李月梅 溫靜 左靜賢

【摘 要】本文基于“大概念”視角，對(duì)高職數(shù)學(xué)課程零點(diǎn)定理這一節(jié)進(jìn)行了教學(xué)設(shè)計(jì)，用概念教學(xué)理論和實(shí)際例子結(jié)合的方式，調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，采用在線(xiàn)練習(xí)的方式幫助學(xué)生進(jìn)行知識(shí)復(fù)習(xí)與鞏固，提出與零點(diǎn)定理相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生自主探究思考，并闡述了現(xiàn)階段高職數(shù)學(xué)教學(xué)面臨的挑戰(zhàn)。

【關(guān)鍵詞】高職數(shù)學(xué);大概念;零點(diǎn)定理;教學(xué)設(shè)計(jì)

【中圖分類(lèi)號(hào)】G712? 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A? 【文章編號(hào)】1671-8437（2021）16-0017-02

現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)在各領(lǐng)域都被廣泛應(yīng)用。所以，在教授高等數(shù)學(xué)的過(guò)程中，教師需要想辦法提高學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力。教師可用一些與生活息息相關(guān)的例子引出教學(xué)內(nèi)容，然后再用本節(jié)知識(shí)內(nèi)容解釋這些生活實(shí)例中的問(wèn)題。這樣的教學(xué)方式與傳統(tǒng)的教學(xué)方式相比，能更加有效地提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，使學(xué)生實(shí)現(xiàn)學(xué)以致用。

何謂“大概念”？首先“大”的內(nèi)涵是“核心”，其次“概念”的內(nèi)涵可以是概念，也可以是觀(guān)點(diǎn)。零點(diǎn)定理是高職數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)，它被廣泛應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題。本文以零點(diǎn)定理理論聯(lián)系實(shí)際的課堂講授過(guò)程為例，對(duì)本節(jié)課程進(jìn)行升華和飛躍，同時(shí)結(jié)合信息化手段，教學(xué)完成后，學(xué)生通過(guò)掃描二維碼進(jìn)入練習(xí)測(cè)評(píng)網(wǎng)站，對(duì)本節(jié)課程進(jìn)行鞏固練習(xí)，課下借助慕課App等線(xiàn)上平臺(tái)讓學(xué)生能輕松預(yù)習(xí)和及時(shí)復(fù)習(xí)。

1? ?零點(diǎn)定理的傳統(tǒng)教學(xué)設(shè)計(jì)

傳統(tǒng)教學(xué)模式下，零點(diǎn)定理的教學(xué)主要包括三個(gè)環(huán)節(jié)，環(huán)節(jié)一：直接導(dǎo)入零點(diǎn)定理內(nèi)容，并對(duì)零點(diǎn)定理內(nèi)容進(jìn)行詳細(xì)講述，對(duì)概念中每句話(huà)的意思進(jìn)行解釋說(shuō)明，讓學(xué)生理解并接受概念，并根據(jù)關(guān)鍵點(diǎn)記住此定理內(nèi)容。環(huán)節(jié)二：?jiǎn)栴}提出及解決，零點(diǎn)定理也稱(chēng)根存在定理，如何應(yīng)用該定理解決方程的根的問(wèn)題呢？然后舉兩到三個(gè)例題，運(yùn)用零點(diǎn)定理解決例題。環(huán)節(jié)三：學(xué)生課后練習(xí)，完成有關(guān)方程根是否存在的練習(xí)題。

2? ?基于“大概念”視角的零點(diǎn)定理教學(xué)設(shè)計(jì)

2.1? 問(wèn)題的提出

師：美麗的四川峨眉山中的舍身崖有時(shí)會(huì)出現(xiàn)“佛光”，每個(gè)去那旅游的人都想看到“佛光”，但“佛光”是人人可見(jiàn)的嗎？什么情況下才能看到“佛光”呢？今天帶著這兩個(gè)問(wèn)題，我們一起學(xué)習(xí)零點(diǎn)定理的內(nèi)容，學(xué)完后看大家能否利用零點(diǎn)定理解釋“佛光”現(xiàn)象[1]。

2.2? 零點(diǎn)定理

若函數(shù) f（x）滿(mǎn)足① f（x）在[a，b]上連續(xù)，② f（a）與f（b）異號(hào)，在此環(huán)節(jié)教師在x軸的上下方各畫(huà)出一個(gè)點(diǎn)A和B，讓學(xué)生從點(diǎn)A任意畫(huà)出一條光滑連續(xù)的曲線(xiàn)連接到點(diǎn)B，教師提問(wèn)：同學(xué)們畫(huà)出的曲線(xiàn)與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)呢？根據(jù)學(xué)生回答的幾種不同答案，讓各位學(xué)生用一句話(huà)對(duì)所有答案進(jìn)行總結(jié)，得出至少存在一點(diǎn) ξ∈（a，b），使得f（ξ）=0。

2.3? 零點(diǎn)定理的應(yīng)用——判斷方程根的存在性

根據(jù)零點(diǎn)定理內(nèi)容給出解題步驟：①輔助函數(shù)構(gòu)造——移項(xiàng);②零點(diǎn)定理的兩個(gè)條件判斷;③根據(jù)定理內(nèi)容得出該方程至少有一個(gè)實(shí)根的結(jié)論;④求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，若單調(diào)，則有且僅有一個(gè)實(shí)根。

例1：證明方程x3?2x=1在（1，2）內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。

證明：①設(shè)f（x）=x3?2x?1;②顯然f（x）在[1，2]上是連續(xù)的， f（1）=?2<0， f（2）=3>0;③由零點(diǎn)定理可知，至少存在一點(diǎn)ξ∈（1，2），使得f（ξ）=0，即 ξ3?2ξ?1=0。因此方程 x3?2x=1在（1，2）內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。

例2：證明在任意時(shí)刻，地球上至少有兩個(gè)地點(diǎn)的溫度是相同的。

解：連接赤道上的對(duì)徑點(diǎn)AB，將其作為x軸，過(guò)中點(diǎn)O連接垂直于A(yíng)B的對(duì)徑點(diǎn)作為 y軸（如圖1），設(shè)其他任意對(duì)徑點(diǎn)MN與x軸的夾角為θ，θ∈（0，π），構(gòu)造輔助函數(shù)f（θ）， f（θ）等于點(diǎn)M處的溫度減去點(diǎn)N處的溫度。若AB兩點(diǎn)溫度相同，則點(diǎn)AB滿(mǎn)足所求，若AB兩點(diǎn)溫度不同，則由 f（0）=? f（π），推出f（0）·f（π）<0，由零點(diǎn)存在定理可得，存在θ0∈（0，π），使 f（θ0）=0，即存在兩個(gè)地點(diǎn)溫度相同。

2.4? 問(wèn)題的解決

通過(guò)觀(guān)測(cè)發(fā)現(xiàn)，峨眉山舍身崖下山腰的云層是不斷運(yùn)動(dòng)的，并且云層的運(yùn)動(dòng)軌跡是連續(xù)不間斷的，隨著云層越來(lái)越高，在太高和太矮間總有一個(gè)時(shí)刻是太陽(yáng)光恰好照射到這個(gè)位置，從而形成“佛光”。這個(gè)出現(xiàn)“佛光”

的過(guò)程中，云層運(yùn)動(dòng)是連續(xù)的，符合零點(diǎn)定理的內(nèi)容。

2.5? 測(cè)評(píng)練習(xí)鞏固

為解決傳統(tǒng)教學(xué)評(píng)價(jià)難、糾偏難的問(wèn)題，教師團(tuán)隊(duì)自主研發(fā)在線(xiàn)測(cè)評(píng)與糾偏系統(tǒng)，學(xué)生可利用手機(jī)自主掃描二維碼進(jìn)入系統(tǒng)，對(duì)本節(jié)內(nèi)容進(jìn)行測(cè)評(píng)練習(xí)，在練習(xí)的過(guò)程中遇到問(wèn)題可通過(guò)小組討論或助教講解來(lái)解決，并由助教向教師反饋學(xué)生完成的情況。教師可在后臺(tái)系統(tǒng)中了解學(xué)生對(duì)本節(jié)知識(shí)點(diǎn)的掌握程度和最后評(píng)分情況，實(shí)現(xiàn)節(jié)節(jié)測(cè)、節(jié)節(jié)評(píng)。

2.6? 課后小組討論

很多看似與數(shù)學(xué)不相關(guān)的生活實(shí)際問(wèn)題都能用零點(diǎn)定理解釋?zhuān)缟仙较律绞欠裨谕粫r(shí)刻同一地點(diǎn)相遇，椅子在不平的地面能否放穩(wěn)等問(wèn)題。請(qǐng)學(xué)生下課后思考練習(xí)：拉一根橡皮筋，一頭朝左拉，同時(shí)另一頭朝右拉，在橡皮筋不拉斷的情況下，橡皮筋上有一點(diǎn)在它原來(lái)的位置上不動(dòng)。如何用零點(diǎn)定理證明呢？

2.7? 利用慕課App等線(xiàn)上平臺(tái)進(jìn)行預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)鞏固

課下學(xué)生可以登錄慕課App，通過(guò)觀(guān)看教學(xué)視頻等方式對(duì)本節(jié)知識(shí)進(jìn)行鞏固學(xué)習(xí)，有不懂的知識(shí)可在線(xiàn)提出，教師在后臺(tái)對(duì)問(wèn)題及時(shí)給予解答。教師還可以在慕課App上布置下一節(jié)的預(yù)習(xí)任務(wù)，并提出具體的預(yù)習(xí)要求。

3? ?兩種教學(xué)設(shè)計(jì)的比較

3.1? 傳統(tǒng)教學(xué)設(shè)計(jì)特點(diǎn)

一些教師依然采用傳統(tǒng)教學(xué)理念開(kāi)展教學(xué)，強(qiáng)調(diào)知識(shí)本位，整堂課呆板、無(wú)趣，只是對(duì)知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單傳授，對(duì)教材的依賴(lài)度高，直接講解教材上的概念、定理、公式，使學(xué)生覺(jué)得高職數(shù)學(xué)是一門(mén)與生活實(shí)際不相關(guān)的學(xué)科。同時(shí)評(píng)價(jià)方式落后，形成了“重公式、重計(jì)算、輕思想”的教學(xué)模式[2]。傳統(tǒng)教學(xué)往往以教師為中心，練習(xí)時(shí)才把學(xué)生放在主體位置上，這不利于學(xué)生思維的拓展。

3.2? 基于“大概念”視角的教學(xué)設(shè)計(jì)特點(diǎn)

第一，教學(xué)內(nèi)容與生活實(shí)際緊密結(jié)合。一開(kāi)始就提出實(shí)際問(wèn)題，能調(diào)動(dòng)學(xué)生探索和獲取知識(shí)的主動(dòng)性，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣;第二，采用在線(xiàn)測(cè)評(píng)系統(tǒng)開(kāi)展試題練習(xí)鞏固。由于直接對(duì)所有學(xué)生進(jìn)行課程學(xué)習(xí)評(píng)價(jià)難度較大，教師團(tuán)隊(duì)自主研發(fā)了在線(xiàn)測(cè)評(píng)與糾偏系統(tǒng)，充分解決了高等數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)難、糾偏難的問(wèn)題，大大提升了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，實(shí)現(xiàn)了高效的課堂教學(xué);第三，借助慕課App這一信息化手段，將線(xiàn)上線(xiàn)下的學(xué)習(xí)有效融合在一起，創(chuàng)造出全新的學(xué)習(xí)環(huán)境，讓學(xué)生課上有所獲，課后復(fù)習(xí)有所依，課下有所感，全面鍛煉學(xué)生解決問(wèn)題和獨(dú)立思考的能力。

4? ?基于“大概念”的高職數(shù)學(xué)教學(xué)的問(wèn)題和應(yīng)對(duì)策略

基于“大概念”的高職數(shù)學(xué)教學(xué)仍然有很多需要提升和改進(jìn)的地方：①雖然在教學(xué)過(guò)程中加入了實(shí)際問(wèn)題的應(yīng)用，但與學(xué)生所學(xué)專(zhuān)業(yè)的緊密結(jié)合還有一段距離[3];②教材內(nèi)容更新遲緩，對(duì)現(xiàn)代信息技術(shù)的應(yīng)用不足[4]，教學(xué)過(guò)程中雖然加入了一些現(xiàn)代化手段，讓學(xué)生利用網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行在線(xiàn)測(cè)評(píng)與糾偏，并且利用慕課App等線(xiàn)上手段進(jìn)行預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)鞏固，但現(xiàn)代信息化技術(shù)還需要教師進(jìn)一步開(kāi)發(fā)創(chuàng)新;③高職院校學(xué)生比較特殊，部分學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱，可能會(huì)出現(xiàn)上課聽(tīng)不懂，難以跟上進(jìn)度的情況，所以需要教師進(jìn)一步探索創(chuàng)新教學(xué)模式和教學(xué)方法，探索更為有效的分層教學(xué)模式。如教師可利用學(xué)生喜歡玩游戲的特點(diǎn)，嘗試將數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與AI技術(shù)結(jié)合在一起，把數(shù)學(xué)知識(shí)融入游戲環(huán)節(jié)，吸引學(xué)生自學(xué)。

合理的教學(xué)設(shè)計(jì)能提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，零點(diǎn)定理在生活中的應(yīng)用十分廣泛，教師應(yīng)該多鼓勵(lì)學(xué)生將學(xué)習(xí)內(nèi)容用于解決生活實(shí)際問(wèn)題，讓數(shù)學(xué)更廣泛地服務(wù)和改善生活，為科技發(fā)展作出更大的貢獻(xiàn)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]李尚志.數(shù)學(xué)聊齋二則[J].大學(xué)數(shù)學(xué)，2003（4）.

[2]凌天雄.高職機(jī)電專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)課程整合重構(gòu)的探索與實(shí)踐[D].廣州：廣州大學(xué)，2018.

[3]周建蘭.高職數(shù)學(xué)教學(xué)的現(xiàn)狀與問(wèn)題研究[J].教育與培訓(xùn)，

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[4]云連英.“工學(xué)結(jié)合”模式下數(shù)學(xué)課程改革的理性思考[J].教育探索，2008（12）.

【作者簡(jiǎn)介】

李月梅（1983～），女，漢族，河北秦皇島人，碩士，講師。研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)。

溫靜（1980～），女，漢族，河北遷西人，碩士，副教授。研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)。

左靜賢（1981～），女，漢族，河北唐山人，本科，講師。研究方向：應(yīng)用數(shù)學(xué)。