此，僅僅用“每隔一個確定區(qū)間重復(fù)自身的曲線”這樣的描述性語言來定義周期函數(shù)還不夠嚴謹，我們應(yīng)該用數(shù)學(xué)的符號語言來定義函數(shù)的周期變化特征。

[設(shè)計意圖：基于對周期現(xiàn)象的直觀感受，讓學(xué)生觀察周期函數(shù)的圖像特征，獲得描述性定義;進而，通過希沃白板上的動態(tài)調(diào)整，讓學(xué)生體會到“重復(fù)自身”等描述性語言的模棱兩可，不符合數(shù)學(xué)的嚴謹性，因此需要用更精準的符號語言來定義函數(shù)的周期性。]

2.以數(shù)刻畫，不斷完善形式化定義。

（教師出示問題3。）

問題3 如何用符號語言描述函數(shù)y=g（x）的特征？

生 因為每當x增加2時，對應(yīng)的y都相等，所以可以表示為g（x+2）=g（x）。

師 通過這個等式，我們可以得到函數(shù)y=g（x）的一個周期是2。（出示圖7）設(shè)這個函數(shù)為y=h（x），那么y=h（x）的周期可以是多少？

生 每當x增加4時，對應(yīng)的y都相等，有h（x+4）=h（x），所以函數(shù)y=h（x）的周期是4。

（教師出示問題4，然后在希沃白板上移動并“成倍拉伸”函數(shù)圖像中兩條平行于y軸、距離為一個周期的輔助線，畫面定格于圖8。）

問題4 函數(shù)y=g（x）的周期只能是2嗎？

生 不一定。因為不僅有g(shù)（x+2）=g（x），還有g(shù)（x+4）=g（x），g（x+6）=g（x），…，所以周期可以是4，6，8，…。

師 如果用T代表周期，函數(shù)y=g（x）應(yīng)該滿足g（x+T）=g（x）的形式。這個T一定是正數(shù)嗎？

生 T還可以是-2，-4，-6，…。所有2的整數(shù)倍都可以是這個函數(shù)的周期。

師 很好！回顧數(shù)學(xué)史，從莫里茲定義又往前推進了22年，1937年，羅森巴赫等人重新定義周期函數(shù)：設(shè)f（x）是變量x的函數(shù)，若存在一個數(shù)T，使得f（x+T）=f（x）對于x的所有值都成立，則稱f（x）為以T為周期的周期函數(shù)。一個周期函數(shù)的周期的任意（整數(shù)）倍也是周期。

[設(shè)計意圖：借助鋸齒波函數(shù)圖像，引導(dǎo)學(xué)生抽象出形式化定義的關(guān)鍵——f（x+T）=f（x）;然后，“成倍拉伸”圖像中的輔助線，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)周期的任意整數(shù)倍還是周期，從而給出初步的形式化定義。]

（教師出示問題5。）

問題5 “2的整數(shù)倍”都可以是函數(shù)y=g（x）的周期嗎？

生 0不可以。當T=0時，g（x+T）=g（x）即為g（x）=g（x），是恒等式。

師 那么，我們?nèi)绾瓮晟粕鲜鲋芷诤瘮?shù)的定義呢？

生 存在一個非零常數(shù)T，使得f（x+T）=f（x）。

師 好的。那么，對于自變量x而言，是對任意x，都有f（x+T）=f（x），還是只要存在一個x，使得f（x+T）=f（x）就可以？

生 對任意x，f（x+T）=f（x）都要成立。

師 很好！無獨有偶，1955年，美國數(shù)學(xué)家懷利完善了周期函數(shù)的定義——若函數(shù)f（x）具有如下性質(zhì)：存在一個非零數(shù)T，使得對于x的所有值，均有f（x+T）=f（x），則稱f（x）為周期函數(shù)。若T是滿足上述等式的最小的值，則稱T為f（x）的周期。

（教師出示問題6。）

問題6 函數(shù)y=g（x），x∈[-8，8]符合周期函數(shù)的定義嗎？

生 不符合。因為函數(shù)y=g（x）滿足g（x+2）=g（x），但當x=8時，x+2=10不屬于定義域。

師 那么，應(yīng)該如何修正定義域，使得函數(shù)y=g（x）是一個周期函數(shù)？

生 定義域可以為[-8，+∞）。

師 若函數(shù)y=g（x）的一個周期為-2呢？

生 定義域可以為（-∞，8]。

生 定義域也可以為全體實數(shù)集。

師 很好！說明周期函數(shù)的定義域至少是單側(cè)無界的。那么，周期函數(shù)的定義還需要補充什么？

生 還需要補充：x屬于定義域，且x+T也屬于定義域。

師 回到數(shù)學(xué)史上，又前進了3年，數(shù)學(xué)家夏普給出了更嚴謹?shù)亩x：設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為D，T為非零實數(shù)，當x在D中時，x±T也在D中，若對于D中x的每一個值，均有f（x）=f（x+T），則稱f（x）為周期函數(shù)，T為f（x）的一個周期。根據(jù)之前的討論，這個定義還可以再完善嗎？

生 只要滿足“當x在D中，x+k也在D中”，就可以了。

師 很好！這樣，我們就得到了現(xiàn)在教科書中周期函數(shù)的定義：一般地，對于函數(shù)y=f（x），如果存在一個常數(shù)T（T≠0），使得當x取定義域D內(nèi)的任意值時，都有f（x+T）=f（x）成立，那么，函數(shù)f（x）叫作周期函數(shù)，常數(shù)T叫作函數(shù)f（x）的周期。如果在所有的周期中存在一個最小正數(shù)，這個最小正數(shù)就叫作函數(shù)f（x）的最小正周期。

[設(shè)計意圖：繼續(xù)追問，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)周期不可以為0，定義域要至少單側(cè)無界，從而進一步完善形式化定義，直至現(xiàn)行教材中的定義。]

（三）新知運用

（教師依次出示例1、例2，學(xué)生依次快速作答。）

例1 函數(shù)y=7+（-1）n，n∈N是否為周期函數(shù)？如果是，請指出它的最小正周期。

例2 已知函數(shù)f（x）=x2滿足f（-3+6）=f（-3），那么該函數(shù)是以6為周期的函數(shù)嗎？

（教師出示例3，學(xué)生思考片刻。）

生 該函數(shù)是周期函數(shù)，且不存在最小正周期。

（教師引導(dǎo)學(xué)生板書證明過程。）

師 由此，我們可以再次回顧周期函數(shù)的定義：如果在所有的周期中存在一個最小正數(shù)，這個最小正數(shù)就叫作函數(shù)f（x）的最小正周期。換言之，周期函數(shù)可能沒有最小正周期。請同學(xué)們思考一下，還有這樣的函數(shù)嗎？

生 常值函數(shù)，它是周期函數(shù)，但是它沒有最小正周期。

（教師出示例4，學(xué)生作答。）

例4 潮汐發(fā)電是在漲潮時將海水儲存在水庫內(nèi)，以勢能的形式保存，然后，在落潮時放出海水，利用高低潮位之間的落差，推動水輪機旋轉(zhuǎn)，帶動發(fā)電機發(fā)電。海洋潮汐具有周期現(xiàn)象，請你根據(jù)某地24小時內(nèi)監(jiān)測的潮汐情況（如圖9所示），預(yù)測未來24小時內(nèi)水電站何時開關(guān)水閘來進行潮汐發(fā)電？

師 潮汐發(fā)電不使用燃料、不污染環(huán)境，對改善生產(chǎn)、生活條件有著積極的作用。數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的重要基礎(chǔ)，希望各位同學(xué)未來能運用數(shù)學(xué)知識為社會創(chuàng)造更多的價值。

[設(shè)計意圖：例1、例2主要考查學(xué)生對周期函數(shù)概念的簡單運用;例3引入非常特殊的狄利克雷函數(shù)，幫助學(xué)生認識到周期函數(shù)不一定有最小正周期，進一步理解周期函數(shù)概念;例4以潮汐發(fā)電為情境，考查學(xué)生能否運用周期性由已知預(yù)測未知，幫助學(xué)生進一步體會周期函數(shù)的實際意義和應(yīng)用價值。]

（四）課堂小結(jié)

（教師展示周期性在其他學(xué)科中的應(yīng)用：心電圖、鐘擺運動及元素周期表。然后借助時間軸，整體回顧課堂中穿插的數(shù)學(xué)史。）

師 今天，我們在課堂短短的40分鐘里重新經(jīng)歷了數(shù)學(xué)史上周期函數(shù)概念發(fā)生、發(fā)展的120多年。從中可以感受到，數(shù)學(xué)概念的形成不是一蹴而就的，而是一個從不完善到完善的動態(tài)過程。所以，我們應(yīng)該用動態(tài)的眼光、嚴謹?shù)膽B(tài)度來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，將來還可以用更深的數(shù)學(xué)知識來繼續(xù)完善現(xiàn)在的周期性定義。

[設(shè)計意圖：展示周期性在醫(yī)學(xué)、物理學(xué)及化學(xué)中的廣泛應(yīng)用，與課堂引入的生活情境首尾呼應(yīng)，幫助學(xué)生充分體會周期性的現(xiàn)實意義和科學(xué)價值。最后，按時間軸縱覽周期函數(shù)的定義如何在歷代數(shù)學(xué)家的修正中迭代更新，幫助學(xué)生樹立動態(tài)的數(shù)學(xué)觀，提升學(xué)習(xí)信心。]

三、學(xué)生反饋

課后，筆者以學(xué)習(xí)單的形式收集了學(xué)生的反饋。

首先，近80%的學(xué)生能從6個函數(shù)圖像中正確選出所有的周期函數(shù)圖像，僅少部分學(xué)生錯選干擾項，說明絕大多數(shù)學(xué)生能夠基于符號語言的形式化定義而非“重復(fù)”“有規(guī)律”的描述性定義來判斷函數(shù)是否具有周期性。

其次，幾乎所有的學(xué)生都認識到周期函數(shù)的定義域一定是無界集，但也有26%的學(xué)生認為定義域就是實數(shù)集R;約95%的學(xué)生認識到周期函數(shù)的周期有無數(shù)個，且最小正周期不一定存在，但僅有一半的學(xué)生明確提出周期不能為零。這說明，多數(shù)學(xué)生能夠比較全面、準確地理解周期函數(shù)的概念，少數(shù)學(xué)生可能受課堂呈現(xiàn)的具體函數(shù)的影響或無意間“滑過”了一些教學(xué)重點，導(dǎo)致出現(xiàn)認知偏差。

四、教學(xué)反思

回顧本節(jié)課，可以發(fā)現(xiàn)其最大的特色是：整體重構(gòu)數(shù)學(xué)史，將教材中一步到位的數(shù)學(xué)抽象過程分解為多個小步子，引導(dǎo)學(xué)生通過逐個解決問題逐步修正、完善數(shù)學(xué)史上的描述性定義、形式化定義，直至歸納得出現(xiàn)行教材中的定義。具體各個問題的功能和指向如圖10所示。

當然，本節(jié)課的設(shè)計也非盡善盡美。比如，由于問題設(shè)計過于集中在鋸齒波函數(shù)這一種周期函數(shù)上，其圖像連續(xù)且定義域為R，導(dǎo)致部分學(xué)生以偏概全，認為所有周期函數(shù)的圖像均如此。如果能呈現(xiàn)更豐富的周期函數(shù)及圖像，或許將更有益于學(xué)生概念理解水平的提高。

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*本文系本刊連載的汪曉勤教授團隊開發(fā)的第44個中學(xué)HPM課例。