【摘 要】深度備課是將一節(jié)課的內(nèi)容放在大的學(xué)科體系中去認(rèn)識和準(zhǔn)備。深度備課有利于教師精準(zhǔn)把握教學(xué)目標(biāo)使其更好地指導(dǎo)教學(xué)實施，從而從長遠(yuǎn)的角度促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展。

【關(guān)鍵詞】深度備課;教學(xué)目標(biāo);函數(shù)的零點與方程的解

【中圖分類號】G642? 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A? 【文章編號】1671-8437（2021）16-0009-02

教師在備課時，不應(yīng)僅僅備這一節(jié)課的內(nèi)容，而應(yīng)把這節(jié)課放在一個單元中，一個章節(jié)中，一冊教材中，一個主題中，一條主線中，甚至是整個學(xué)科體系中去備這一節(jié)課，這樣才能精準(zhǔn)把握這一節(jié)課的重要性以及核心思想，真正發(fā)揮這一節(jié)課的教學(xué)對學(xué)生深度學(xué)習(xí)的作用。本文將以高中數(shù)學(xué)必修一中的“函數(shù)的零點與方程的解”教學(xué)設(shè)計為例，探索怎樣在深度備課下把握教學(xué)目標(biāo)[1-2]。

1? ?問題引入，回顧舊知——聯(lián)系學(xué)生的已學(xué)知識，構(gòu)建知識鏈接

問題一：方程 x2?2x?3=0有解嗎？

追問1：你用什么方法來找方程的解？

追問2：有同學(xué)能用相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象來判斷它的解嗎？

問題二：方程 x2?2x?3=0的解與相應(yīng)的函數(shù) f（x）=

x2?2x?3的圖象以及函數(shù)f（x）的零點有什么聯(lián)系？

設(shè)計意圖：從學(xué)生的已學(xué)知識入手，聯(lián)系學(xué)生以往的學(xué)習(xí)經(jīng)驗。學(xué)生通過在初中階段和本冊書的第二章第三節(jié)的學(xué)習(xí)，能夠建立起一元二次方程，以及相應(yīng)的二次函數(shù)和函數(shù)零點之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系。這里以初中階段和預(yù)備知識的相關(guān)聯(lián)系設(shè)計問題情境，以求一元二次方程的解引入，把學(xué)生以往的知識經(jīng)驗作為本節(jié)課的基礎(chǔ)，從而喚起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

2? ?引發(fā)沖突，探求新知——引起學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)生的好奇心與求知欲

問題三：你能找出方程ln x+2x?6=0的解嗎？

問題四：對于不能用公式求解的方程，我們怎么研究方程的解的情況呢？

零點的定義：與二次函數(shù)的零點一樣，對于一般函數(shù)f（x），我們把使f（x）=0的實數(shù)x叫做函數(shù)f（x）的零點。

設(shè)計意圖：像問題三中這樣的特殊方程，對學(xué)生來說是陌生的，他們不能像求一元二次方程那樣用公式法去求解。但是受問題一和問題二中把方程和相應(yīng)函數(shù)及函數(shù)零點建立聯(lián)系的啟發(fā)，學(xué)生可以猜想把求ln x

+2x?6=0的問題轉(zhuǎn)化成求f（x）=ln x+2x?6有零點的問題或者是 y=ln x+2x?6圖像與x軸有公共點的問題（如圖1）。問題四把方程的解與相應(yīng)函數(shù)零點關(guān)系的問題從特殊拓展到了一般，學(xué)生通過數(shù)學(xué)抽象和歸納總結(jié)，找到求一般方程的解的方法。同時教師在此過程中滲透轉(zhuǎn)化與劃歸這一重要數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。

對于函數(shù)零點的概念的教學(xué)，筆者的處理如下：由于學(xué)生在學(xué)習(xí)二次函數(shù)時就已經(jīng)學(xué)習(xí)過了二次函數(shù)零點的概念，這里只是把函數(shù)的零點從二次函數(shù)推廣到了一般的函數(shù)，是從特殊到一般的過程，對學(xué)生來說很容易理解。所以只需要仿照二次函數(shù)零點的概念，概括一般函數(shù)的零點概念。

3? ?探究新知，總結(jié)規(guī)律——步步深入，層層遞進(jìn)，深入理解函數(shù)零點存在定理

問題五：怎樣找出函數(shù)的零點呢？我們不妨以熟悉的二次函數(shù)為例，如圖1。

追問1： f（x）在什么區(qū)間上有零點？

追問2：這時函數(shù)圖像與x軸有什么關(guān)系？

追問3：如何利用函數(shù)f（x）的取值規(guī)律來刻畫這種

關(guān)系？

問題六：觀察下列函數(shù)圖像，如圖2，觀察函數(shù)零點所在的區(qū)間，函數(shù)零點存在需要的條件有什么？以及這一區(qū)間內(nèi)函數(shù)圖像與x軸的關(guān)系，并探究f（x）的取值刻畫這種關(guān)系的方法。

學(xué)生總結(jié)規(guī)律：函數(shù)零點存在定理。

如果函數(shù) y=f（x）在區(qū)間[a，b]上的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，且有f（a）f（b）<0。那么，函數(shù) y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一個零點，即存在c∈（a，b），使得f（c）=0，這個c也就是方程f（x）=0的解。

追問1：為什么一定要是一條連續(xù)不斷的曲線？

追問2：為什么說函數(shù)至少有一個零點？

追問3：什么情況下函數(shù)只有一個零點？

追問4：將函數(shù) y=f（x）在區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一個零點中的（a，b）改成閉區(qū)間行不行？

追問5：如果函數(shù)存在零點，那么f（a）f（b）一定小于

零嗎？

設(shè)計意圖：既然已經(jīng)知道了方程的解和函數(shù)零點之間的關(guān)系，那么怎么找到這個零點呢？找零點的具體方法是下節(jié)內(nèi)容筆者要介紹的二分法，那么函數(shù)的零點存在定理就是為用二分法找函數(shù)的零點作準(zhǔn)備。這個定理是對二次函數(shù)零點的一個延伸，也是學(xué)習(xí)用二分法求解方程的基礎(chǔ)和鋪墊，這就要求教師在備課的時候，把這個內(nèi)容放在前后知識的聯(lián)系中去理解。

函數(shù)零點存在定理是本節(jié)課的重點也是難點，筆者在講解這個知識點的時候，從學(xué)生熟悉的二次函數(shù)入手，通過探究二次函數(shù)零點的存在問題，把求函數(shù)零點的條件和方法推廣到一般函數(shù)，概括并總結(jié)出函數(shù)零點存在定理。這個定理理解起來并不容易，筆者連續(xù)用5個追問，使學(xué)生對這一定理有清晰透徹的理解，同時提升學(xué)生邏輯推理與數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng)。

4? ?滲透數(shù)學(xué)文化，解決遺留問題——從高觀點下看數(shù)學(xué)，提及但不深究

問題七：介值定理的概念是什么？

設(shè)計意圖：函數(shù)零點存在定理是介值定理的一種特殊情況。學(xué)生將在大學(xué)數(shù)學(xué)中接觸介值定理，這里以介紹介值定理數(shù)學(xué)史的形式在課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)文化，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情和興趣，體現(xiàn)“上通數(shù)學(xué)，下達(dá)課堂”的教學(xué)理念，同時也體現(xiàn)了把本節(jié)課放在整個數(shù)學(xué)體系中的深度備課思想。

問題八：你能試著判斷方程ln x+2x?6=0的實數(shù)解的個數(shù)嗎？

設(shè)計意圖：這個問題是對函數(shù)零點存在定理的運用和鞏固。這個問題是教材中的例題，同時也呼應(yīng)了筆者在本節(jié)開頭給學(xué)生提出的問題，在這里使學(xué)生產(chǎn)生疑問，像這樣的方程，它的解究竟怎么求呢？為下一節(jié)二分法埋了伏筆，埋下求知的種子。

5? ?教學(xué)反思

本節(jié)內(nèi)容從學(xué)生比較熟悉的一元二次方程與相應(yīng)的二次函數(shù)的零點入手，把函數(shù)的零點與方程的解的關(guān)系推廣到一般方程與相應(yīng)的函數(shù)的零點情形。而筆者在初始教學(xué)設(shè)計中對探究函數(shù)零點存在定理的目的有過誤解，所以在課堂教學(xué)中，筆者用過這樣一句話來引導(dǎo)學(xué)生探究此定理：“我們怎樣判斷函數(shù)的零點是否存在呢？”后經(jīng)哈爾濱師范大學(xué)樊曉明教授的指導(dǎo)，筆者思考：函數(shù)零點存在的兩個條件分別是①函數(shù)圖象在零點附近連續(xù)不斷;②有f（a）f（b）<0。滿足這兩個條件，函數(shù)零點一定存在?？墒侨绻粷M足，如有f（a）f（b）>0，難道就沒有零點嗎？三角函數(shù) y=sin x， f（1）f（8）>0，在（1，8）內(nèi)仍然存在零點。所以這個定理的目的是通過找函數(shù)的零點來研究方程的解，其主要思想在于“找出”而不在于“判斷”。同時，這個定理也進(jìn)一步突出了函數(shù)思想的應(yīng)用，為下一節(jié)用二分法求方程的近似解作了知識上和思想上的準(zhǔn)備。

總之，把本節(jié)課的重點從判斷函數(shù)是否有零點轉(zhuǎn)換成找出函數(shù)的零點，就把整節(jié)課放在了為用二分法解方程打基礎(chǔ)的大背景下。因此，以備整章的角度來備一節(jié)課，更能準(zhǔn)確的把握數(shù)學(xué)的連續(xù)性和整體性思想。

【參考文獻(xiàn)】

[1]高敏.基于數(shù)學(xué)理解 設(shè)計概念教學(xué)——“函數(shù)的零點”教學(xué)設(shè)計與反思[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2020（11）.

[2]岳艷紅.“方程的根與函數(shù)的零點”教學(xué)設(shè)計[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2019（27）.

【作者簡介】

郝純（1991～），女，滿族，黑龍江哈爾濱人，碩士，中學(xué)二級教師。研究方向：學(xué)科教學(xué)（數(shù)學(xué)）。